基于高考試題綜合難度模型的比較研究
——以全國數學高考Ⅰ卷、新高考Ⅰ卷為例

劉 靜 周思波

(四川師范大學數學科學學院 610068)

1 問題提出

2013年，教育部啟動了普通高中課程修訂工作，深入總結了本世紀以來我國高中課改的寶貴經驗，于2018年印發了《普通高中數學課程標準(2017年版)》，指導新一輪課程改革的實踐.新課標要求高考貫徹德智體美勞全面發展的教育方針，堅持素養導向、能力為重的命題原則，在評價學生學業質量與課程內容的同時注重對學生數學學科核心素養的考查，落實立德樹人根本任務，體現高考數學的科學選拔和育人導向方面的作用.最受師生關注的莫過于新高考提倡不分文理科，所有考生使用同一張試卷，試題的內容、形式和水平都將發生明顯的改變.為了使高考試題具有精確的區分度，教育部考試中心的任子朝、陳昂等人(2019)開發了多選題、開放題等新型問題，命制了新題型測試卷，在浙江、山東、廣東進行了測試，對新題型測試卷的題型質量、題型結構進行了系統分析，對新高考試題的命制進行了實證分析和理論探索[1].

2020年高考是新課標頒布以來，第一次啟動不分文理科的新高考方式.教育部考試中心指出新高考數學堅持改革創新，全面貫徹高考評價體系的要求，更新評價理念，落實立德樹人根本任務，在考試內容改革、題型創新、試卷結構改革以及科學調控難度等方面進行了積極探索[2].其中明顯的題型結構變化是增加了多選題與結構不良試題，新題型的引入，為不同層次的學生提供了發揮空間.2021年將有8個省實行高考綜合改革，使用新高考卷.在此背景下，有必要探究新高考卷的題型變化情況以及與傳統高考數學試題的綜合難度差異.但從試卷的表面特征判斷難度變化只能得到淺表的結論，想要了解本質變化需要借助科學的工具進行深層次的分析.

武小鵬(2018)對鮑建生的習題難度模型進行了改編，在原有的背景、知識點數量、運算水平、推理、認知水平5維度模型上增加了思維方向、是否含參2個維度，形成高考試題的難度的評價模型，更符合標準化考試的評價，并用該模型對中韓高考試題進行了比較[3].李保臻,石燁(2020)認為高考數學解答題一般涉及到幾個子問題，子問題之間是否有關聯會影響試卷的綜合難度，故而在武小鵬高考試題綜合難度模型的基礎上增加“梯度”因素，具體分為“問題互不干擾”、“問題間有聯系”兩個水平[4]，并用此模型對大陸與臺灣地區的數學高考試題難度進行比較分析.張玉環,周俠(2020)也用武小鵬的高考試題綜合難度模型對2015—2019中國與法國的高考試題展開了比較研究，作者結合中國新高考改革的要求對高考命題提出了幾點建議[5].

由此可見，近年來對高考試題試題難度的關注與日俱增，研究工具也趨于完善.試題難度是反映試題質量的主要指標，對高考試題難度進行分析有助于試題命制者準確把握高考走向，對廣大一線數學教師的教學也起著重要的調節作用.本研究擬對2020年數學高考全國Ⅰ卷文科、理科分卷和新高考Ⅰ卷在高考試題綜合難度模型下進行定量分析與定性探索，為數學試題命制者和一線教師提供一定的實證依據.

2 研究對象與研究工具

2.1 研究對象

2020年高考由教育部考試中心命制了8套數學試卷，包括文理科全國Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷，以及不分文理科供山東使用的新高考Ⅰ卷、供海南使用的新高考Ⅱ卷.其中全國Ⅰ卷適用于河南、河北、山西、江西、湖北、湖南、廣東、安徽、福建9個省份，考慮到全國Ⅰ卷的使用范圍最廣，本研究選取全國Ⅰ卷文、理科分卷與新高考Ⅰ卷作為研究對象.

從題型與題量上看，2020年全國Ⅰ卷在2019年的基礎上繼承與發展，文理科試卷一共23道題目，1-12題為選擇題，13-16題為填空題，17-21題為必做解答題，22、23題為選考題.新高考Ⅰ卷共22道題，其中1-8題為單選題，9-12題為多選題，13-16題為填空題，17-22題解答題.

表1 試卷的題量與分值對比

在題型方面，新高考增設了多選題和結構不良兩種題型.數學多選型試題具有無需解題過程、考查容量大、解題思路廣、數學思想豐富、對學生進行多層次區分的特點.因此，多選題對能力的考查更加深入，要求學生具備完整、細致、全面的思維品質.例如新高考Ⅰ卷第9題考查圓錐曲線和直線的基本概念與性質，所考查的知識點廣泛，學生若僅掌握了其中一種圓錐曲線的概念與基本性質，部分選對只能得3分，若對直線與圓錐曲線有較為全面的認識選對所有選項則可得5分.如此設置提高了試卷對不同層次學生的區分度.

