讓學生經歷數學概念的生成
——以人教A版“函數的概念”教學為例

劉桑慧 管利民 (江蘇省南菁高級中學 214437)

1 基本情況

1.1 授課對象

學生為重點中學高一強化班學生，基礎比較扎實，有一定的抽象能力、邏輯思考能力和數學建模能力.

1.2 教材分析

所用教材為人教A版必修1，內容為第3章“函數的概念與性質”第1節“函數的概念及其表示”第一課時.這一內容是學生在學習了“集合與常用邏輯用語”“一元二次函數、方程與不等式”的基礎上，進一步用集合的語言來描述函數，從具體的函數抽象出一般的函數概念.它是章概念起始課，是學生體會從特殊到一般、從形象到抽象的很好的思維載體，其中對數學建模、數學抽象等核心素養的培養，為進一步研究函數的性質奠定良好的思維基礎.基于以上理解，本節課的學習目標確定為：(1)通過豐富實例，體會函數是描述現實世界事物變化規律的重要數學模型；(2) 經歷“對應關系說”觀點下用集合語言表述函數概念的過程；(3)理解y=f(x)的含義，能用函數的概念刻畫簡單具體的函數；(4)通過從實例中抽象概括數學概念的活動，培養學生的抽象概括能力.

教學重點 經歷“對應關系說”觀點下用集合語言表述函數概念的過程，在此過程中培養學生數學抽象素養.

教學難點 從不同的問題情境中提煉函數的要素，并由此抽象出函數概念；理解函數對應關系f.

2 教學過程

2.1 類比：溫故而知新

類比是學生學習新知識、建構新概念的一個很重要也很常見的方法.通過學生熟悉的情境，讓學生自然地回憶起已有的概念，為進一步建模和抽象埋下伏筆.這樣的設計，由淺入深，為新概念的建立鋪好舒適的臺階.

圖1

師：我們身邊有著各種各樣的運動變化現象，唯一不變的就是變化本身.觀察圖1中兩組圖，你能說說圖中蘊含的運動變化現象嗎？

生：路程隨著時間的變化而變化，速度隨著時間的變化而變化，氣溫隨著時間的變化而變化.

師：所有這些都表現為變量間的對應關系，這種關系常常可用函數模型來描述，我們可以通過研究函數模型把握相應的運動變化規律.

師：初中時我們已經學習過函數. (投影出初中函數概念)一般地，在一個變化過程中的兩個變量x和y，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與它對應.那么我們稱y是關于x的函數，x是自變量.

師：依據初中函數概念，你認為函數由哪幾部分構成？

生：兩個變量和一個對應關系，對應關系滿足的條件是對于x的每一個值，y都有唯一的值與之對應.

師：能舉幾個具體的函數例子嗎？

師：回憶一次函數概念的歸納過程，我們從具體的y=x,y=2x+1抽象出一次函數模型y=ax+b(a≠0).能不能像用y=ax+b(a≠0)表示所有一次函數一樣，用一個抽象的符號去表示任意函數呢？

設計意圖從學生熟知的初中函數概念出發，引出具體的、熟悉的函數的例子，不僅為了生成一般的函數概念，也是在教給學生研究新的數學概念的方法.

2.2 建模：經歷方知味

問題1某“復興號”高速列車加速到350 km/h后保持勻速運行半小時.這段時間內，列車行進的路程S(單位：km)與運行時間t(單位：h)的關系可以表示為：S=350t嗎？

師：依據初中函數概念，路程是關于時間的函數嗎？

生：是，對于每一個時間t，都有唯一的路程與之對應.

師：很好，根據路程和時間的關系，當列車加速到350 km/h后，經過半個小時，列車行進了多少？

師：那么經過1小時后呢？

生：350 km.

師：“這段時間內” 的含義是什么？

生：列車保持勻速運行了半小時.

師：也就是列車運行半小時后的狀態我們不能判斷.能根據現有條件回答1小時對應的距離嗎？

生：不能.

