Robust估計在投資組合問題中的應用研究

陳亞男，朱 睿，畢緣媛

(1.巢湖學院 數學與統計學院，安徽 合肥238000；2.巢湖學院 工商管理學院，安徽 合肥238000)

1 背景分析

投資組合是分散風險的有效途徑。投資者在投資過程中追求收益越大越好，風險越小越好。但是由于投資中不能明確定義收益和風險，金融投資行業面臨的根本任務就是：如何在不確定的環境下有效配置資產，實現收益最大化與風險最小化的平衡，即如何進行投資組合的選擇。一般地，研究者都假設Markowiz均值-方差投資組合模型(以下簡稱M-V模型)的收益率是對稱分布的，這導致資產收益率的樣本均值和協方差矩陣存在估計誤差。隨著時間推移，不穩定的投資組合權重會大幅波動，擴大了該模型的局限性，使得該模型的投資效果表現不佳。此外，通常認為樣本均值中的估計誤差遠大于樣本協方差矩陣中的估計誤差。

Markowitz對最優投資組合問題進行了開創性的研究[1]，提出采用方差度量風險，均值度量收益，建立了均值-方差投資組合模型分散風險。Markowitz[1]又擴展了資產組合選擇理論，改進了均值-方差投資組合，提出了僅僅依賴于協方差矩陣的均值-方差模型(最小方差投資組合模型)。Black和Litterman驗證了在Markowitz均值-方差模型中資產收益對均值和協方差矩陣非常敏感[2]。Chopra和Ziemba也證實了估計參數的微小變化能夠引起均值-方差投資組合的巨大改變[3]。Broadie的研究表明不穩定投資組合在樣本平均和協方差方面的表現很差[4]。Chan證實了改進的Markowitz均值-方差投資組合不依賴于資產收益率均值的估計，但仍然非常容易受到估計誤差的影響[5]。Jagannathan驗證了樣本均值的估計誤差較大，忽略樣本均值投資組合的損失就會大大降低[6]。Jagannathan，DeMiguel，Jorion證明了即使夏普比率與樣本均值和協方差兩者相關的其他績效指標用于比較時，改進的Markowitz均值-方差投資組合通常表現得也不是更好[6-8]。這些都是由于資產收益率不完全滿足正態分布這個假設條件引起的。

為此，很多國內外學者對Markowitz的均值-方差投資組合模型做了改造，即用魯棒估計量代替均值和協方差矩陣形成拓展的投資組合。Huber[9](P182-313)，Hampel[10](P89-138)，Rousseeuw和Leroy的研究表明即使當經驗(樣本)分布偏離正態分布時[11](P154-246)，魯棒估計量也能提供有關資產收益率有意義的信息。Tukey舉例說明了使用魯棒估計量的優點[12](P448-485)。Lobo和 Body，Goldfarb 和 Iyengar在均值-方差框架中研究了魯棒投資組合問題[13-14]。Quaranta 和 Zaffaroni在期望收益滿足盒狀不確定集的條件下[15]，通過使用Soyster的方法，研究了基于CVaR的投資組合的魯棒優化問題，解決了傳統均值-方差投資組合模型中估計誤差的敏感性問題和投資組合權重的不穩定性。康志林改進了CVaR模型[16]，進一步研究魯棒優化模型的光滑估計方法。何先影把非參數估計引入均值-絕對偏差和均值-下半絕對偏差投資組合模型的研究[17]。程夢婷結合了魯棒估計與偏距，對投資組合模型進行了研究[18]。趙慶在魯棒優化模型中引入交易成本和現實約束，發展了多種魯棒估計投資組合模型[19]。Cavadini，Perret-Gentil也提出了投資組合權重對資產收益偏離正態分布的敏感性分析的界限[20-21]。Cavadini，Perret-Gentil的研究表明投資組合的分析界定自動地來自于資產回報協方差矩陣的魯棒估計量的影響函數。Jagannathan表明強制賣空限制有助于減少估計誤差對最小方差投資組合的穩定性和表現的影響[6]。李雄英針對夏普指數模型使用到的回歸分析中的回歸系數易受到離群值的影響[22]，將魯棒估計引入到回歸模型中，構建了魯棒夏普指數模型。李健通過統計分析和定量分析，對現代投資組合和魯棒估計進行總結[23]，建立了風險不確定下的魯棒估計投資組合模型。丁碩利用Fast-MCD多變量魯棒估計方法改進了投資組合效果[24]。DeMiguel和Nogales提出了M-估計和S-估計投資組合[25]，盡管設計了新的損失函數來解決投資組合敏感性問題，但是模型相對比較復雜，計算過程中的運算量依然很大。本文在DeMiguel和 Nogales研究的基礎上進行改進，用Tukey損失函數代替Huber損失函數來解決M估計投資組合問題的最優性條件隨資產收益分布的變化而變化的問題，從而得出這些分析范圍，不僅能夠減少計算量，而且使得模型更為簡潔。