結構良好試題是指題目的初始狀態、目標狀態和算子都是完整的，結構不良試題則缺少三個要素中的至少一個.學生在傳統高考中遇到的都是結構良好試題，條件不多不少、問題目標明確、有規范的解題思路和方法.但現實生活中遇到的問題大多是結構不良問題，在高考中增設具有開放性的結構不良問題，有助于提升學生提出問題、分析問題、解決問題的能力，符合新高考從能力立意到素養導向的轉化[6].新高考Ⅰ卷第17題解三角形是結構不良試題，題目屬于條件缺失的問題，要求學生從額外給定的三個條件中任選一條將題目結構補充完整再作解答.不同的選擇導致解題策略的不同，實現了對學生知識與能力的掌握從多方面進行考查.

2.2 研究工具

本研究主要參考武小鵬在鮑建生難度模型基礎上改進的高考試題綜合難度模型.模型共提出了7個難度因素：背景因素、是否含參、運算水平、推理能力、知識含量、思維方向、認知水平.各因素的水平劃分見表2.

表2 基于高考試題的綜合難度系數模型結構與內涵

續表

根據難度模型框架編碼所得的數據可帶入公式①計算各因素的難度系數di(i=1,2,…,7)：

①

2.3 編碼方法

按照表2中各難度因素不同水平內涵描述，對全國高考Ⅰ卷文、理科和新高考Ⅰ卷進行編碼.編碼示例如下：

例1(全國高考Ⅰ卷文理科第3題)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐.以該正四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積，則其側面三角形底邊上高與地面正方形的邊長的比值為( ).

該題編碼為生活背景A2、無參數B1(題目涉及的計算都是靜態的數值運算，沒有涉及到數值的變化)、簡單符號運算C3(需要設出未知數并解方程，涉及到對于符號的四則運算)、D1簡單推理(推理只需要1步：根據提示和示意圖列出各邊長之間的等量關系，化簡計算即可得出結果)、單個知識點E1(立體幾何的結構特征)、順向思維F1(按照現有的知識安排順序，順向直接解決問題)、運用水平G2(在立體幾何基本特征的基礎上通過不同生活情景做了構造，屬于知識的運用).

例2(新高考Ⅰ卷第9題) 已知曲線C:mx2+ny2=1.( )

A.若m>n>0，則C是橢圓，其焦點在y軸上;

D.若m=0，n>0，則C是兩條直線.

該題編碼為A1無背景(直接以純數學知識為背景)、B2有參數(含有參數m和n)、C3簡單符號運算(涉及參數的簡單運算)、D1簡單推理(直接由概念即可推理出結果)、E3大于等于三個知識點(該題考查圓錐曲線與直線的基本性質，包含橢圓、雙曲線、直線的概念與基本性質)、F1順向思維(根據題意和圓錐曲線性質，順向解決問題)、G2運用水平(對圓錐曲線相關概念正確理解、并能對漸近線方程的求解方法進行運用).

對全國高考Ⅰ卷文、理科和新高考Ⅰ卷試題編碼后的原始數據進行匯總統計，并計算各分維度難度系數后得到下表:

表3 全國高考Ⅰ卷文、理科和新高考Ⅰ卷試題綜合統計

3 研究過程與結果

下面對三套試卷從難度模型的7個方面分別進行比較分析，最后對三者的綜合難度系數作出比較.其中折線圖的橫軸表示每個難度因素的不同水平，縱軸表示三套試卷在不同水平上的占比.

3.1 背景因素

圖1 背景因素上的折線對比圖

關于三套試卷背景因素的統計圖對比如圖1所示.由圖1看出全國Ⅰ卷文理科的試題背景設置上是一致的，23 道題目中只有3道以生活背景展開，其他都以純數學背景的形式直接進行考查.新高考Ⅰ卷則明顯更注重試題背景的設置，22道題中包含5道生活背景題目和2道科學背景題目，有背景題目的占比從傳統高考的13.04%上升為新高考中的31.82%.

3.2 有無參數

圖2 參數因素上的折線對比圖

圖2展示了三套試卷題目中有無參數的情況.可以看到新高考Ⅰ卷與全國高考Ⅰ卷文科的情況比較接近，不含參數的題目數量略高于含參題量.但總體而言，新高考Ⅰ卷不含參數的題目多于全國高考Ⅰ卷文理科，含參數的題目比二者少.

