周期函數概念的歷史

韓 粟 (華東師范大學教師教育學院 200062)

1 關于周期現象的認識

晝夜交替，陰晴圓缺，潮漲潮落，春去秋來……這些循環往復的自然現象伴隨著人類社會的產生與發展．古代先民通過觀測、記錄天象的變化規律，制訂歷法，選址建筑，經營農耕．

圖1 英國郵票上的巨石陣

西方文明中，位于英國威爾特郡的史前遺跡——巨石陣(Stonehenge)被認為是世界上最早的天文臺．如圖1所示，它可以用來觀察月相由新月到滿月的周期變化，一些學者還認為它可以用來確定太陽升起和落下的最北處和最南處．在古巴比倫，人們發明日晷來確定一天中的時刻；編制能夠協調月相盈缺和太陽升落的陰陽合歷，又將七個星宿和七個神靈一一對應，創立七天一循環的星期制度，用以安排農事活動．古埃及的祭司還會通過東方天空中天狼星的顯現來預言尼羅河的泛濫日，以便防范洪災，樹立其威信[1]．

古代中國的先人同樣擅長利用大自然的周期變化規律，他們既能仰觀天宇，通過圭表測日等制定二十四節氣；又能俯察大地，研究動植物生長乃得七十二候．《漢書·禮樂志》中載有的“精健日月，星辰度理，陰陽五行，周而復始”一說，反映出古代人民對自然節律的認識塑造了其樸素的辯證唯物哲學觀．約一千年后，金元之際的數學家李治(1192—1279)在《敬齋古今黈》中首提“周期”一詞，書中記載：“陰陽相配之物，而老少又必相當．乾之策，二百一十有六，老陽也；坤之策，百四十有四，老陰也．老陰老陽相得為三百六十，則周期之日也．”[2]這一典故源于《周易》中的“六爻”占卜法，其中一爻對應的策數只有36、32、28、24四種，36策為老陽，記為乾卦，24策為老陰，記為坤卦，則六爻至多可得乾卦216策，至多可得坤卦144策，二者合并，得周期之數為360．

無論哪一種文明的跡象都表明：周期起源于天文學．天象的周期變化為人類社會確定了自然時序，引起的各種周而復始的現象又致使周期一詞在農牧、地理、宗教、哲學等方面具有了豐富的內涵．但就這些而言，倘若用數學的眼光看周期，它在抽象之后無非就是一些簡單的算術而已．直到三角學的解放和微積分的創立，周期才被賦予數學上更廣泛的意義．

2 三角函數的周期性

在歐洲，德國數學家雷格蒙塔努斯(J.Regiomontanus,1436—1476)最早將三角學從天文學中獨立出來，成為數學的一個分支．進入17世紀，代數也不再是幾何的附庸，經過沃利斯(J.Wallis,1616—1703)、牛頓(I.Newton,1643—1727)和萊布尼茨(G.W.Leibniz,1646—1716)等大數學家的努力，代數及分析的理論不斷拓展．此后，函數日趨成為主流，角的概念得到推廣，在此背景下三角函數應運而生．法國數學家拉尼(T.-F.de Lagny,1660—1734)、英國數學家柯特斯(R.Cotes,1682—1716)都曾致力于三角函數的研究，他們不約而同地發現三角函數可以用來描述自然界中普遍存在的周期現象，這一性質即三角函數的周期性(periodicity)[3-4]．

圖2 法國數學家拉尼 圖3 英國數學家柯特斯

表1 《無窮分析引論》中的誘導公式

進一步將它們替換成加上2nπ后的值，得到一系列誘導公式(表1)．

歐拉沒有明確提出三角函數周期性的概念，但他默許n在整數集內任意取值，說明他已經發現自變量每增加(或減少)2π，正弦函數值或余弦函數值重復出現．還有一條有力的證據來自于第21章《超越曲線》，此章的內容表明：正弦曲線和平行于自變量所在坐標軸的直線(不超出振幅)有無數多個交點，且每兩個相鄰交點間距離相等，余弦曲線同理，代數曲線則不具有這一性質[5]．

圖4 任意角XOP

歐拉的工作使得針對三角函數周期性的研究開始全面化、系統化．此后，一些數學家跟隨歐拉，通過列舉誘導公式來表述正弦函數和余弦函數的周期性變化特征，并補充了正切函數等其他三角函數的周期性．

