實施教育數學的“五化”策略*

趙思林 汪 洋 王 佩 尤 娜

(內江師范學院數學與信息科學學院 641110;2.成都西藏中學 610041)

使數學學習變得更加容易是數學教師追求的目標，也是“教育數學”產生的初心．張景中院士利用單位菱形的面積定義正弦，通過面積計算獲得正弦定理和正弦和角公式；利用向量、復數或坐標的表達方式，輕松學習解析幾何、復數、向量；利用中學知識，不用極限概念也可以學習微積分等．張院士的實踐表明，可以用初等方式(方法)學習高等數學，可以將數學變得有趣、易懂，數學變得更容易是可行的．不少學者雖對教育數學作了一些研究，但專門針對教育數學的實施的研究比較少．因此，研究教育數學的實現路徑是有益的．

1 教育數學的意義

1989年張景中院士出版的著作《從數學教育到教育數學》中提出了“教育數學”的觀點．教育數學就是為教育而改造數學，讓學生學習數學變得更容易[1]．教育數學被認為是降低數學學習難度、提高數學學習效率的可行方案．教育數學的提出，有助于數學教育理論的發展、提高數學教育工作者的學術素養、推動數學教育學學科的發展[2]．2004年中國高等教育學會專門成立了教育數學專業委員會．2009年科學出版社推出了一套叢書《走進教育數學》．張奠宙認為，數學具有三種形態：原始形態、學術形態和教育形態，教育數學是教育形態的數學[3]．對于數學教師而言，應著力把原始形態的數學和學術形態的數學改造為教育形態的數學．更具體地說，教師應把數學家發現的數學改造為學生易學易懂的數學．對此，張景中院士提出了教育數學的三條原理：在學生頭腦里找概念、從概念里產生方法、方法要形成模式[4]．學生頭腦里的東西其實就是經驗，數學模式就是數學知識結構(知識體系)．這三條原理可理解為：從學生已有經驗中抽象概括出數學原理(數學原理是指數學概念和數學命題)，從數學原理中提煉數學思想方法，從數學思想方法中形成數學模式．這三條原理深刻揭示了數學知識的建構規則和數學學習的認知邏輯：(數學)經驗—數學原理—數學思想方法—數學模式．

學生不喜歡數學、害怕數學、痛恨數學甚至仇恨數學，是世界數學教育界的普遍現象．張奠宙認為，教育數學是一種使學生容易理解的教育形態的數學[5]．教育數學有利于降低學習數學的難度，增加學生學習數學的信心，讓更多學生對學習數學有成功體驗和成就感．因此，教育數學對學生來說無疑是重要的．

教育數學有助于數學教師對數學家發現的數學進行改造或再創造．張雄[6]、沈文選[7]認為，教育數學是一個再創造性的數學學科．張雄[6]認為，教育數學注重科學邏輯與認知心理的結合，是在學術性數學基礎上的再創造、再提高的學科．沈文選[8]指出，教育數學根據已有數學知識和課本在教育上的適合性，選擇哪些內容需要改造，哪種呈現方式最適合教育，哪種反映方法最優．教育數學有助于教師對數學的深刻認識和理解，讓師生都獲得教學的成功體驗，并促使教師的專業發展．教師通過對學術形態的數學的鉆研、改造、創新得到教育數學，可以降低學生學習數學的難度．教育數學在激發學生學習興趣的同時提升師生的交互水平，從而提高教師教學成功的概率．教學數學形式的改造、發展、完善的過程就是數學教師專業化發展的過程，因此，教師創造教育數學并實施教育數學對促進教師專業化發展有益．

