多條通電直導(dǎo)線周圍磁場(chǎng)疊加問題的進(jìn)階學(xué)習(xí)

安徽

多條通電直導(dǎo)線周圍磁場(chǎng)疊加問題中的通電直導(dǎo)線可能處于平行且共面狀態(tài)，也可能處于相互交叉且共面狀態(tài)。既不平行也不共面的狀態(tài)在高中階段基本不涉及，本文暫不探究。解決此類問題常用到安培定則和平行四邊形定則等知識(shí)，下面通過幾道高考題和經(jīng)典習(xí)題加以探究。

一、兩條通電直導(dǎo)線周圍磁場(chǎng)的疊加問題

1.兩條相互平行的通電直導(dǎo)線周圍磁場(chǎng)的疊加

1.1 兩條通有反向電流的直導(dǎo)線周圍的磁場(chǎng)疊加

【例1】(2012·全國卷)如圖1，兩根互相平行的長(zhǎng)直導(dǎo)線過紙面上的M、N兩點(diǎn)，且與紙面垂直，導(dǎo)線中通有大小相等、方向相反的電流。a、O、b在M、N的連線上，O為MN的中點(diǎn)，c、d位于MN的中垂線上，且a、b、c、d到O點(diǎn)的距離均相等。關(guān)于以上幾點(diǎn)處的磁場(chǎng)，下列說法正確的是

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圖1

A.O點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為零

B.a、b兩點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等，方向相反

C.c、d兩點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等，方向相同

D.a、c兩點(diǎn)處磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向不同

【解析】由安培定則可知，兩電流在O點(diǎn)處的磁場(chǎng)方向都向下，O點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度不為零，A錯(cuò)誤；a、b兩點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等，方向相同，B錯(cuò)誤；c、d兩點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等，方向相同，C正確；a、c兩點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度方向相同，都向下，D錯(cuò)誤。

【例2】(2011·全國卷)如圖2，兩根相互平行的長(zhǎng)直導(dǎo)線分別通有方向相反的電流I1和I2，且I1>I2；a、b、c、d為導(dǎo)線某一橫截面所在平面內(nèi)的四點(diǎn)，且a、b、c與兩導(dǎo)線共面；b點(diǎn)在兩導(dǎo)線之間，b、d的連線與導(dǎo)線所在平面垂直。磁感應(yīng)強(qiáng)度可能為零的點(diǎn)是

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圖2

A.a點(diǎn) B.b點(diǎn) C.c點(diǎn) D.d點(diǎn)

【解析】根據(jù)安培定則可知I1和I2電流在a處產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向分別為垂直ac連線向上和向下，由于I1>I2，且I1電流與a點(diǎn)的距離比I2電流與a點(diǎn)距離要小，故B1a>B2a，則a點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度不可能為零，A錯(cuò)誤；兩電流在b處產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向均垂直ac連線向下，則b點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度不可能為零，B錯(cuò)誤；I1和I2電流分別在c處產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向?yàn)榇怪盿c連線向下和向上，且I1電流與c點(diǎn)的距離比I2電流與c點(diǎn)距離要大，故B1c與B2c有可能等大反向，則c點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度可能為零，C正確；兩電流在d處產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向一定成某一夾角，且夾角一定不為180°，則d點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度不可能為零，D錯(cuò)誤。

【點(diǎn)評(píng)】例2與例1相比，兩導(dǎo)線中的電流由等大反向變?yōu)椴坏却蠓聪?，欲使平面?nèi)某點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度為零，則該點(diǎn)一定在小電流的外側(cè)，即c點(diǎn)。若再將兩根導(dǎo)線相互平行地自由置于光滑的水平面上，只要在c點(diǎn)所在直線平行放置電流大小合適且與I1同向的導(dǎo)線，即可讓三根導(dǎo)線處于平衡狀態(tài)。

1.2 兩條通有同向電流的直導(dǎo)線周圍磁場(chǎng)的疊加

【例3】(2017·全國卷Ⅲ)如圖3，在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B0的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，兩長(zhǎng)直導(dǎo)線P和Q垂直于紙面固定放置，兩者之間的距離為l。在兩導(dǎo)線中均通有方向垂直于紙面向里的電流I時(shí)，紙面內(nèi)與兩導(dǎo)線距離為l的a點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為零。如果讓P中的電流反向、其他條件不變，則a點(diǎn)處磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為

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圖3

圖4

圖5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩根相互平行通電直導(dǎo)線間的磁場(chǎng)疊加問題，涉及矢量合成法則的運(yùn)用。用疊加原理計(jì)算磁感應(yīng)強(qiáng)度的基本思路是：(1)確定需要計(jì)算磁感應(yīng)強(qiáng)度的位置和周圍的場(chǎng)源。(2)利用安培定則和常見磁體周圍磁場(chǎng)分布特點(diǎn)，分別確定各場(chǎng)源在該位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小和方向。(3)根據(jù)平行四邊形定則，采用合成和正交分解的方法求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的矢量和，即為該位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度。

