高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)理念下如何培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力

■天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué) 李長苓

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是具有數(shù)學(xué)基本特征，適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的必備品格與關(guān)鍵能力。高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)主要包括:數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析。人民教育出版社編審章建躍博士認(rèn)為：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本任務(wù)是學(xué)會運(yùn)算和推理，運(yùn)算離不開推理，推理在高中乃至整個基礎(chǔ)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的展現(xiàn)形式就是運(yùn)算，運(yùn)算能力的培養(yǎng)與學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)相輔相成。

新課標(biāo)對運(yùn)算能力的要求：能夠根據(jù)公式進(jìn)行運(yùn)算及變形，能夠根據(jù)問題的條件尋找與設(shè)計合理、簡捷的計算途徑，能夠根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進(jìn)行估計和近似計算。如何實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，從以下兩個方面論述。

一、數(shù)學(xué)運(yùn)算常見的問題

運(yùn)算能力不是簡單的計算能力，算即為“運(yùn)算”，包括兩個方面：一個是運(yùn)算的對象，一個是運(yùn)算的規(guī)律，運(yùn)算能力是思維能力與運(yùn)算技能的結(jié)合。運(yùn)算有四性：準(zhǔn)確性、合理性、熟練性、簡捷性。高中部分學(xué)生的批判思維和糾錯能力沒有形成或者能力不夠，運(yùn)算出現(xiàn)問題表現(xiàn)在：（1）審題不全面，未能挖掘出題的隱含條件；（2）對概念的內(nèi)涵和外延不清楚，對公式、性質(zhì)、定理運(yùn)算法則理解不到位，對存在條件不注意，擴(kuò)大或縮小應(yīng)用范圍；（3）分類討論是學(xué)生做題出現(xiàn)問題最多的地方，不會分或分不全，討論不嚴(yán)謹(jǐn)，分類不明確；（4）缺少或不會對解題策略進(jìn)行比較選擇，對類比、歸納等一些推理和數(shù)學(xué)思想等在運(yùn)算時感知不夠。

二、培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的策略

（一）重視概念教學(xué)，對概念、公式、性質(zhì)、定理、運(yùn)算法則加深理解

算理是運(yùn)算的道理，算法是運(yùn)算的方法。弄清概念本質(zhì)，概念的內(nèi)涵及外延，對概念、公式、性質(zhì)、定理、運(yùn)算法則加強(qiáng)理解。注意學(xué)生在課堂練習(xí)、課下作業(yè)、考試中運(yùn)算出現(xiàn)的問題，不能把出現(xiàn)的錯誤歸結(jié)于簡單的粗心大意或者方法不對，抑或認(rèn)為是技巧問題，需要從錯誤中找到學(xué)生對學(xué)習(xí)知識理解的偏差和漏洞。例如，給出拋物線方程y=ax2，寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，一部分學(xué)生記憶中就是焦點(diǎn)為準(zhǔn)線為如果講課時教師就向?qū)W生強(qiáng)調(diào)從方程的形式觀察，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(P＞0)，這樣左邊是平方形式，右面是一次形式，做題時只要整理成標(biāo)準(zhǔn)形式，學(xué)生基本就不會出問題了。所以y=ax2的標(biāo)準(zhǔn)形式應(yīng)寫為焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程就不會出現(xiàn)問題了。

（二）學(xué)生掌握算法、算理，是學(xué)會運(yùn)算的基礎(chǔ)

根據(jù)已知條件找出有效運(yùn)算途徑，通過計算進(jìn)行合理推理和探究，數(shù)學(xué)運(yùn)算是有程序的，分步驟完成，無論是簡單的算數(shù)，還是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐谱C，都要按步驟完成，這個步驟是有規(guī)律的，也是學(xué)生形成解題能力的關(guān)鍵。注重算法的多樣，用已有的知識建構(gòu)新知識的運(yùn)算方法，形成算法以后，逐漸形成技巧。例如：解不等式(x+2)(3-2x)＞0，要講清楚它的算理，由于這個算式是-2x2-x+6＞O 分解得到的，所以是開口向下的拋物線，不等式的解集應(yīng)該是兩個解之間。所以，解不等式時要求學(xué)生將3-2x 寫成-(2x-3)，這樣就可以總結(jié)出幾個因式乘積時要求自變量系數(shù)為正，這也為學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)奠定基礎(chǔ)。