師：S=350t,能準確反映問題情境中路程和時間的關系嗎？

社會信息化水平的提升，使得企業對人才素質的要求逐漸提高。企業傳統的會計核算方式，以人工核算為主。在互聯網背景下，人工核算已經逐漸被“電算化”所取代。在此環境下，會計專業教學，必須適應時代以及企業的需求，對自身的教學模式進行改革。通過提高會計電算化課程教學效率及質量的方式，提高人才的綜合技能。

生：不能，要加上0≤t≤0.5.

師：看來有必要在對應關系的基礎上，加入自變量的取值范圍. 基于這個問題，再回到初中函數的概念，概念中有沒有體現自變量有取值范圍呢？

生：在變化過程中的每一個x.

師：非常好！初中的函數概念是通過描述的方式，在變化過程中，體現了自變量的取值范圍，但是還不夠精確.今天我們就在初中函數概念的基礎上，利用現有的知識，用更加嚴謹的語言來表述函數的概念.

師：我們有什么工具來刻畫取值范圍呢？

生：集合.

師：好.回到這個問題情境中，自變量的取值范圍構成的集合是？

生：[0，0.5].

師: 那么問題情境中的路程和時間的關系就可以這樣描述——對于數集[0，0.5]內的每一個值t，根據對應關系：(乘以350)，都有唯一的路程S與之對應. 當t取遍[0，0.5]時，S的取值也會產生一個數集，那是怎樣的數集？

師：好，我們再理一下．對于數集[0，0.5]內的任意一個時刻t，根據對應關系把它乘以350，在數集[0，175]中都有唯一確定的值S與之對應.

師：把S和t的物理背景都拿掉，兩個變量之間的變化關系就可以抽象成數集A1和數集B1之間的對應關系. 對于數集A1=[0，0.5]中的任一實數t，按照對應關系S=350t，在數集B1=[0，175]中都有唯一確定的實數S和它對應.

設計意圖在用“變量說”分析問題1的基礎上提出問題，讓學生發現說法不正確的原因是“沒有關注到t的變化范圍”，然后自然而然地用已學的工具——集合來表示t的變化范圍，并給出實數集合之間對應關系的表述.這樣，既能使學生體會到用集合語言和對應關系重新定義函數的必要性，又給出了用更高層次的數學語言抽象具體問題中對應關系的示范.

問題2某電氣維修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超過6天.如果公司確定的工資標準是每人每天350元，每周付一次工資，那么你認為該怎樣確定一個工人每周的工資？一個工人的工資ω(單位：元)是關于他工作天數d的函數嗎？

師：你能寫出工資ω和工作天數d的對應關系嗎？

生1：ω=350d(1≤d≤6).

生2：ω=350d(1≤d≤6,d∈N*).

師：為什么你會加上正整數集的限制？

生2：問題中有“每人每天”這個限制條件.

師：很好，大家都有意識地去關注自變量的取值范圍了.

師：你能模仿問題1，利用數集之間的對應關系來描述這個函數嗎？

師：自變量的取值集合是？

生：{1，2，3，4，5，6}.

師：它是一個離散的數集.對應關系又是什么？ω的取值集合呢？

生：在數集A2={1,2,3,4,5,6}中的任意一個天數d，根據對應關系：(乘以350)，在數集B2={350,700,…,2 100}中都有唯一的工資ω與之對應.

師：它與問題1中的函數是不是同一個函數？

生1：不是，因為自變量的取值范圍不同.

生2：是的，因為對應關系相同.

師：兩位同學都給出了自己的理由，那么判斷兩個函數是不是同一個函數的標準在哪里？依據初中函數概念，能加以判斷嗎？我們先把這個問題放在這里.

師：解決好了問題1和問題2，大家對于這種能夠用解析式表示的對應關系已經比較熟悉了．實際上，表達對應關系還有其他的方式.

