高中數學核心素養理念下如何培養學生的運算能力

■天津市武清區楊村第一中學 李長苓

數學核心素養是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征，適應個人終身發展和社會發展需要的必備品格與關鍵能力。高中數學核心素養主要包括:數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析。人民教育出版社編審章建躍博士認為：數學學習的基本任務是學會運算和推理，運算離不開推理，推理在高中乃至整個基礎教育階段的數學學習中的展現形式就是運算，運算能力的培養與學生的數學素養相輔相成。

新課標對運算能力的要求：能夠根據公式進行運算及變形，能夠根據問題的條件尋找與設計合理、簡捷的計算途徑，能夠根據要求對數據進行估計和近似計算。如何實現培養學生的運算能力，從以下兩個方面論述。

一、數學運算常見的問題

運算能力不是簡單的計算能力，算即為“運算”，包括兩個方面：一個是運算的對象，一個是運算的規律，運算能力是思維能力與運算技能的結合。運算有四性：準確性、合理性、熟練性、簡捷性。高中部分學生的批判思維和糾錯能力沒有形成或者能力不夠，運算出現問題表現在：（1）審題不全面，未能挖掘出題的隱含條件；（2）對概念的內涵和外延不清楚，對公式、性質、定理運算法則理解不到位，對存在條件不注意，擴大或縮小應用范圍；（3）分類討論是學生做題出現問題最多的地方，不會分或分不全，討論不嚴謹，分類不明確；（4）缺少或不會對解題策略進行比較選擇，對類比、歸納等一些推理和數學思想等在運算時感知不夠。

二、培養學生運算能力的策略

（一）重視概念教學，對概念、公式、性質、定理、運算法則加深理解

算理是運算的道理，算法是運算的方法。弄清概念本質，概念的內涵及外延，對概念、公式、性質、定理、運算法則加強理解。注意學生在課堂練習、課下作業、考試中運算出現的問題，不能把出現的錯誤歸結于簡單的粗心大意或者方法不對，抑或認為是技巧問題，需要從錯誤中找到學生對學習知識理解的偏差和漏洞。例如，給出拋物線方程y=ax2，寫出焦點坐標及準線方程，一部分學生記憶中就是焦點為準線為如果講課時教師就向學生強調從方程的形式觀察，拋物線的標準方程為y2=2px(P＞0)，這樣左邊是平方形式，右面是一次形式，做題時只要整理成標準形式，學生基本就不會出問題了。所以y=ax2的標準形式應寫為焦點坐標和準線方程就不會出現問題了。

（二）學生掌握算法、算理，是學會運算的基礎

根據已知條件找出有效運算途徑，通過計算進行合理推理和探究，數學運算是有程序的，分步驟完成，無論是簡單的算數，還是嚴謹的推證，都要按步驟完成，這個步驟是有規律的，也是學生形成解題能力的關鍵。注重算法的多樣，用已有的知識建構新知識的運算方法，形成算法以后，逐漸形成技巧。例如：解不等式(x+2)(3-2x)＞0，要講清楚它的算理，由于這個算式是-2x2-x+6＞O 分解得到的，所以是開口向下的拋物線，不等式的解集應該是兩個解之間。所以，解不等式時要求學生將3-2x 寫成-(2x-3)，這樣就可以總結出幾個因式乘積時要求自變量系數為正，這也為學習導數奠定基礎。

（三）運算過程中推理是關鍵

在教學過程中，要讓學生掌握怎樣去算，還要知道為什么這樣運算，運算離不開推理，怎要想提高學生的推理能力，保證運算的合理性，教師就要針對學生運算過程和步驟做示范。同時實際教學中會發現很多學生存在不規范的推理、不合理的運算以及所用的計算方法繁雜等，發現問題應該及時追蹤錯誤的原因，做到及時評價，及時糾錯，給予正確引導，要給出嚴謹的運算，提高運算能力。

如天津2020 年高考第18 題的第二問：已知{an}為等差數列的通項公式為an=n，{an}的前n項和為Sn，求證

這個看似很簡單的證明題有的學生為什么會證不出來呢？分析算理，因為一開始學生求和的形式不一樣。一個是前n項和一個是前n項和時兩式相減，學生運算上就出現問題了。解決這樣的問題，算法是什么？教師應該平時安排一些比較的題目時，可以將算式打開或合并，增加學生對這一類問題的認知，形成對運算題的方法建構。比如數列{an}的前n項和Sn=n3+3n2+2n，求數列{an}的通項公式，如何來求呢？如果還是an=Sn-S(n-1)=n3-(n-1)3+3n2-3(n-1)2+2n-2(n-1)，這題的運算量就太大了，沒有一定數學基礎的學生是算不出來的。但是如果像上一個題那樣，掌握算理算法，整理成乘積形式，很快就能解決問題。Sn=n(n+1)(n+2)，S(n-1)=(n-1)n(n+1)(n≥2)，所以 an=Sn-Sn-1)=n(n+1)?[(n+2)-(n-1)]=3n(n+1)(n≥2)，這樣解題，速度快、準確，避免了煩瑣的運算。這就是數學運算的算理算法，學生學會推理、學會歸納，自然就形成了運算能力。

（四）運算中的一題多解和一題多變可培養學生的創新思維

通過一題多解，促進思維發散，可以比較哪一種運算更簡潔，確定合理性解法，通過一題多解分析比較，培養學生對運算法則的合理性認識和概括能力。一題多變培養學生的探究能力，從多角度對例題進行變化，引出一系列與本例題相關的題目，形成多變導向，使知識進一步精細化，使學生的思維變得活躍、發散，還能將形似而神不似的題目并列在一起，求同存異，培養學生轉換條件、設置疑問探究因果、主動參與、積極思考的好習慣，也能避免盲目做大量習題而效果差的現象，培養了學生的運算能力。

（五）合理安排訓練和檢測，讓學生有機會實戰演習

定期安排限時限量檢測和訓練，提高學生的解題速度，更好地發現問題，學生集中精力，提高運算速度，提高運算準確度。可以適當地在課上安排運算技能的比賽，激發學生學習興趣，提高學生的運算速度和質量。