基于改進電極敏感場的ECT 圖像重建算法研究*

龔 君王 麗周 濤

(1.正德職業技術學院機電工程系，江蘇南京 211106；2.東南大學能環學院，江蘇南京 210096)

電容層析成像(Electrical Capacitance Tomography，ECT)技術是一種基于電容傳感器機理的無損檢測技術[1-2]，其原理是將均勻分布于管道外壁電極之間的電容值采集到計算機，然后通過相應的圖像重建算法將管道中的介質分布情況以可視化圖像形式呈現[3-4]。該技術以其非侵入、無輻射、成本低、安全性能好等優點在石油、化工、冶金等領域[5]具有廣泛的應用前景。

針對目前電容層析成像技術中重建圖像質量有待提高的問題，可以從增加電容投影數據[6]和改進圖像重建算法2 個途徑來解決此問題。由于ECT 技術在求解過程中需要將電容值作為投影數據來進行敏感場內介質分布情況的重建，而電極數目對投影數據起著重要的影響，因而將對該參數進行優化從而提高成像質量。另外，圖像重建算法也是反問題求解的關鍵技術之一，針對經典圖像算法中靈敏度場分布不均勻而影響成像精度的問題，將經典圖像算法LBP 算法和Landweber 迭代算法中的靈敏度矩陣進行了均值濾波處理，從而在一定程度上提高了中心區域的靈敏度而降低了極板區域附近的靈敏度，使得靈敏度場分布更加均勻，圖像重建精度進一步提高。

1 電容層析成像技術的成像原理

電容層析成像技術的成像的數學原理可以概括為正問題和反問題[7]，如圖1 所示。

圖1 正問題與反問題框圖

正問題是在已知傳感器的結構參數和管道中介質分布先決條件下，求解各電極相互組合形成的電容值[8]，可用式(1)所示的數學模型表示:

式中:Cij表示i極板和j極板之間的電容值，ε(x，y)表示管道截面的介電常數分布，D為管道截面面積，Sij((x，y)，ε(x，y))表示當(x，y)點處的介質分布為ε(x，y)時i-j極板對間電容的靈敏度場分布。

反問題則通過測量得到的電容數據和已建立的數學模型對被測介質分布進行求解[9]，可用式(2)所示數學模型表示:

式中:λ是m維的歸一化電容向量，m為獨立電容數目；g是n維歸一化介電常數分布向量，也表示圖像灰度分布，n為成像區域像素個數；S為m×n階矩陣，表示靈敏度分布矩陣。

可以依據正、反問題來提高圖像重建質量。正問題將通過增加電極數目來優化電容傳感器結構，反問題將對圖像重建算法進行改進，這些改進方法最終對圖像質量造成影響，而圖像質量可以通過重建圖像和原始圖像之間的圖像差異程度來評價，即圖像誤差，可用式(3)表示:

式中:g和分別代表原始圖像和重建圖像灰度值，該值可以反映圖像重建的精度，該值越小，表示圖像重建精度越高。

2 不同電極數目的成像仿真與比較

對于N個電極的電容傳感器，采用單電極激勵模式時，將產生M＝N(N-1)/2 個獨立電容。傳統ECT 系統中電容傳感器的電極數目通常是8 個，獨立電容數目為28 個，本研究將電極數目增加至12電極，獨立電容增加為66 個。圖2 所示為8 電極和12 電極的二維截面模型，圖3 所示為8 電極與12電極時管道中介質為低介電常數，即空管與介質全部為高介電常數，即滿管情況下的電容值曲線圖，以及與之對應電極之間電容變化量的曲線圖，圖4 所示為8 電極和12 電極不同流型的成像結果對比。

圖2 8 電極和12 電極二維截面模型圖

由圖3 可知，電極數目增加表示各極板之間相互組合形成的獨立電容數目增加，即用于圖像重建的投影數據增加，這會改善圖像重建的欠定性。

由圖4 可以得出，12 電極的重建圖像更接近真實圖像，中心介質邊緣更為清晰，多物體流型也更容易區分，圖像重建誤差比8 電極的小，成像效果更為理想，因此極板數目的增多有利于重建圖像質量的提高。但是電極數目不斷增加，能夠反映對介質敏感程度的電容變化量隨之減小，而且電極數目的增加也會增加計算量，因此，經過綜合考慮，電極數目不能無限增加。

圖3 8、12 電極空滿管電容值及變化量曲線圖

圖4 8 電極和12 電極成像結果對比圖

3 圖像重建算法

3.1 靈敏度均值濾波處理

由式(2)可知，靈敏度場是ECT 技術中反問題求解的關鍵，該參數最終會影響成像質量。研究將圍繞優化后的12 電極電容傳感器的靈敏度場展開研究，因此將有66 個獨立電容值，對應有66 個敏感場，總的敏感場分布可用靈敏度矩陣S表示。排布在ECT 傳感器管道外壁的極板是均勻對稱分布的，因此將會形成6 種典型的靈敏度矩陣分布。6 種未作任何處理的靈敏度分布如圖5 所示。

