基于改進微分器設計的TIADC 增益誤差校準算法*

趙曉龍李 博*賈 芃黎澤清

(1.中北大學儀器科學與動態測試教育部重點實驗室，山西太原 030051；2.上海航天電子技術研究所，上海 201109)

隨著科技水平的不斷提高，對電子器件精度也有所要求，模數轉換器(Analog to Digital Converter)的應用范圍越來越廣，對于模數轉換器的要求也越來越高了，時間交織模數轉換器(Time-Interleaved Analog to Digital Converter，TIADC)成為應用最為廣泛的轉換器件之一。

TIADC 系統的誤差產生有很多原因，包括電子元器件的精度、環境問題等因素。眾多研究者針對不同的誤差問題提出了不同的解決方法。Abbaszadeh A 等人[1]利用TIADC 系統通道數多的特性多個通道同時輸入，通過時間失配誤差來校準的方法，該方案增加了一個參考通道，使得硬件結構消耗巨大，校準系統設計過于復雜不利于實驗進行。Li J Y 等人[2]通過相鄰通道之間的相關性聯系，對于它的輸出信號進行相關運算，硬件上增加了FIR濾波器來實現校準，但是該方法僅僅適用于奈奎斯特頻帶內。Van-Thanh Ta 等人提出的算法在低頻率可以達到很好的校準水平，但不適用高頻率，具有局限性[3]。針對上述問題提出了改進微分器設計的TIADC 增益誤差校準算法，整體方案由信號調制和誤差系數估計2 個部分組成，通過改進傳統濾波器實現算法。

1 校準算法

1.1 算法基本構成

通過2 通道TIADC 系統的標準頻譜轉換可以有效了解誤差消除過程的實現方法，TIADC 系統中的誤差主要就是頻譜中會存在雜散[4]，圖1(a)通過調制函數的運算后可以得到圖1(b)，調制前后信號頻譜上的主頻點經過調制變換到了雜散點的的位置，第1 階段完成后利用特定參數計算可以得到圖1(c)的頻譜圖，第2 階段完成后利用減法運算可以得到圖1(d)。

圖1 2 通道的標準頻譜變換

1.2 增益誤差參數估計

根據調制校準的原理[5]，設計了圖2 校準算法的過程。

圖2 校準算法的過程

同樣以兩通道為例求出該參數的值:

為了消除信號中的雜散，令式(1)中的雜散項為零:

由式(2)觀察可得，需要公式兩邊都為0 即左邊2 部分同時為0。將得到的參數代入式(2)中得到:

已知微分器響應j(ω-π)，由圖2 可以看出G′(ejω)和G(ejω)經過了同一個微分器，所有會有2個不同的參數，計算出的參數分別為:

同理可以推算出4 通道中誤差參數的估計值:

誤差參數的估計算出來后，根據相關性可以得到式(8)、式(9):

1.3 改進微分器設計及校準算法

1.3.1 改進微分器設計

微分器的通道數量是決定微分器運算能力的重要因素[6]，通道數量增加可以提升微分器的性能。為了滿足校準要求該設計采用40 階微分器，提升性能的同時還會增加高階運算帶來的大量的復雜運算，為了解決這一問題使得微分器運行的時候更為簡單，精簡微分器結構設計，可以借鑒差值微分數學思想，因為信號為連續輸入信號，任意選取n個不同的點，對n個不同的點進行求導，通過導數運算可以省去大量冗長的運算。

任意取5 個連續輸入點，依次對5 個點進行求導可得到公式為:

計算出式(10)中相鄰點之間的水平距離h，通過對求導過程進行分析選取f′(x2)來做運算即:

利用差微分思想[7]可以設計一個如圖3 所示的改進微分器。

圖3 改進微分器

相比于傳統微分器[8]，該結構很大程度上節約了硬件資源，將改進后的微分器與傳統40 階階微分器的資源消耗相比較，以濾波器結構為例進行分析可以得到如下分析，如表1 所示。

表1 傳統微分器與改進微分器硬件對比 單位:個

通過表1 對傳統微分器和改進后的微分器的硬件進行對比，改進后的微分器通過利用差微分數學思想使得硬件結構上變得更為簡單改進后的微分器，相比于傳統微分器結構十分精簡，需要的加法器，乘法器等都更少更有利于校準算法的設計，但是由于該校準算法引入了希爾伯特變換以拓寬校準頻率范圍，希爾伯特變換運算量較大，使得整個算法復雜度提升，后期可通過FPGA 或高性能DSP 器件承擔算法實現設計。