2 理論基礎

2.1 Markowiz均值-方差投資組合模型

Markowiz均值-方差投資組合模型(以下簡稱M-V模型)的假設條件為：資產的收益率的概率分布已知，以資產組合收益率的期望值度量不確定的收益，以方差度量投資組合的風險，理性的投資者希望資產組合收益率的期望值更大，而其方差值越小；投資者遵守占優原則，即面對相同風險水平，選擇資產組合收益率大的資產組合；對于相同收益率，選擇風險程度小的資產組合。以隨機變量Xp表示投資組合P={1,2,…,n}的投資組合收益率，則傳統的M-V模型為：

(1)

2.2 魯棒估計投資組合模型的建立

2.2.1 魯棒性

當樣本分布與正態分布稍微偏離時，傳統投資組合估計的效率可能會大大降低。當收益率服從正態分布的時候，魯棒估計量在投資組合模型的應用并不像最大似然估計(MLE)那樣有效，但是它們的屬性對于正態分布的偏差并不那么敏感。因此，我們考慮風險資產的收益率大部分時間是正態分布，但是風險資產的收益率遵循不同的偏差分布的可能性很小。也就是說，我們假設真正的資產收益分布G是

(2)

在這里，μ是正態分布的均值，∑是正態分布的協方差矩陣，D為偏差分布。本文的基本假設之一是投資者確實知道真正的資產收益分布偏離正態分布，但投資者并不知道這種偏差的參數形式。若投資者知道參數形式的偏差分布D，則通過使用最大似然估計(MLE)來估計該分布，投資者就能更好地進行投資。DeMiguel和 Nogales給出了5種偏差分布的形式[25]，本文采用第一種偏差分布。

2.2.2 損失函數

Markowitz提出的方差風險測度是用方差來衡量資產收益率與收益率期望的偏差程度的指標[1]，并且方差風險測度將異于期望收益率的所有情況均視為風險。在投資組合優化模型中，通常方差越大就說明這種投資組合所承擔的風險越高，也就是說，方差越大，風險就越大，所造成的損失也就越多。因此，損失函數ρ(r)也可以作為一種風險測度，來衡量投資組合的有效性。投資組合中常用的幾種損失函數為Lp損失函數、L1-L2損失函數、Huber損失函數、Tukey損失函數等。其中Tukey損失函數具有良好的樣本外性質，若將其用于魯棒M-投資組合，必須滿足兩個條件：

1)Tukey損失函數必須是對稱的，且最小值為0；

2)存在一個常數c，當x∈[0,c]時，Tukey損失函數嚴格增加；當x∈[c,+∞)時，Tukey損失函數為常數。

2.2.3 魯棒估計投資組合模型

將M估計用于投資組合，如何才能將風險、收益與M估計結合起來，本文將構造投資組合風險的M-估計量：

(3)