問題3如圖2是北京市2016年11月23日的空氣質量指數(簡稱AQI)變化圖.如何根據該圖確定這一天內任一時刻th的空氣質量指數(AQI)的值I？你認為這里的I是t的函數嗎？

圖2

師：問題3中有幾個變量？自變量是什么？對照這張圖，你能找出這一天上午12點時所對應的AQI值嗎？你是怎么找的？

生：有兩個變量，自變量是t，在橫軸上找到12點時所對應的點N，然后過點N作橫軸的垂線，與圖象的交點為Q，度量出交點Q的縱坐標.

師：你能找到這一天內任意一個時刻的AQI值嗎？I是t的函數嗎？

生：是的，因為對于t的每一個值，都有唯一的I值與之對應.

師：這是一個函數，你能找到解析式嗎？

(學生們搖頭)

師：你能用集合和對應的語言刻畫這個函數嗎？

生：對于數集A3=[0,24]中的任意時刻t，根據圖象給出的對應關系，在數集B3中有唯一的值與之對應.

師:B3是怎樣的數集？這里I的變化范圍雖然是確定的，但是不清楚具體的數值．不過可以斷言肯定在(0，150)內．將B3改為(0，150)能不能描述這個問題情境？試著說一說.

生：對于數集A3=[0，24]中的任一時刻t，按照圖中曲線所給定的對應關系，在數集B3=(0，150)中都有唯一確定的AQI的值I與之對應.

師：如果B3=(0，160)，還能構成一個函數嗎？

生：可以.

師(追問)：如果B3=[50，100]呢？

生：不行.如果變成[50，100]，4點時就沒有值與之對應，不滿足對任意一個t，有I與之對應.

表1

設計意圖函數類型各種各樣，數學追求具有一般化的、簡潔的表達形式，但這種表達應該在學生有充分的體驗下再給出，因此教科書在具體實例的選擇上，涵蓋了最常見的表示類型，包括解析式、圖象和表格，連續的、離散的，值域C包含于數集B的類型等.讓學生經歷概念的生成過程，為得到一般的函數概念鋪墊溫和的臺階，培養學生數學抽象的能力.

2.3 抽象：引水自入渠

師：觀察我們從問題1至問題4得到的函數，它們有哪些共同特征？

生：都有一個對應關系，都有兩個數集.

師：這些對應關系有什么共同點？

生：對于每一個值，都有唯一確定的值與之對應.

師：與我們初中的函數有哪些異同？

生：相同點都有兩個變量、一個對應關系，不同之處是增加了兩個數集.

師：初中函數的概念從運動變化的角度出發，描述性地給出了自變量的取值范圍，現在我們進一步地明確了兩個數集，利用數集之間的對應更清楚地揭示了函數的本質.大家能利用集合和對應的語言，嘗試概括出函數的概念嗎？

生：兩個數集A和B在確定的對應關系f下，集合A中的每一個元素x，在集合B中都有唯一的數y與之對應.

師：我們稱數集A，B和這個對應關系f，這個整體f:A→B為從數集A到數集B之間的一個函數，記作y=f(x)，x∈A，其中自變量的取值集合A叫做函數的定義域；y是這個對應產生的結果，是x經過f對應過來的值，叫做函數值；函數值的取值集合稱為值域.

我們引入抽象符號f表示對應關系，它可以是一個解析式，也可以是圖象，還可以是表格．從圖和表中我們可以比較直觀地看出x和y的關系，隨著學習的深入，f的表現形式還可以更多.

練習：數集A，B與對應關系f如圖3所示．判斷f是否為數集A到數集B的函數，如果是，那么定義域、值域與對應關系各是什么？如果不是，請說明理由.(PPT展示，請學生說一說)

圖3

師：根據今天得到的函數的概念，你認為確定一個函數，需要有哪些要素？

生：定義域、對應關系和值域.

師：值域就是數集B嗎？跟數集B之間是什么關系？

生: 值域是數集B的子集.

師：現在能不能解決問題2中留下來的疑惑了，它們是不是同一函數？

生：不是.因為定義域不同.

師：兩個函數是同一函數的充要條件是——

生：定義域、對應關系和值域相同.