19世紀中后期，周期函數(periodic function)一詞面世．英國數學家惠勒(Wheeler,1877)指出：記任意角XOP的角度為φ．對任意(非零)整數k，φ±2kπ和φ對應角的所有三角函數值相等．這一性質使得三角函數又被稱為周期函數，周期為2π．他還注意到正切函數和余切函數有著更小的周期π[6]．

1883年，美國數學家奧利弗(Oliver)在文獻[7]中“函數的周期性”一節給出了更詳細的解釋：若k取正整數，則+2π,+4π,…,+2kπ表示角XOP的終邊OP逆時針轉過1,2,…,k圈；若k取負整數，則-2π,-4π,…,-2kπ表示終邊OP順時針轉過1,2,…,k圈．因此，角度φ和φ±2kπ對應的終邊均為OP，則它們對應的三角函數值相同，所以稱三角函數為“角的周期函數”[7]．維欽斯基(Wiczynski,1914)借助單位圓中角終邊OP的旋轉給出了相同的解釋[8]．

上述數學家基于誘導公式和角的終邊說明了三角函數的周期性，還有數學家結合三角函數的圖象給出了直觀的解釋，如格蘭維爾(Granville,1909)以正弦函數y=sinx的圖象為例，指出：角在0到2π內變化時，正弦值先從0增加到1，再從1減少到-1，最后從-1增加到0；在2π到4π內，正弦值經過相同系列的值，依次類推，所以正弦函數的周期為2π；同理，余弦函數、正割函數y= secx及余割函數y=cscx的周期都為2π．由于正切和余切在每π弧度內經過相同系列的值，所以它們的周期為π．綜上，他提出：當角勻速增加或減小時，每一個三角函數反復經過同樣系列的值，故稱其為周期函數[9]．

至此，我們看到，當歐拉將三角學從靜態的解三角形中解放出來后，動態的三角函數的研究如雨后春筍般涌現，數學家們用盡三角學內的各種工具，如誘導公式、角的終邊、單位圓、函數圖象等，分別定義了三角函數的周期性，還展開了充分的探討，因此得出的結論也是比較準確的．

3 周期函數的定義

19世紀末至20世紀初，無論是由物理學中對各種信號波形的處理引發的對數學工具的強烈需求，還是數學內部函數作為一門數學語言的飛速發展(如來自函數圖象的直觀證據等)，都促使數學家們著手探索一般周期函數的定義．盡管三角函數的周期性已經昭然若揭，但同奇、偶函數一樣，要發展出用代數的符號語言完整表述的周期函數定義，其中經歷了曲折的數學抽象過程．

3.1 描述性定義

最初，一些數學家傾向于用自然語言描述周期函數這一概念，與此同時，周期的概念也開始登上歷史舞臺．

1900年，杜爾斐(Durfee)給出如下定義：當自變量或幅角增加時重復自身的函數稱為周期函數．周期是使函數值發生重復的自變量的改變量[11]．而帕爾默(Palmer,1914)給出的定義為：周期函數是指當自變量增加一個常量時值不變的函數，該常量的最小正值稱為周期[12]．比較這兩個定義，可以看出前者尚未擺脫三角函數的影響，抽象程度較低，而后者盡管未使用函數符號，但已經初具雛型．按照杜爾斐的說法，周期應該有無數個，帕爾默卻只取最小正值的那一個作為周期．可以推測，在周期函數概念的誕生之初，數學家們對周期該如何定義存在著一定的分歧．

還有一種定義是基于函數的圖象來描述周期性，如莫里茲(Moritz,1915)先定義：每隔一個確定區間重復自身的曲線稱為周期曲線(periodic curve)，發生重復的區間稱為周期；然后他稱這種曲線所表示的函數即為周期函數[13]．蓋伊(Gay,1935)的定義則為：若一個函數的圖象由一系列形狀完全相同的弧所構成，則稱該函數為周期函數，x軸上使曲線縱坐標取遍所有可能值的區間長度稱為曲線的周期[14]．誠然，一個數學概念一開始總是建立在直觀和經驗上，但過分依賴幾何直觀容易導致致命的錯誤，且看圖5所示的兩個簡單的函數圖象．對照上述定義，兩個曲線顯然都在重復自身，每一段弧的形狀更是完全相同，按照莫里茨的定義，它們都有確定的周期，但按照蓋伊的定義，周期則是霧里看花，不知所云．事實上，借助構造分段函數的方法，我們可以畫出很多滿足上述定義的函數圖象，但它們表示的未必是真正的周期函數．