其中，ρ(·)為損失函數，用于表示投資組合的風險。本文選用Tukey損失函數，m是最優投資組合下的M估計量，從而(3)式可以轉化為以下優化問題來計算M估計量：

(4)

本文選擇M估計量作為魯棒估計投資組合模型的估計量，損失函數ρ(·)是最小值為0的凸對稱函數，用于表示投資組合的風險，對于給定的投資組合權重ω，m是投資收益率的M估計量，從而(4)式可以轉化為

(5)

通常資產收益率的均值或協方差矩陣用作M估計量，其不足是對樣本數據中離群值十分敏感，誤差較大。故本文用Tukey損失函數來代替協方差矩陣，從而建立一種區別于M-V模型的魯棒估計投資組合模型(以下簡稱M-Tuk模型)：

(6)

如果固定ω，(6)式的目標函數的m的最小值等于(5)式中投資組合收益率風險的M估計量。如果將投資組合的權重向量ω作為優化問題的變量，則使得風險最小化的M估計投資組合就建立了。

3 投資組合模型的實證分析

M-V模型對于樣本數據具有較大的依賴性，利用樣本數據計算模型的變量。一般情況下，本文采集的樣本數據并不完全服從正態分布。為克服樣本數據不完全服從正態分布這個缺點，本文使用魯棒估計方法對樣本數據進行處理，而損失函數為風險度量。魯棒估計方法有如下優點：一是該方法放寬了假設條件，對于資產收益率的分布是否滿足正態分布不作要求，更符合實際情況；二是考慮到樣本數據存在互相依賴性，該方法允許實驗中采集的數據存在相互依賴性，滿足實際中金融損失數據的研究要求。本文使用M-Tuk模型算出有效邊界，給出投資組合權重箱線圖，以及Sharpe Ratio，turnover rate等績效指標，然后與傳統的M-V模型進行對比分析。

3.1 數據選取與分析

為了能夠更好地研究M-V模型與M-Tuk模型的有效性，本文主要對滬深300指中20只股票的日收盤價進行研究分析，對數據進行預處理，算出每只股票的日收益率rti。然后，用MATLAB 2013a對rti進行分析，具體統計結果，見表1。

3.2 數據的正態性檢驗

M-Tuk模型是建立在股票收益率為非正態分布基礎上的，因此本文需要進一步驗證數據是否服從正態分布，從股票收益率的柱狀統計圖以及Q-Q圖分析其正態性。

由圖1(左)柱形統計圖中的數據可知，萬科A股票收益率序列的均值(Mean)是0.002407，標準差(Std.Dev.)是0.027344，偏度(Skewness)是0.711545，峰度(Kurtosis)是5.999888。其中，偏度值大于0，峰度值大于5，這些參數值說明序列分布有長的右拖尾，且具有尖峰和厚尾的特征。同時，Jarque-Bera統計量為335.3289，P值為0.00000，拒絕該指數收益率序列服從正態分布的假設。柱形圖的數據表明萬科A股票指數收益率不服從正態分布。圖1(右)Q-Q圖發現中直線方程為y=x，而股票收益率的Q-Q圖偏離直線y=x的程度較大。這種現象進一步證實了股票收益率存在非正態性。綜合上述，對萬科A股票數據的分析，我們發現萬科A股票收益率具有波動集聚性和非正態性。

同理，用Eviews軟件畫出余下19只股票收益率的柱狀圖和Q-Q圖，經分析圖中各類統計參數后得出均不服從正態分布，具體的統計參數分析見表2。

表1 股票收益率統計描述

圖1 萬科A指數收益率柱狀統計圖和Q-Q圖

表2 20只股票收益率的統計量

續表

3.3 傳統投資組合與魯棒投資組合有效邊界的分析

經過上述對數據處理分析后，本文已經斷定數據具有漸進正態性。有效邊界是指所有投資組合中，相同風險下，收益最高的那些組合，或者說是收益相同時，風險最低的組合，即所有投資組合機會集左上方邊界，本文只研究有效邊界的左上方邊界。不同的投資組合模型的有效邊界可能不同。具體來說，在相同風險下，不同投資組合模型的收益不同，或在獲得相同收益的情況下，投資者使用不同的投資組合進行投資時所承擔的風險也有所差別。本文用采集的樣本數據來研究分析M-V模型與M-Tuk模型的有效邊界。通過MATLAB 2013a軟件對樣本收益率進行分析，得到相關的有效邊界圖像，描述如圖2。

