數學問題解答

2021年3月號問題解答

(解答由問題提供人給出)

2591(費—哈不等式的隔離): 若a,b,c,△分別為△ABC的三邊長及面積,則有

(天津水運高級技工學校 黃兆麟 300456)

證明首先證明鏈中第一個不等式.注意到

∑a(b+c-a)=2∑bc-∑(b2+c2-a2)

=2∑bc-∑2bccosA

故鏈中第一個不等式成立.

鏈中第二個不等式與熟知的三角不等式

故知鏈中第二個不等式也成立.至此命題獲證.

2592如圖，D為△ABC中AB邊的中點，ω1和ω2分別為△ACD和△BCD的外接圓，ω1在點A處的切線交ω2于點E和F，ω2在點B處的切線交ω1于點G和H，證明：AC·EF=BC·GH.

(河南輝縣一中 賀基軍 453600)

證明如圖，設直線EC與圓ω1的另一交點為G′，直線FC與圓ω1的另一交點為H′.

在圓ω1上，D，G′，H′三點與D，G，H三點都是順時針排列順序.

連接G′A，G′D，EB，ED.

根據弦切角的性質得

∠AG′D=∠DAE=∠BAE，

又因∠G′AD=∠G′CD=∠DBE=∠ABE，

根據上式及題設AD=BD得

又因∠G′AB=∠G′AD=∠DBE，

故△G′AB∽△DBE，從而有∠DEB=∠DBG′，

由此可知直線BG′與圓ω2相切于點B.

同理，直線BH′與圓ω2也相切于點B.

因圓ω2在點B處僅有一條切線BG(BH)，故直線BG′，BH′與直線BG(BH)為同一直線，

因此G′，H′兩點依次重合于G，H兩點.

設圓ω1的半徑為R，由正弦定理得

因 sin∠ADC=sin∠BDC，

sin∠GCH=sin∠ECF，

(江蘇省常熟市中學 查正開 215500)

設an的個位數為xn，bn的個位數為yn，anbn的個位數為gn，則

由a1=1,b1=1得x1=1,y1=1,g1=1，

反復運用遞推關系(2)立得

x2=3,y2=2,g2=6；x3=7,y3=5,g3=5；

x4=7,y4=2,g4=4；x5=1,y5=9,g5=9；

x6=9,y6=0,g6=0；x7=9,y7=9,g7=1；

x8=7,y8=8,g8=6；x9=3,y9=5,g9=5；

x10=3,y10=8,g10=4；x11=9,y11=1,g11=9；

x12=1,y12=0,g12=0；x13=1,y13=1,g13=1.

由此得個位數呈現周期性，其周期T=12，因此g2020=g4=4，

所以ab的個位數字為4.

2594已知⊙W1是△ABC的外接圓(如圖)，AB>AC，∠BAC的平分線AT，在AT上取一點P(△ABC的內部)，點P在BC、CA、AB上的射影分別為D、E、F，點M為弧BAC的中點，過D、E、F三點的⊙W2交BC于點D、K，KS⊥EF于點S，射線AS交⊙W1于點N．求證：N、K、M三點共線．

(江西省高安市石腦二中 王典輝 330818)

證明設MK交⊙W1點N1．

過點N1作RQ∥FE交AB于點R，

交AC的延長線于點Q，

聯結BN1、BP、BS、FD、SC、EK、CP、CN1，

因為B、D、P、F四點共圓，

故∠BPF=∠BDF．

又D、K、E、F四點共圓，

故∠BDF=∠KEF=∠KES，

所以∠BPF=∠KES，

有Rt△BPF∽Rt△KES,

有ES·BF=KS·PF, ①

同理，有Rt△FSK∽Rt△PEC，

有FS·CE=KS·PE;②

因為點P是∠BAC的平分線上的點，

PF⊥AB、PE⊥AC，

知PF=PE，由式①和②得

因為∠AFE=∠AEF，得∠BFS=∠CES．

結合式③，可得△BFS∽△CES，

因為KS⊥EF，知∠BSK=∠CSK，

由三角形內角平分線性質定理，得

因RQ∥FE，AF=AE，

則AR=AQ，∠ARN1=∠AQN1．

又因為A、B、N1、C四點共圓，

有∠RBN1=∠ABN1=∠QCN1

由于M為弧BAC的中點，

知N1K平分∠BN1C，

所以N1、N重合，

故N、K、M共線．

2595已知正數a，b，c滿足a+b+c=ab+bc+ca，求證：

(a2+a+1)(b2+b+1)(c2+c+1)

≥3(a+b+c)2.

(河南省南陽師范學院軟件學院 李居之 孫文雪473061)

證明設待證不等式的左右之差為M，

由條件a+b+c=ab+bc+ca兩邊平方可得

a2b2+b2c2+c2a2

=(a+b+c)2-2abc(a+b+c)，

所以

M=a2b2c2+abc(ab+bc+ca)+abc(a+b+c)+(a2b2+b2c2+c2a2)+(a2b+b2c+c2a+ab2+bc2+ca2+abc)+a+b+c+1-2(a2+b2+c2)-5(ab+bc+ca)=a2b2c2+2abc(a+b+c)+(a2b2+b2c2+c2a2)+(a+b+c)(ab+bc+ca)+1-2(a+b+c)2-2abc

=a2b2c2+2abc(a+b+c)+(a2b2+b2c2+c2a2)+1-(a+b+c)2-2abc

=a2b2c2+2abc(a+b+c)+(a+b+c)2-2abc(a+b+c)+1-(a+b+c)2-2abc

=a2b2c2-2abc+1

=(abc-1)2≥0.

從而原不等式成立，等號成立的條件是abc=1.

2021年4月號問題

(來稿請注明出處——編者)

(華中師范大學國家數字化學習工程技術研究中心 彭翕成 430079 )

2597證明2103-23能被1000整除.

(江西省共青城市國科共青城實驗學校 姜坤崇 332020)

2598如圖，已知在△ABC中AC+BC=3AB，G、I分別是△ABC的重心、內心，求證：GI⊥AB.

(江蘇省無錫市第一中學李廣修214031)

2599設ai(i=1,2，…，n)是正實數，n≥3,求證：

(四川成都金牛西林巷18號晨曦數學工作室 宿曉陽 610031)

2600△ABC中，AB=AC，D、E分別是AB、AC延長線上的點，F,G分別是CD,AC上的點，且滿足DF=3FC,GC=2AG.求證：BD=2CE，DE⊥EA，EF⊥DG這三個條件，任意已知兩個，可得第三個.

(山西省臨縣一中 李有貴 033200)