圖5 兩個函數的圖象

綜上，盡管上述定義適用于三角函數，但符號語言的缺位、定量刻畫的缺失，導致此類定義未能清晰地界定一般周期函數概念的內涵，自然語言的濫用又使得概念的外延被錯誤地放大，導致周期的定義也不甚明朗．所以，此類描述性定義不符合數學的抽象性和嚴謹性，爾后不再被使用．

3.2 不完善的形式化定義

1899年，穆雷(Murray)在《平面三角學》一書中首次用函數的符號語言給出了周期函數的定義：若函數f(x)具有性質f(x)=f(x+k)，其中x可取任意值，k為常數，則稱f(x)為周期函數，而滿足該等式的最小(正)數k稱為該函數的周期[15]．該定義可以視作上文中帕爾默定義的符號代數版本，也是現行教科書中定義的雛型.但結合函數概念及其構成要素仔細推敲，該定義還存在一些可待商榷之處，比如：(1)沒有明確周期函數的定義域(根據下方的注釋，可以推測穆雷默認周期函數的定義域為全體實數)；(2)認為周期函數的周期一定存在且只有一個，其在正數范圍內取值．

此后，對于周期的討論延續不斷．羅森巴赫(Rosenbach,1937)指出：一個周期函數的周期的任意(整數)倍也是周期[16]．斯梅爾(Smail,1952)定義：使f(x)=f(x+P)的絕對值最小的常數P為原始周期(primitive period)(又稱基本周期，fundamental period)[17]．1955年，懷利(Wylie)在《平面三角學》中首次明確了周期的非零性[18]．

上述工作解決了從三角函數的周期性抽象到一般周期函數過程中圍繞周期產生的一系列問題.在三角學中，將角的終邊旋轉0圈自然是無意義的，然而一般化后，卻極易忽略周期取值非零這一點．基本周期的概念，正對應著將終邊旋轉1圈的情形．

1940年，德累斯頓在《微積分導論》中定義周期函數如下：設函數f(x)的定義域為R(Range, 表示取值范圍)，若對任意的x，x和x+P都屬于R，且滿足f(x)=f(x+P)，則稱f(x)是周期為P的周期函數[19]．德累斯頓的定義表明：周期函數的定義域不需要為整個實數集，甚至不需要是連續的區間，只要定義域至少有一側無界即可．

符號語言的使用使得周期性被確認為函數的重要性質之一，實現了周期函數從描述性定義到形式化定義的飛躍．但上述數學家的定義并非盡善盡美，比如：斯梅爾所說的基本周期一定存在嗎？周期的取值范圍到底是什么？此時期內，沒有一個數學家給出完整無誤的周期函數定義．

3.3 較完善的形式化定義

1958年，夏普(Sharp)集前人之大成，給出了較完善的周期函數定義：設函數f(x)的定義域為D，k為非零實數，當x在D中時，x±k也在D中．若對于D中x的每一個值，均有f(x)=f(x+k)，則稱f(x)為周期函數，數k稱為f(x)的一個周期[20]．與斯梅爾對基本周期的定義略有差異，夏普只取最小的正數為基本周期，又稱最小正周期(smallest positive period)，與今日教科書中的說法相同．那么，最小正周期一定存在嗎？夏普通過常值函數這一反例，簡短有力地說明了周期函數不一定存在最小正周期．

取任意有理數q≠0，則當x為有理數時，x+q為有理數，有f(x+q)=1=f(x)；當x為無理數時，x+q為無理數，有f(x+q)=0=f(x)；所以任意有理數都是狄利克雷函數的周期．取任意無理數?，其相反數-?為無理數，則f(-?)=0，而f(-?+?)=f(0)=1，即f(-?)≠f(-?+?)，所以任意無理數都不是狄利克雷函數的周期．對狄利克雷函數周期性的討論同樣表明了周期函數的最小正周期不一定存在．

此外，夏普在書中還提出并證明了周期函數的若干定理：

定理1若周期函數f(x)的周期為k，則k的任意非零整數倍也是f(x)的周期．

夏普特別強調，定理3中的周期不可與最小正周期一概而論，即不能由函數f(x)和g(x)的最小正周期均為k而推出上述任何一個函數hi(x)(i=1,2,3,4)的最小正周期仍為k．接著夏普不加證明地給出了下述定理：