2 教育數學實施的“五化”策略

數學具有高度的抽象性、嚴謹的邏輯性、廣泛的應用性．這三大特點決定了，數學教學困難，數學學習更困難．教育數學的實現路徑已有不少研究成果．如張景中對于數學知識的結構和表現方法提出以下三條標準[9]：邏輯結構盡可能簡單，概念引入要平易直觀，要建立有力而通用的解題工具．張院士高度概括了數學學習的三大難點：概念理解難，邏輯推理難，問題解決難．他提出的這三條標準意蘊深刻，內涵豐富，極富概括性和啟發性．邏輯作為數學的生命，對學生學習來說既重要又困難，對此有三種應對策略：一是教材編寫者或教師應重視把復雜的知識邏輯結構作簡化和優化處理，盡力讓知識邏輯與認知邏輯實現雙適應、教師與學生實現雙適應；二是采用擴大公理體系的方法，以降低教學和學習的難度；三是在學生初學某個命題的證明時，對過程較長、難度較大、理解困難的證明作分層次要求和分階段要求，不必一步到位，可以分步到位，如讓一些數學基礎比較差的學生在初次接觸繁難證明時僅作理解證明思路的要求，過一段時間再作更多、更高的學習要求．概念作為數學邏輯思維的細胞，是學生學習的重點和難點，對此有三種應對策略：一是重視講概念的背景，包括講概念產生的精彩故事，以激發學習動機和學習興趣；二是重視各種數學直觀，包括圖表直觀、教(學)具直觀、技術直觀、語言直觀、模式直觀、案例直觀、經驗直觀等，通過數學直觀降低教學難度是教育數學的普適做法；三是善于運用典型案例(包括正例和反例)對概念理解的強化作用，包括正面的強化作用和反面的強化作用．“通用的解題工具”一般可理解為數學解題中的通性通法，數學中的通性通法既包括像配方法、換元法、待定系數法、反證法、分析法、數學歸納法等具體方法，又包括更為普適的公理化、數形結合、化歸與轉化、分類與整合、數學模型等數學思想．“整合創新”與“返璞歸真”是教育數學自身成長的兩手抓[8]．“返璞歸真優化數學是走進教育數學研究的主要途徑”[8]．怎樣做到“返璞歸真優化”？一是需要用數學的眼光、數學的理性思維、數學建模思想方法等去看待和處理問題；二是需要以數學史(或數學文化)的視角去認識和洞察數學的本質；三是需要以本原問題溯源展現數學方法的本質[8]．教育數學以攻克技術難點、尋找課程焦點為方法達到實現簡化數學的目的[10]．

由于數學教學包括數學知識的產生與形成的教與學，數學知識的理解與應用(遷移)的教與學，數學知識的發現的教與學，因此教育數學應在數學知識的產生、形成、理解、應用(遷移)、發現等環節上發力與落實，即教育數學的實施有背景化、探究化、經驗化、遷移化、直覺化等“五化”策略．

2.1 背景化——讓背景成為產生數學知識的起點

數學知識的產生一般都有特定的背景，包括數學文化背景、生活實踐背景、學科發展背景等．數學知識產生的背景對學生內在動機的激發、弄清知識的來龍去脈是有益的．講授數學知識產生的背景一般離不開數學史和數學家的故事，應從數學史料和數學家的故事中發掘育人素材和樹人素材．李文林認為，通過數學史的介紹，有利于學生加深對數學概念、方法和思想的理解；有利于學生體會活的數學創造過程，培養學生的創造性思維能力；有利于學生了解數學的應用價值和文化價值，明確學習數學的目的，增強學習數學的動力；有利于學生樹立科學品質，培養良好的科學精神[11]．數學文化可以改善知識認識，激活學習情感，激發數學興趣[12]．

把數學教活、學活、用活是教育數學的本質要求．教育數學的實質是教“活的數學”、學“活的數學”．活的數學由無數的數學故事構成，故事是先進的數學教育中不可缺少的養料和調味劑[13]．數學故事是激發學生學習動機的最佳方式之一．數學故事是連接數學與教育的捷徑．提倡數學教師講知識產生的背景，究其本質是講數學中精彩的故事．“知識的背景化”是學生弄清知識來龍去脈的基礎，也是數學育人的重要途徑．由于中國的高考、中考長期不考數學文化方面的知識，加之大多數數學教師在大學期間對數學史從未學過或僅選修過，導致這些教師關于數學史或數學文化的知識貧乏，進而限制了這些教師把數學當成故事來講的能力，這也可能是很多數學教師不能講知識產生的背景的原因之一．對此，數學教師應認真學習數學史，深刻領會數學文化的激趣價值和育人價值．把數學史和數學文化中的生動故事與數學知識產生的背景緊密聯系起來，是教育數學的基本要求．