（三）運(yùn)算過程中推理是關(guān)鍵

在教學(xué)過程中，要讓學(xué)生掌握怎樣去算，還要知道為什么這樣運(yùn)算，運(yùn)算離不開推理，怎要想提高學(xué)生的推理能力，保證運(yùn)算的合理性，教師就要針對學(xué)生運(yùn)算過程和步驟做示范。同時實(shí)際教學(xué)中會發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生存在不規(guī)范的推理、不合理的運(yùn)算以及所用的計算方法繁雜等，發(fā)現(xiàn)問題應(yīng)該及時追蹤錯誤的原因，做到及時評價，及時糾錯，給予正確引導(dǎo)，要給出嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪\(yùn)算，提高運(yùn)算能力。

如天津2020 年高考第18 題的第二問：已知{an}為等差數(shù)列的通項公式為an=n，{an}的前n項和為Sn，求證

這個看似很簡單的證明題有的學(xué)生為什么會證不出來呢？分析算理，因?yàn)橐婚_始學(xué)生求和的形式不一樣。一個是前n項和一個是前n項和時兩式相減，學(xué)生運(yùn)算上就出現(xiàn)問題了。解決這樣的問題，算法是什么？教師應(yīng)該平時安排一些比較的題目時，可以將算式打開或合并，增加學(xué)生對這一類問題的認(rèn)知，形成對運(yùn)算題的方法建構(gòu)。比如數(shù)列{an}的前n項和Sn=n3+3n2+2n，求數(shù)列{an}的通項公式，如何來求呢？如果還是an=Sn-S(n-1)=n3-(n-1)3+3n2-3(n-1)2+2n-2(n-1)，這題的運(yùn)算量就太大了，沒有一定數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的學(xué)生是算不出來的。但是如果像上一個題那樣，掌握算理算法，整理成乘積形式，很快就能解決問題。Sn=n(n+1)(n+2)，S(n-1)=(n-1)n(n+1)(n≥2)，所以 an=Sn-Sn-1)=n(n+1)?[(n+2)-(n-1)]=3n(n+1)(n≥2)，這樣解題，速度快、準(zhǔn)確，避免了煩瑣的運(yùn)算。這就是數(shù)學(xué)運(yùn)算的算理算法，學(xué)生學(xué)會推理、學(xué)會歸納，自然就形成了運(yùn)算能力。

（四）運(yùn)算中的一題多解和一題多變可培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維

通過一題多解，促進(jìn)思維發(fā)散，可以比較哪一種運(yùn)算更簡潔，確定合理性解法，通過一題多解分析比較，培養(yǎng)學(xué)生對運(yùn)算法則的合理性認(rèn)識和概括能力。一題多變培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，從多角度對例題進(jìn)行變化，引出一系列與本例題相關(guān)的題目，形成多變導(dǎo)向，使知識進(jìn)一步精細(xì)化，使學(xué)生的思維變得活躍、發(fā)散，還能將形似而神不似的題目并列在一起，求同存異，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)換條件、設(shè)置疑問探究因果、主動參與、積極思考的好習(xí)慣，也能避免盲目做大量習(xí)題而效果差的現(xiàn)象，培養(yǎng)了學(xué)生的運(yùn)算能力。

（五）合理安排訓(xùn)練和檢測，讓學(xué)生有機(jī)會實(shí)戰(zhàn)演習(xí)

定期安排限時限量檢測和訓(xùn)練，提高學(xué)生的解題速度，更好地發(fā)現(xiàn)問題，學(xué)生集中精力，提高運(yùn)算速度，提高運(yùn)算準(zhǔn)確度。可以適當(dāng)?shù)卦谡n上安排運(yùn)算技能的比賽，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的運(yùn)算速度和質(zhì)量。