2.兩條相互垂直的通電直導(dǎo)線周圍磁場(chǎng)的疊加

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圖6

【點(diǎn)評(píng)】a、b兩點(diǎn)的磁場(chǎng)除了兩條互相垂直的通電直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場(chǎng)，還有外加磁場(chǎng)B0，即合磁場(chǎng)涉及三個(gè)磁場(chǎng)的疊加。先利用安培定則判斷出通電直導(dǎo)線各自產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度，然后利用矢量疊加原理即可求出各點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。

二、三條通電直導(dǎo)線周圍磁場(chǎng)的疊加問題

1.三條相互平行的通電直導(dǎo)線周圍磁場(chǎng)的疊加

【例5】(2017·全國卷改編)如圖7，三根相互平行的固定長(zhǎng)直導(dǎo)線L1、L2和L3兩兩等距，均通有大小均為I的電流，L1中電流方向與L2中的相同，與L3中的相反，下列說法正確的是

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圖7

A.L1、L2在L3處產(chǎn)生的合磁場(chǎng)方向與L1、L2的連線垂直

B.L2、L3在L1處產(chǎn)生的合磁場(chǎng)方向與L2、L3的連線垂直

圖8

圖9

【點(diǎn)評(píng)】本題考查安培定則、左手定則和磁場(chǎng)的疊加。AB兩個(gè)選項(xiàng)的求解可以參考例3；CD兩個(gè)選項(xiàng)可以結(jié)合“同向電流相互吸引，反向電流相互排斥”快速判斷。另外本題還可以繼續(xù)涉及等邊三角形中心處的磁場(chǎng)進(jìn)行命題。

2.三條互成角度的通電直導(dǎo)線周圍磁場(chǎng)的疊加

【例6】(2013·海南卷)三條在同一平面(紙面)內(nèi)的長(zhǎng)直絕緣導(dǎo)線組成一等邊三角形，在導(dǎo)線中通過的電流均為I，方向如圖10所示。a、b和c三點(diǎn)分別位于三角形的三個(gè)頂角的平分線上，且到相應(yīng)頂點(diǎn)的距離相等。將a、b和c處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小分別記為B1、B2和B3，下列說法正確的是

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圖10

A.B1=B2

B.B1=B2=B3

C.a和b處磁場(chǎng)方向垂直于紙面向外，c處磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里

D.a處磁場(chǎng)方向垂直于紙面向外，b和c處磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里

【解析】由于通過三條導(dǎo)線的電流大小相等，結(jié)合安培定則及矢量疊加法則可判斷出，三條導(dǎo)線在a、b處產(chǎn)生的合磁感應(yīng)強(qiáng)度垂直紙面向外，在c處垂直紙面向里，且B1=B2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查安培定則和磁場(chǎng)的疊加。通電導(dǎo)線周圍存在磁場(chǎng)，且離導(dǎo)線越遠(yuǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度越弱；磁場(chǎng)不但有大小而且有方向，方向相同則相加，方向相反則相減。

三、三條以上通電直導(dǎo)線周圍磁場(chǎng)的疊加問題

1.三條以上相互平行的通電直導(dǎo)線周圍磁場(chǎng)的疊加

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圖11

A.電流的大小為I1=2I2

B.四根導(dǎo)線所受的磁場(chǎng)力都為零

C.正方形中心O處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為零

D.若移走A導(dǎo)線，則中心O處的磁場(chǎng)將沿OB方向

圖12

圖13

【例8】如圖14所示為六根與水平面垂直的導(dǎo)線的橫截面示意圖，導(dǎo)線分布在正六邊形的六個(gè)頂點(diǎn)，導(dǎo)線所通電流方向已在圖中標(biāo)出。已知每根導(dǎo)線在O點(diǎn)處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B0，則關(guān)于正六邊形中心O點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小和方向的說法正確的是

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圖14

A.大小為零

B.大小為2B0，方向沿x軸負(fù)方向

C.大小為4B0，方向沿x軸正方向

D.大小為4B0，方向沿y軸正方向

【解析】根據(jù)右手定則，每根通電導(dǎo)線在中心O點(diǎn)處產(chǎn)生磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向如圖15所示，由平行四邊形定則可知B=2B0+2×2B0cos60°=4B0，方向沿y軸正方向，D正確，ABC錯(cuò)誤。

圖15

【點(diǎn)評(píng)】例7和例8均涉及安培定則和磁場(chǎng)疊加原理，解題思路與例1、例2、例3和例5類似，正確地利用安培定則和平行四邊形定則可以快速解題。

2.三條以上互成角度的通電直導(dǎo)線周圍磁場(chǎng)的疊加

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圖16

【點(diǎn)評(píng)】本題考查學(xué)生的推理能力，需要應(yīng)用磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量疊加原理和安培定則解題。