定理4若周期函數f(x)和g(x)的最小正周期的比為(非零)有理數，則它們存在一個共同的周期，且上述函數hi(x)(i=1,2,3,4)仍為周期函數．

現行高中教科書定義周期函數如下：一般地，對于函數f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的每一個值時，都有f(x+T)=f(x)，那么函數f(x)就叫做周期函數．[21]與該定義相比，夏普的定義要求x±k必須都在定義域D中，勢必導致周期函數的定義域在數軸的兩側都要無界，高等數學中許多教科書便采取了與之相似的定義．若取正弦函數的正半部分y=sinx,x∈[0,+∞)，在此定義下它便不是周期函數．

兩種定義孰對孰錯？孰優孰劣？許多一線教師就此問題屢屢產生爭鳴．綜合、辨析他們的觀點[22-23]，筆者認為：在高中階段，學生只需理解周期函數的定義域是無界的，無需基于定義去考究其范圍是至少單側無界還是雙側無界，能針對具體問題情境具體分析即可．回到周期的起源，幾乎所有具有周期性的自然現象都是從某一時刻開始的，如果采取后者，不承認僅單側無界的函數的周期性，則大大削弱了周期函數的應用價值，也背離了運用三角函數構建事物周期變化的數學模型的出發點．考慮到初等數學與高等數學的銜接，或許數學工作者們應當將周期函數的定義進行適當的推廣，如定義“弱周期函數”[24]等，以消釋現行兩種周期函數定義的矛盾．

4 結論與啟示

綜上所述，我們可以大致勾勒出周期函數概念的歷史演進過程(圖6)．

圖6 周期函數概念的歷史演變

有詩云：“東升西落照蒼穹，影短影長角不同．晝夜循環潮起伏，冬春更替草枯榮．”為準確刻畫這些與現實生活息息相關的周期現象，數學家們首先建立起三角函數這一數學模型，而數學內外部的需求又推動著一般周期函數概念的誕生，其間經歷了由描述性定義、不完善的形式化定義到較完善的形式化定義的演變，為時一百余年．直至今日，數學界對周期函數概念的定義仍未達成統一．

對周期函數定義的追本溯源、刨根問底，為當前高中數學教學提供了諸多啟示：

其一，提供豐富的課堂教學素材．在最新一屆的國際數學史與數學教育會議上，教育取向的數學史研究超過了三分之一[25]．研讀與梳理原始史料，特別是西方早期數學教科書的原文，為一線教師提供了最貼近中學教學實際的歷史素材，能夠用于預測和解釋學生的學習困難，精準設計教學過程．已有的實證研究[26]也表明：融入數學史的周期函數教學，不僅能夠加深學生對概念本質的理解，更能幫助學生樹立動態的數學觀．

其二，培養嚴密的數學抽象素養．數學抽象是數學的基本思想，而數學史讓我們看見，人們正是從自然界中的周期現象中逐步抽象出周期函數的數學概念，最初過分依賴直觀和經驗讓數學家們走了一些彎路，但經過數代人的不懈努力，最終形成了較完善的定義．以史為鑒，可以讓學生在辨析歷史的過程中積累從具體到抽象的經驗，以新代舊，跨越歷史，深刻體會數學的嚴謹性與抽象性．

其三，開展跨學科的數學建模活動．人教版教科書以我國古代發明的一種灌溉工具——筒車為例，筒車上盛水筒的運動具有周期性，因此可以用三角函數建立盛水筒運動的數學模型[21]．天文學中的天體運動、物理學中的交變電流、醫學中的心電圖、藝術中的音調音色，這些都呈現出周期變化的特點，能夠用于開展數學建模活動，且學生僅有數學中三角函數和周期函數的知識是遠遠不夠的，還需要他們廣泛調動其他學科的知識來建立并檢驗模型．在課時允許的情況下，數學教師可以與其他學科的教師合作，走進校內實驗室或者校外更廣闊的實踐天地，讓數學建模素養的培育落地生根．

圖7 幾種交變電流的波形(人教版物理選擇性必修二)

其四，嘗試高觀點下的數學教學．上文討論了數學史上的著名函數——狄利克雷函數的周期性，這實則是大學微積分教科書中的習題．曾有教師將其呈現為課堂例題，少數學生可以當堂給出完整的證明，在教師引導下多數學生可以理解證明的過程和結論，無形間提升了邏輯推理素養．若有學生在經歷了周期函數定義的演變后產生“現在書中的定義一定準確嗎”等疑問，教師不妨呈現高等數學中的另一定義，引導他們辨析二者的異同，或許對學生批判性思維的培養能夠有所增益．