3.3 運算水平

圖3 運算水平上的折線對比圖

由圖3可知全國Ⅰ卷理科在符號運算的要求比文科要求更高，新高考Ⅰ卷在簡單數值運算要求上居中，在復雜數值與簡單符號運算上要求較低，處于復雜符號運算水平的題目比全國高考Ⅰ卷都多.事實上，三套試卷的選擇壓軸題12題的計算量可以在一定程度上反映這樣的差異.

3.4 推理水平

圖4 推理水平上的折線對比圖

由圖4可以看出新高考Ⅰ卷與全國高考Ⅰ卷在推理水平上有較大的差異.全國高考Ⅰ卷簡單推理的題目數量高達60%、65%，相反的，新高考Ⅰ卷簡單推理的題量低于50%，復雜推理的題量高于50%.說明新高考卷更注重對學生推理能力的考查.

3.5 知識含量

圖5 知識含量上的折線對比圖

圖5展示了三套試卷題目所考知識點數量的情況，可以看出三者存在明顯的差異.首先，全國Ⅰ卷文理科僅考查一個知識點的題量相當，新高考Ⅰ卷則比二者少；另外，新高考Ⅰ卷考查兩個知識點的題量處于全國高考Ⅰ卷文理科之間；最后，新高考Ⅰ卷、全國Ⅰ卷文理科卷對三個及以上知識點進行考查的題量明顯成遞增的趨勢：全國Ⅰ卷文科<全國Ⅰ卷理科<新高考Ⅰ卷.

3.6 思維方向

圖6 思維方向上的折線對比圖

由圖6可知新高考相對傳統高考的又一區別是思維方向的側重不同.傳統高考略重視順向思維，全國高考Ⅰ卷文理科考查順向思維的題量占比分別為65%、56%，而新高考對逆向思維、發散思維的重視程度有所增加，逆向思維題目數量占比為50%.

3.7 認知水平

圖7 認知水平上的折線對比圖

試卷重點考查的認知水平也是新高考與傳統高考的一大差異.全國高考Ⅰ卷文理科在認知水平的三個層次上無差異，而新高考Ⅰ卷對理解和運用層次的考查明顯低于全國高考Ⅰ卷，分析層次題量則多于全國高考Ⅰ卷.

3.8 綜合難度

圖8 三套試卷綜合難度系數雷達圖

通過繪制三套試卷在難度模型上的雷達圖可以更清晰地看到：(1)傳統高考與新高考考查側重點的整體走向相近；(2)存在明顯差異的是背景因素、知識含量、認知水平、推理水平四個維度；(3)新高考對含參題型的考查有所減弱，對新穎背景、高層次認知、知識點綜合性、邏輯推理提出了更高的要求.根據試卷在各因素上的加權平均值和各因素的權重，將相應的值帶入難度系數計算公式得到：全國Ⅰ卷理科的難度系數D1=11.55，全國Ⅰ卷文科的難度系數D2=11.30，新高考Ⅰ卷的難度系數D3=11.93.三者的難度由高到低排序為：新高考Ⅰ卷>全國Ⅰ卷理科>全國Ⅰ卷文科.

4 研究結論與建議

4.1 研究結論

(1)新高考與傳統高考試題的“背景因素”有明顯差異，新高考將重視問題情境的設置

新高考Ⅰ卷共有7道題分別在生活情境、數學文化、社會時事、科學背景進行對數學知識的考察，有背景的試題占比為31.82%，這在高考史上創下了一個新高，說明新高考將重視問題情境的設置.難度模型中的“背景”即“情境”，《普通高中數學課程標準(2017年版)》指出，情境主要是指現實情境、數學情境、科學情境，新課標中共出現“情境”一詞158次，而實驗版課標中僅出現了28次，新課標強調“以主題為引領，使課程內容情境化，促進學科核心素養的落實”.在新課改提倡“以立德樹人作為根本任務，發展素質教育”的當下，培養學生數學核心素養不能僅僅靠純數學情境完成，國外研究者Katja Lengnik指出數學核心素養的獲取應通過特定的情境潛移默化地進行[8].我國學者常磊(2017)也論述了情境與六大數學核心素養的密切關系，充分肯定了問題情境在培養學生是數學核心素養上的作用[9].

與純數學背景題目不同的是，考生在面對生活或科學背景題目時，需要快速提取情境中的關鍵信息，將題干信息與自身認知結構中的知識與方法聯系起來.在日常教學中，教師應引領學生在情境中抽象數學概念、積累數學活動經驗，培養學生在較為復雜的情境中把握事物之間的聯系、理清事物發展脈絡的能力，潛移默化地提高學生在現實情境中用數學的眼光發現、提出、分析、解決問題的素養.