此外，數學知識的高等數學背景、其他科學背景、生活實踐背景等，也需注意．

2.2 探究化——讓探究貫穿數學知識生長的過程

數學探究包括兩個過程，即“探”的過程和“究”的過程．更具體地說，“探”是弄清是什么的過程，“究”是弄清為什么的過程[14]．數學探究作為2017年版高中數學新課程的必修內容，應讓數學探究貫穿在數學知識的發現、生長、完善、應用和拓展的全過程之中．

從數學探究的內容來看，數學探究的一個重要內容是，弄清數學對象之間的邏輯關系、發現數學對象之間的新關系(命題)．數學有一個顯著特點，就是靠邏輯而生長．具體地說，數學中的每一個知識體系總是在一組不加定義的概念和一個公理體系的基礎上靠邏輯演繹而生長出來．數學知識的生長與問題探究密切相關．數學知識的產生、生長、形成和完善并非一帆風順，而是數學家們不斷地在抽象與概括、嘗試與探索、直覺與猜想、計算與演繹、建模與解模、證明與反駁等探究過程中逐步得到的．數學知識總是在探究中發現、生長和完善．也就是說，數學知識的生長過程就是數學家探究問題的過程，也就是數學家發現知識的過程．如果說數學教學應體現“過程與方法”目標，倒不如說數學教學應是師生在觀察“問題”與“探究”的交互作用中發現知識、生長知識及完善知識．由此歸結，數學教學應是“問題驅動”的教學，是“問題—探究”的教學，是發現知識的教學，是知識生長的教學，是知識完善的教學．在這里，“問題驅動”“問題探究”都只是教學的形式，知識的發現、生長和完善才是教學的實質．

從數學探究的方式來看，數學探究可以用古典方法即借助于紙和筆，也可用現代的數學實驗方法即借助于數學軟件．過去的數學家做探究主要借助于紙和筆，現在的數學探究除借助于紙和筆之外，也可借助數學軟件(如幾何畫板)通過數學實驗的方式來進行數學探究活動．數學實驗或數學軟件可實現數學探究的可視化，即讓學生在數學探究問題的過程中可以通過“看”與“思”的方式來實現探究和發現知識．這樣做既可增加學生學習數學的興趣，又可降低學習數學的難度，還可以讓學生主動去探究知識和發現知識．現在已有不少課堂實現了數學與現代信息技術的(深度)融合，讓學生經歷數學知識產生、生長和形成的過程，從而讓學生更容易理解抽象的數學知識．

2.3 經驗化——讓經驗成為理解數學知識的基礎

數學學習是基于經驗、激活經驗、改造經驗、創生經驗的過程．學習的關鍵在于對知識的意義的理解，對知識的意義的理解的基本目的在于個體建立牢固的知識結構．奧蘇伯爾認為，有意義的學習是把新知同化后納入認知結構，進而內化為已有觀念，擴建認知結構．具體地說，學習數學知識的過程是通過外在知識對已有知識經驗進行改造重建，通過理解、消化、應用、掌握轉變為自己的知識經驗的過程．降低數學學習難度是教育數學的本質要求．由于同化學習比順應學習的難度更低，并且同化學習是基于經驗的學習，因此，最理想的教學是基于經驗的教學．從而，學生積累豐富的知識經驗是實現教育數學的前提．腦科學研究表明，人的大腦在感知、加工、存儲信息(知識)時存在最簡化傾向，據此原理推知，人的經驗系統里面的東西一般是簡單、特殊、具象、情境性的信息(知識)．因此，數學知識理解的心理機制一般是用簡單理解復雜，用特殊理解一般，用具象理解抽象，用情境理解知識等．

(1)用簡單理解復雜

數學的復雜性表現在數學知識的產生背景復雜，數學知識的生長和形成的過程復雜，數學問題的解決過程復雜，數學知識的認知加工復雜，數學知識的記憶復雜，數學知識的應用復雜等方面．把復雜知識(問題)簡單化，體現了化歸與轉化思想，如在解方程(組)中把高次方程最終轉化為一次方程、把多元方程最終轉化為一元方程，把立體幾何問題轉化為平面幾何問題，這些都體現了復雜問題簡單化的思想．