由圖5 可知，傳感器靈敏度分布中心低周圍高，分布非常不均勻，并且還存在一些尖峰值，這將造成ECT 系統對管道內部各處的分辨率差異較大，從而影響圖像重建的精度。針對該問題，將通過均值濾波的方法對原始靈敏度矩陣進行改進，使得靈敏度場更加均勻，從而進一步改善重建圖像質量。

均值濾波的原理是采用模板計算的思想，選擇某一包含N個像素的模塊作為濾波模塊，將該模塊覆蓋的所有像素點的平均值用作該模塊的中心像素，假設第e個像素的位置就是模板中心，均值濾波后像素點e的靈敏度可表示為:

Sa(i，j)(e)表示第e個像素點經過均值濾波處理后的靈敏度，S(i，j)(k)表示第k個像素點未處理的靈敏度值，鄰近像素點的靈敏度差異通過均值濾波的方法變小，該方法可起到均勻靈敏度場分布的作用。

圖5 處理前的部分極板間靈敏度分布圖

圖6 所示為經過均值濾波處理的部分極板間靈敏度場分布。由該圖可知，相較于原始靈敏度場管道中心區域，靈敏度值顯著提高，同時在一定程度上消除了原始靈敏度場中局部區域的尖峰值。

圖6 處理后的部分極板間靈敏度分布圖

3.2 LBP 算法及其改進

線性反投影算法，即LBP 算法是一種線性單步重建算法，具有計算量小、簡單快速的特點。該算法實質是將某點的所有投影射線進行累加，然后再把射線積分均勻地反投影到射線所經過的各點[10]。電容值作為投影數據，其個數遠小于像素個數，因此求解時存在病態問題，于是該算法采用ST作為S-1的近似解，線性反投影算法的表達式如下:

式中:表示歸一化后的電容矢量，ST表示靈敏度矩陣的轉置矩陣，g表示灰度向量。

為了改善該算法帶來的邊緣模糊現象，需對LBP 算法做如下閾值處理:

t的求解公式如式(7)所示:

式中:AVG 是平均因子，λij為靈敏度矩陣S的奇異值。

LBP 算法的改進是通過將均值濾波處理后的靈敏度矩陣取代原始算法中的靈敏度矩陣，即改進后LBP 算法公式為:

Sa表示均值濾波處理后的靈敏度矩陣。

3.3 Landweber 迭代法及其改進

Landweber 迭代法以最速下降法作為其數學基礎，該算法目標是將數據的迭代殘差最小化，即得到最小化目標為[11-13]:

以灰度值g作為自變量，優化的目標函數為:

其梯度為:

按最優化理論原理，以負梯度作為迭代方向，迭代公式為:

式中:αk表示迭代步長，通常可取為固定迭代步長α，其取值范圍在之間。

Landweber 迭代法的改進與LBP 算法改進類似，同樣用濾波處理后的靈敏度矩陣取代原始靈敏度矩陣，則改進后的迭代公式為:

式中:Sa表示均值濾波處理后的靈敏度矩陣。

4 仿真實驗對比

為驗證算法的有效性，采用數值仿真法來進行圖像重建的仿真實驗，最終以圖像重建誤差error 作為重建圖像質量的衡量標準，見圖7 和圖8。

圖7 改進前后的LBP 算法成像結果對比圖

圖8 改進前后的Landweber 迭代法成像結果對比圖

ECT 傳感器采用12 電極敏感陣列，采用COMSOL Multiphysics 4.2 有限元分析軟件對傳感器3 種典型介質分布建模，成像介質介電常數設為3，最終得到66 個獨立電容用于圖像重建，并利用MATLAB 軟件編程構建66×4 096 維的靈敏度矩陣，改進前后的LBP 算法和Landweber 迭代法成像結果圖如圖7 和圖8 所示，由圖可知，改進后的2 種算法的重建圖像效果更為理想，中心介質更加清晰，多個介質的流型也更易區分，圖像邊緣更加清晰，較之于原始算法圖像誤差，2 種改進后的算法圖像誤差均變小，因此圖像重建精度提高，且相比于LBP 算法，Landweber 迭代法整體成像效果更為理想。

5 結論

通過數值仿真實驗對電容層析成像技術的正問題和反問題分別進行了改進。通過增加電極數目來增加投影數據從而提高重建圖像質量，并且在12 電極敏感陣列的基礎上對靈敏度場進行均值濾波處理，從而使得靈敏度場靠近極板區域與中心區域差異減小，分布更加均勻，基于改進后的靈敏度場對經典圖像算法LBP 算法和Landweber 迭代法進行了改進，仿真結果表明改進后的2 種算法較之于原始算法，成像精度提高，且2 種算法中，改進后的Landweber 迭代法成像效果更好。