(2)新高考試題的知識含量要明顯高于傳統高考，新題型重視知識的綜合運用

新高考Ⅰ卷試題中單獨考查一個知識點的題量較傳統高考有所降低，表明新高考試題的綜合性更高，這與新高考增設了4道多選題型和1道開放題有一定關系.多選題的設置讓學生拿分變得容易，但要拿全分則要求學生不僅對知識點的聯系和區別有準確的把握，思考和運算的速度也需要提高.因為多個選項中往往涉及多個知識點，對題目所包含的定義之間的準確理解和融會貫通是多選題的考查重點.結構不良題型的開設也是同樣的道理，不同的選擇意味著不同的知識點，學生需要對題目所涉及的知識點有正確且全面的把握才能在開放題中拿到滿分.

從立意上看，新題型是對四基(基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗)和四能(發現問題、提出問題、分析問題、解決問題)的良好考查形式，它強調對多個條件或結論之間的知識內在聯系和方法的互通性的把握，能體現學生思維的靈活性和深刻性.新題型對考查學生數學核心素養能起到不可替代的作用，實現了高考功能從能力立意到素養導向的轉化.鑒于學生對新題型考查理念的理解還不夠，教學中教師應多為學生提供具有探究性的思考空間，引導學生主動創新，達到拓展學生思維深度與廣度的目的.

(3)新高考對學生邏輯推理能力要求加強

邏輯推理是從一些事實和命題出發，依據規則推出其他命題的素養，包括從特殊到一般的歸納、類比推理，以及由一般到特殊的演繹推理方式，其中數學運算也是一種演繹推理.數學是從對現實世界中的數量關系與空間形態進行抽象的過程中發展起來，并在符號運算、形式推理的過程中變得更加嚴謹.邏輯推理是獲得數學結論、建構數學體系的主要方式，它保證了數學的嚴謹性，也是人們在進行數學活動時不可缺少的基本品質.高考要求學生能夠理解相關概念、命題、定理之間的邏輯關系，并能在具體的情境中結合題目條件探尋解決問題的思路.

由圖4可以看到，傳統高考試卷的簡單推理試題占比較多，而新高考Ⅰ卷中復雜推理題量占55%，這與知識點的綜合考查以及復雜情境的設置有關.例如新高考Ⅰ卷選擇題第4題以中國古代的日晷為背景，考查線面夾角，涉及平面平行、線面垂直的性質定理.需多次運用演繹推理，結合球體、平面幾何知識計算出結果，該題屬于中檔題，推理過程較復雜.選擇題第6題以科學情境新冠狀肺炎的傳染模型為背景，用大量的文字介紹了流行病傳染人數滿足的指數函數模型特征，該題的求解需要結合題目條件與已有的知識，結合指數式化對數式的運算法則，邊推理邊計算.

4.2 建議

隨著高中數學課程改革的推進，高考改革也得到了深化.《國務院關于深化考試招生制度改革的實施意見》指出：高考應依據高校人才選拔要求和國家課程標準，科學設計命題內容，增強基礎性、綜合性，著重考查學生獨立思考和運用所學知識分析問題、解決問題的能力[10].2020年數學新高考在測評學生在現實情境中分析解決問題、綜合運用知識解決問題的能力上較為突出的成果，為促進傳統高考向著靠近新高考結構、難度要求的方向改革，文章基于研究結論，提出以下幾點建議：

(1)為更好地發揮情境在引導素質教育、促進學生全面發展中的作用，激發師生重視社會現實問題、增強數學文化自信，在命題中，應適當結合現實情境與科學情境對知識點進行考查.根據《普通高中數學課程標準(2017年版)》，試題情境可分為熟悉的、關聯的、綜合的三類，就新高考Ⅰ卷而言，新高考的情境題型更傾向于對具有關聯性的知識點進行考察，具有較強的綜合性.比如新高考Ⅰ卷第6題在新冠肺炎疫情的背景下考察學生對指數函數模型的掌握情況，題目還涉及指數式化對數式等符號運算，相比于傳統高考試題單一、熟悉的情境，新高考試題的命制在綜合性上有所增加.

(2)鑒于開放性問題在考察學生的思維過程、實踐能力和創新意識的優越性，命題時，應包含一定數量的開放性問題和探究性問題.根據新課標要求，開放性問題情境的命制應自然、合理.在評分的過程中應注意公平性和閱卷的可操作性：達到測試的基本要求即可視為滿意，對于有所拓展或創新的情況可以適當加分.

(3)命題還要注意提高試卷的區分功能.2013年11月發布的《中共中央關于全面深化改革若干重大問題的決定》指出高考改革的方向，提出“探索全國統考減少科目、不分文理科、外語等科目社會化考試一年多考”[11].改革對數學科目試卷的區分功能提出了更高的要求，據教育部考試中心任子朝等人關于高考試題區分功能的研究結果：要提高試卷的區分度，首先應該提高試卷考查的目的性，其次，適中的試題難度可以保障試卷的區分度[12].