圖2 不同偏離程度下投資組合的有效邊界

從圖2中不難看出，自上而下，第一條有效邊界是h=0條件下M-Tuk模型的有效邊界，第二條是h=0.025條件下的M-Tuk模型的有效邊界，第三條是h=0.05條件下的M-Tuk模型的有效邊界，第四條是h=0條件下的改進后M-V模型的有效邊界，第五條是h=0.025條件下的改進后M-V模型的有效邊界，第六條是h=0.05條件下的改進后M-V模型的有效邊界。顯而易見，M-Tuk模型的有效邊界很明顯都位于M-V模型有效邊界的上方，這說明M-Tuk模型在選擇如何投資時有著更好的表現，即在保證投資風險不變的情況下，選擇M-Tuk模型進行投資會獲得更大的收益，或在獲得相同收益的情況下，選擇M-Tuk模型進行投資會承擔更低的風險。當資產收益率存在一小部分的離群值時，即資本收益率的分布在一定程度上偏離正態分布時，選擇M-Tuk模型進行投資比選擇M-V模型進行投資更穩定，所受影響更小。

3.4 傳統投資組合權重與魯棒投資組合權重的穩健性分析

本文使用“滾動視野法(滾動地平線法)”來比較不同投資組合權重的穩健性。投資組合權重的箱形圖給出了不同投資組合模型穩定性的圖形表示，不同的箱形圖表示投資者選擇不同的投資組合模型進行投資時，分配給特定資產的投資組合權重的變動性。本文通過投資組合權重向量的箱線圖的分布情況來分析M-V模型和M-Tuk模型的穩健性。利用MATLAB 2013a軟件編程，繪制出這6種投資組合權重向量的箱線圖，描述如圖3。

圖3 不同h下投資組合模型權重的箱線圖

圖3(a)給出了資產收益率不同程度地偏離正態分布(不同h下)時，M-V模型權重的箱線圖，其中圖(a1)是h=0下M-V模型的權重箱線圖，圖(a2)是h=2.5%下M-V模型的權重箱線圖，圖(a3)是h=5%下M-V模型的權重箱線圖。可以看出當資產收益率服從正態分布時，M-V模型中的每個資產的權重分布相對比較集中，但是隨著資產收益率偏離正態分布的程度越來越大時，M-V模型中的每個資產的權重分布越來越分散，這說明了當資產收益率偏離正態分布時，M-V模型是不穩定的。

圖3(b)給出了資產收益率不同程度地偏離正態分布(不同h下)時，M-Tuk模型的投資組合權重的箱線圖，其中圖(b1)是h=0下M-Tuk模型的權重箱線圖，圖(b2)是h=2.5%下M-Tuk模型的權重箱線圖，圖(b3)是h=5%下M-Tuk模型的權重箱線圖。可以看出當資產收益率服從正態分布時，M-Tuk模型中的每個資產的權重分布相對比較集中，圖3(b2)、(b3)表示隨著資產收益率偏離正態分布的程度越來越大時，M-Tuk模型中的每個資產的權重分布并沒有越來越分散，依然分布比較集中，即當資產收益率偏離正態分布程度不同(h=0、2.5%、5%)時，M-Tuk模型中每個資產的權重(h=0、2.5%、5%)分布差別不是很大，甚至可以說幾乎無差別，這就說明了M-Tuk模型是相對穩定的。