師：對！定義域、對應關系和值域就是函數的三個要素.

設計意圖通過精心設計的具體例子，讓學生感受到函數表示的豐富性，讓學生自然而然地感悟到“除解析式、圖象、表格外，還有其他表示對應關系的方法.為了表示方便，我們引入符號f統一表示對應關系”[1]，這與其他教科書對函數概念的處理有較大的不同.

2.4 應用：回到實際去

請學生用對應說概念重新闡述二次函數和反比例函數，填寫表2.

表2

師：如果不加任何限制條件，只給出函數解析式，那么它的定義域就是使得解析式有意義的x的取值集合.

師：函數的解析式是舍棄問題的實際背景而抽象出來的，它所反映的是兩個量之間的對應關系，可以廣泛用于刻畫一類事物中的變量關系和規律.剛剛我們在抽象得到函數概念時，都是從實際問題得到對應關系．反之，給定一個函數解析式，如y=kx(k≠0)，它能刻畫很多問題，比如勻速運動中路程和時間的關系S=v0t．你還能舉出其他例子嗎？

生：勻加速運動中速度和時間的關系v=a0t，一定密度的物體質量與體積的關系m=ρV，圓的周長和半徑的關系l=2πr，采購單價一定的物品費用和數量的關系ω=ax……

師：我們把上述的變量S,v,t,m,V,l,r,ω,x各自的物理意義和實際意義一般化，用x,y分別代表自變量和函數值，那么他們的對應關系都具有y=kx(k≠0)的形式，因此正比例函數模型是有著廣泛應用的數學模型.

例1你能構建一個問題情境使其中的變量關系可以用解析式y=x(10-x)來表示嗎？

這是一個二次函數，定義域為R，值域是(-∞,25], 對應關系是f(x)=x(10-x).

(學生小組討論交流)

設計意圖數學概念不是冷冰冰的數字和式子，通過一個函數模型，讓學生找到適合它的情境，回歸實際應用.同時讓學生對函數概念進行辨析，使所學的概念得到及時鞏固，展示學生多姿多彩的想法，讓學生學會用數學的語言表達世界，也可留給學生課外拓展，激發他們探索數學的興趣.

3 回顧與反思

3.1 教學設計的立意

在函數概念的教學過程中，首先讓學生從初中函數概念出發，結合具體問題情境，經歷尋找、歸納它們共性的過程，再經過對比探究、抽象概括出函數概念，最后回到實際生活中去應用概念.教學中，對概念的辨析，普遍的做法是以“提示注意”的方式，對“任意”“唯一”“值域C包含于B”等進行強調，然后很快地進入解題訓練，實際上這樣做的效果不好．人教A版教材中通過具體的函數解析式y=x(10-x)為導向構建問題情境，讓學生在應用中鞏固函數概念的方式值得我們品味、學習.

3.2 教學中的反思

初中階段函數的定義至少存在兩個不確切：一是很難擺脫表達形式的束縛，因此很難一般地認識函數，甚至很難把握函數的本質特征，比如狄利克雷函數，很難給出具體的表達式；二是根據變量說的敘述，很難建立函數的定義域和值域，從而很難研究函數的性質.為了解決這個問題，有必要重新定義函數，而且可以進一步擺脫物理背景的束縛，實現更高層次的抽象.然而正是這個抽象，阻礙了高中學生的理解[2].因此，在教學設計中我們必須回顧初中階段、甚至小學階段關于函數的那些直觀內容，抓住對應關系的本質，創設出合適的教學情境，提出恰當的數學問題，引發學生思考和交流，讓學生知道數學概念逐漸抽象的必要性，感悟抽象的思維和表達過程，幫助學生積累數學抽象的經驗．

章建躍博士也聽了這節課，他對這一節課的評價是：把編寫者的意圖講出來了.新課程改革中，我們要深入鉆研教材，深刻領會編寫者的意圖，比較新教材與老教材在處理知識點上的異同，讓學生在抽象概念的過程中做到水到渠成，更好地發展學生的數學核心素養.