1.3.2 引入Hilbert 濾波器

上面的改進只能在第1 奎奈斯特，為了使得該改進微分器可以適用于更好的頻率，引入1 個Hilbert濾波器，將改進后的微分器Hilbert 濾波器并聯?？梢酝ㄟ^利用差微分思想使得該硬件系統可以適用更高頻率的信號輸入。Hilbert 濾波器的頻率響應為:

根據傅里葉逆變換可以得到Hilbert 變化器的沖擊響應為:

Hilbert 變換器的作用相當于1 個數學模擬模塊當信號x(n)輸入時通過卷積運算，可以得到如下公式:

Hilbert 變換器可以將信號中的頻率實現逆轉[9]。輸入1 個超頻信號V(f)，可以分為右頻譜VP和左頻譜VN。已知Hilbert 濾波器的頻率響應為:

信號V(f)與VP、VN的關系為:

由上述條件可以得出:

因為輸入信號在第1 奎奈思特頻率之外，經過特定周期后可以重復得到數值。

由此可以得到:

對V3(n)求導可得:

同理可得第3 奎奈斯特[10]范圍內的信號求導為:

綜上所述，在不同奎奈斯特范圍內的求導分別為:

上述第4 奎奈斯特范圍求導系數為4，第4 奎奈斯特信號先轉化求出與第2 奎奈斯特信號的關系綜上可得:

圖4 改進的微分器結構

改進后的微分模型如圖4 所示。上述改進的微分器可以對超過奎奈斯特信號的頻率進行求導，進而使得整個校準算法不受頻率限制。

1.3 校準算法建模

在建模過程中選取通道數為4，采樣時間為200 MHz 的TIADC 來構建誤差校準系統。利用MATLAB/Simulink 仿真進行算法建模，理想狀態的模型沒有誤差存在，需要人為加入模擬的隨機誤差變量，通過仿真結果可以看出校準算法的效果，不同通道間的誤差分析如表2 所示。

在實際使用中因為環境因素或者受制于電子器件的工藝水平會存在誤差變量[11]，通過模擬實際的誤差量可以實現仿真模擬，下面的仿真也是基于同樣的隨機誤差進行驗證，改進后的微分器本質上就是一個調制模塊，可以對時間雜散進行調制，調制后的的結果可以與初始變量進行數學運算，通過校準后可以得到算法結果，校準算法整體方案如圖5 所示。

表2 不同通道誤差分析

圖5 校準算法整體方案

2 仿真驗證與分析

2.1 奎奈斯特頻率帶內高低頻率仿真

對建模后的系統輸入歸一化頻率fin/fs＝0.015和fin/fs＝0.432 進行MATLAB 仿真，同時利用人為方式加入同樣的模擬隨機誤差。校準前后的頻譜圖如圖6 所示。

圖6 校準前后的頻譜圖

2.2 奎奈斯特頻率帶外信號仿真

同樣利用建模后的系統輸入一個歸一化頻率在奎奈斯特范圍外的信號進行MATLAB 仿真，加入與第1 奎奈思特同樣的模擬隨機變量，校準前后的頻譜圖如圖7 所示。

圖7 超頻的校準前后頻譜圖

通過計算可以知道當輸入信號的歸一化頻率在奎奈斯特范圍之外時，其主頻率點的位置在1-0.854 6＝0.145 4，從圖10 可以看出與理論計算結果一致，原來由于誤差引起的雜散在頻譜圖中已經不存在了?？梢缘贸鲂屎筝斎胄盘栔械碾s散已經被完全消除，(3)SNR(信噪比)指標由校準前的18.03 dB 提高至校準后的68.53 dB，說明算法對系統采樣數據過程中的累積噪聲實現了有效抑制，SNR 指標得到了一定程度改善；校準效果明顯。通過上述仿真過程可以看出在第1 奎奈斯特頻率內低頻、高頻信號和第1 奎奈斯特頻率外，該算法都可以較好的實現校準結果，該校準算法相較于常規算法，可將校準帶寬拓展至第1 奈奎斯特頻帶以外，實現寬頻帶范圍信號的校準。

將與部分已有的校準算法與改進的算法進行對比如表4 所示。

表4 不同校準算法的對比

相較于其他算法，該設計算法具有更廣的頻率適用范圍，其實現可采用全數字式算法實現，復雜度低于模數混合實現方式。

3 結論

針對TIADC 系統中存在的增益誤差，通過改進微分器與Hilbert 濾波器相結合通過構建誤差校準算法使得該算法在第1 奎奈斯特頻率內都適用，還可以擴展到第1 奎奈斯特范圍之外，MATLAB 仿真結果表明，該算法結構相對簡單，硬件資源消耗低，改進微分器大大降低了運算成本，有良好的校準效果。