總而言之，M-Tuk模型權重的穩定性對股票收益率分布偏離正態性的偏差最不敏感，M-V模型的權重對于偏離正態分布的收益率是非常不穩定的。

為了進一步說明M-Tuk模型比M-V模型具有更好的穩定性和有效性。本文決定引入股票收益周轉率和夏普比率這兩個績效指標來進一步證明上述結論。

3.5 傳統投資組合權重與魯棒投資組合權重的績效指標

通過上述對不同情況下的M-Tuk模型和M-V模型的有效邊界和權重的穩健性的分析，我們已經了解到M-Tuk模型比M-V模型更為有效和穩定。下面引入股票收益周轉率和夏普比率這兩個績效指標來進一步討論這2種投資組合模型，分析M-Tuk模型是否是投資者的最佳選擇。利用MATLAB 2013a軟件編程，算出2種投資組合的收益周轉率和夏普比率，描述如表3。

表3 投資組合收益率的周轉率和夏普比率

表3給出了假設股票收益率服從正態分布(h=0)時，以及假設有小部分樣本股票收益率數據偏離正態分布(h=2.5%、h=5%)時，M-V模型和M-Tuk模型的樣本間方差(風險)、樣本間夏普比率和樣本間周轉率。

隨著樣本股票收益率偏離正態分布的數據的比例增加，M-V模型和M-Tuk模型的Sharpe rat.值也在變大。這并不奇怪，因為偏離正態分布的股票收益率等于每個資產的期望收益加上資產收益率的5倍標準差，從而計算出來的夏普比率也會有一定的變化。由于M-V模型對票收益率偏離正態分布的程度更為敏感，所以隨著股票收益率偏離正態分布的數據的比例增加，M-V模型的夏普比率增長速度低于M-Tuk模型的夏普比率。而且，我們也發現不管股票收益率偏離正態分布的程度有多大，M-Tuk模型的周轉率都會比M-V模型的周轉率低。

總而言之，我們的研究結果表明，當資產收益分布偏離正態時，M-Tuk模型獲得了比M-V模型更高的樣本中夏普比率和更低的周轉率。也就是說，M-Tuk模型比M-V模型更加穩定，更加有效。

4 結論與建議

資產收益率往往是偏離正態分布的，M-V模型的估計誤差較大，這時用魯棒估計改善這種情況就顯得尤為重要了。本文就這一方面進行了嘗試性工作，用魯棒估計(M估計)代替極大似然估計(MLE)，為了減少計算量，把M估計中所使用的Huber損失函數換成Tukey損失函數。此外，本文假設資產收益率偏離正態分布的程度h分別為0、2.5%、5%，并且與M-V模型進行比較分析，得出以下結論：

結論一：當資產收益率偏離正態分布時，且隨著資產收益率偏離正態分布的數據的比例增加，M-V模型的有效邊界就會越低，然而，魯棒估計投資組合的有效邊界幾乎沒有什么變化，即魯棒估計投資組合對資產收益率的分布偏離正態分布不太敏感。

結論二：通過對不同種投資組合模型權重箱線圖的比較，M-Tuk模型權重的穩定性對股票收益率分布偏離正態性的偏差不敏感，M-V模型權重即使對于正態分布的資產收益率也是非常不穩定的。這說明M-Tuk模型的穩健性高于M-V模型。

結論三：對比Sharpe Ratio、Turnover等統計量，以及他們之間的P值，M-Tuk模型的Sharpe Ratio值最大，Turnover值最小，這說明M-Tuk模型具有更高的準確度。

盡管本文提出的魯棒估計方法在資產多元化管理上有較好的結果展示，但仍然有部分問題需要再做進一步的研究。譬如以Huber損失函數作為風險度量的M估計投資組合模型是否比以Tukey損失函數作為風險度量的M估計投資組合模型更為穩健。為此，我們已經做了一些相關工作，后續還需深入研究。