(2)用特殊理解一般

數學是特殊與一般的對立統一體．一般規律由特殊情況概括、歸納而來，數學知識蘊涵于特殊事例之中，特殊情況是發現一般問題的解題思路的指南針．正如波利亞所說：“注意對特殊情況的觀察，能夠導致一般性的數學結果．”數學知識的建構一般遵循“特殊—一般—特殊”的認識過程，即從特殊情況(案例)出發，探索并發現一般性結論(知識)，再把具有一般性的知識用于特殊案例(具體情境)的解決．因此，數學知識源于特殊、用于特殊．對數學知識的理解應立足于特殊，對數學知識的記憶往往都依靠特殊．特殊化是數學問題解決最基本的思考方法．遵循由特殊到一般的認識規律，運用特殊化思想解答某些數學題更直觀、簡潔、形象、容易．在解決問題時，常用“特值”法，這里的“特值”是特殊數值、特殊函數、特殊數列、特殊方程、特殊位置、特殊圖形(點，線，面，體)等的簡稱．如在解答選擇題和填空題時，最實在的思考方法是采用特值法，這樣可將問題變得簡單、直觀，直擊問題本質，實現多想少算．又如，在處理綜合性的解答題時，可以把一般性問題“退”到特殊情形，從特殊情形著手就容易發現解題思路甚至發現問題的結論．

(3)用具象理解抽象

概念是數學的基礎，符號是數學的生命；“運算是數學的童子功(章建躍)”，“推理是數學的命根子(伍鴻熙)”．嚴謹的數學概念、抽象的數學符號、繁瑣的字母運算等，無一不體現數學高度的抽象性．數學高度的抽象性是學生學習數學困難的主要原因之一，其消解策略如下：①用“具象”破解“抽象”；②具體的形象思維與抽象的邏輯思維相結合，如“數”與“形”的結合；③數學概念案例化，即用典型、簡單的案例去理解概念；④數學符號意義化，即弄清數學符號的數學意義，特別是幾何意義；⑤字母運算數字化，即用數值運算去理解抽象的字母運算；⑥邏輯推理“導圖”化，即用“思維導圖”去標注和理解邏輯推理中每一個三段論推理的過程；⑦數學知識技術化，即用數學軟件展示數學知識的生長和形成的過程；⑧教學語言的形象化、生動化、幽默化．

(4)用情境理解知識

2.4 遷移化——讓遷移作為判斷掌握知識的標準

“為遷移而學”是數學學習的基本任務．遷移是心理學的一個概念，其原意是一種學習對另一種學習產生的影響．對數學學習而言，有內化式遷移和輸出式遷移之分，外在知識內化為個體的經驗這是內化式遷移，用個體的知識經驗去解決問題就是數學知識的應用，這是輸出式遷移，也簡稱為遷移．學會知識的應用(遷移)是掌握知識的基本標志．理解是遷移的基礎，但僅理解知識而不會遷移知識就是常說的“懂而不會”．學生學習某個新知識時，不能對知識的應用作過高的要求．也就是說，學生在弄懂一個初學的新知識之后，不應把綜合性太強的題目或太難的題目作為課堂練習題，因為學生做綜合性太強的題目或太難的題目很可能導致輸出式遷移的失敗，輸出式遷移的失敗會導致學生產生負面的情感體驗，從而學生難以產生成功體驗．輸出式遷移的成功體驗是數學教學成功的根本標志．用大白話來說，就是“會做題”是判斷學生學習成功的根本標志，也是判斷教師教學成功的根本標志．在數學課堂上，知識的應用(遷移)主要對應于例題和課堂練習這兩個教學環節．對數學新課教學而言，不管是例題還是課堂練習題，都應控制題目的難度．當下很多數學教師為了與高(中)考接軌，總想一步到位，總是喜歡在上新課時選取一些高(中)考題作為例題和課堂練習題，其結果常常用一道難題直接就把(很多)學生“打蒙”或“打暈”，這就像一個小孩還不會“爬”就訓練他走路一樣，失敗是必然的．分析其失敗的原因主要有下面幾點：(1)教師的新課教學總是想直接與高(中)考接軌，這樣做是“為了接軌而接軌”，欲速而不達，其實是難以接軌的，這背后有深厚的功利思想在做主；(2)對教材中的“練習”、“習題”、“復習題”或“總復習題”的功能的認識不到位，“練習”主要作用是在新課知識和例題學完之后做“課堂練習”或教學及時反饋時用的，“習題”是供當天課外作業選用的，“復習題”是在一個單元或一章復習后布置課外作業選用的，可以看出，“練習”、“習題”、“復習題”主要分別是用于課堂、課外作業、復習后作業，其綜合性越來越強、難度越來越高，題目的這種設計體現了認知邏輯，符合認知規律，當然有時也可挑選少量“習題”、“復習題”作為例題或課堂練習題，也可挑選個別高(中)考題作為例題或課堂練習題；(3)例題或課堂練習題的難度控制主要是憑經驗或感覺；(4)讓大量的劣質例題和重復練習充斥課堂，把數學思維活動演變成大量體力消耗的體力勞動，使學生成為“行為主義”的忠實實踐者(執行者)；(5)過分重視實際應用問題甚至“應用至上”，脫離學生經驗地去搞“數學建模”活動，會加大學習難度，加重學習負擔．

2.5 直覺化——讓直覺成為發現數學知識的幫手

著名數學家龐加萊有一句名言：“直覺用于發明，邏輯用于證明”．英國數學家伊思斯圖爾特認為，數學在于直覺和嚴格巧妙地結合在一起．直覺是發現(發明)數學的心理機制．直覺是發現數學知識的基本方法．數學知識的發現依賴數學直覺，而直覺依賴于直觀、經驗、數感、美感、應急、驚奇或驚艷等．數學直覺是對所學的數學概念、定理、公式、結論等沒有通過嚴格的演繹推理和邏輯思維活動就能產生直觀感知的一種認識能力[15]．數學知識的發現(發明)源于數學直覺．數學直覺產生于無意識的思考，數學直覺源于對數學的觀察力和洞察力．數學直覺既有先天的數感(對數學的感覺)，更需要后天的培養與訓練．其培養策略有優化認知結構、創設直覺思維場情境、訓練直覺思維方法、開發元直覺思維等；其訓練方法有觀察法、聯想法、歸納法、類比法、猜想法、估算法等[16]．這些訓練數學直覺的方法，本身就是一些發現數學問題、發現數學知識的常用方法．從發現數學知識的角度看，學習數學的過程就是找“數學的感覺(簡稱數感)”的過程．教師和學生要想發現(“再創造”)數學，既需要教師和學生對數學心生悟感并有所感悟，又需要教師和學生對發現(“再創造”)產生悟感并有所感悟，還需要培養發現(“再創造”)的勇氣、發現(“再創造”)的眼光、發現(“再創造”)的思維、發現(“再創造”)的方法．由“知識源于問題”與“問題是數學的心臟”推知，發現(數學)問題很重要，但這正是中國數學教育的弱項．運用“直覺是發現數學問題的心理機制”這一原理，數學教學應然的做法是在問題提出、分析、探究、解決的教學中培養直覺，并利用直覺培養“四能”．需要注意的是，中小學學生發現數學知識很不容易，若隨意拔高發現數學知識的要求，則會增加教學難度，也違背教育數學的初心．因此，中小學學生的知識發現主要采用“再創造”式發現，或通過運用直覺、培養直覺、提升直覺等方式間接地培養學生發現數學知識的能力．

3 結束語

教育數學是教師教好數學和學生學好數學的重要載體(教學內容)．教育數學是數學教師重要的核心素養．教育數學是消解數學知識邏輯與學生認知邏輯內在矛盾的根本方法，教育數學的有效實施需要教師對數學本質有較深理解，對學術型數學能夠再加工和改造，對學生的學習邏輯和認知邏輯有深刻認識．教育數學的有效實施，需要教師樹立終身學習理念，認真學習現代數學思想和教育心理科學，感悟教育數學之妙，敬畏教育數學之道，善于思考，大膽實驗，精于總結和反思．