立足數(shù)學(xué)文化 提升課堂品味
——“圓錐曲線之橢圓的定義”教學(xué)設(shè)計(jì)與反思

王瑞琦 (江蘇省太倉(cāng)市明德高級(jí)中學(xué) 215400)

1 基本情況分析

1.1 學(xué)情分析

本節(jié)課授課對(duì)象為太倉(cāng)市明德高中高二理科普通班學(xué)生，學(xué)生具有一定的自主探究和合作能力．在日常生活中，學(xué)生對(duì)橢圓的大致形狀從感性的角度有了一定的認(rèn)識(shí)，但是不清楚橢圓上點(diǎn)滿足的幾何特征．本節(jié)課借助阿波羅尼奧斯壓縮圓、旦德林雙球模型從幾何角度來(lái)研究橢圓上的點(diǎn)滿足的幾何特征．盡管學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了立體幾何，但是旦德林雙球模型構(gòu)造巧妙、數(shù)量關(guān)系較多，所以學(xué)生不易從該模型中直接觀察到橢圓上點(diǎn)所滿足的幾何特征．

1.2 內(nèi)容解析

本節(jié)內(nèi)容安排在選擇性必修課“幾何與代數(shù)”這一主題中，立足“圓錐曲線之橢圓定義”，如章引言中提到橢圓的起源，深入挖掘教材中的數(shù)學(xué)史材料，滲透數(shù)學(xué)文化，尤其是“探究與發(fā)現(xiàn)”中介紹的用旦德林雙球證明橢圓上的點(diǎn)滿足的幾何性質(zhì)．本節(jié)課從多角度探究橢圓的可操作性定義，目的是使學(xué)生對(duì)橢圓的定義形成全面的認(rèn)識(shí)．

1.3 教學(xué)目標(biāo)

(1)了解圓錐曲線來(lái)由，體驗(yàn)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化，重點(diǎn)提升直觀想象等核心素養(yǎng)；(2)經(jīng)歷對(duì)旦德林雙球模型的探究以及動(dòng)手畫橢圓的過(guò)程，抽象出橢圓的定義，重點(diǎn)提升邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)．

教學(xué)重點(diǎn) 抽象橢圓的模型，掌握橢圓的定義．

教學(xué)難點(diǎn) 用旦德林雙球發(fā)現(xiàn)橢圓的特性，形成橢圓的定義．

1.4 課前準(zhǔn)備

沙漏、磁性圓錐曲線截面模型、軟木板、白紙、工字釘、定長(zhǎng)細(xì)線、直尺等．

2 教學(xué)過(guò)程

2.1 問(wèn)題情境，抽象圓錐曲線模型

問(wèn)題1(請(qǐng)幾位學(xué)生上臺(tái)操作)旋轉(zhuǎn)錐形瓶，觀察沙漏中沙子的水平面呈現(xiàn)什么樣的圖形？

(設(shè)計(jì)預(yù)想學(xué)生實(shí)驗(yàn))

情形1 將沙漏放置在水平面上時(shí)，沙漏中的沙子呈現(xiàn)出的圖形——圓形；

情形2 將沙漏稍微傾斜一定角度，沙漏中的沙子呈現(xiàn)出的圖形——扁圓；

情形3 將沙漏的傾斜程度變大，沙漏中的沙子又會(huì)呈現(xiàn)出什么樣的圖形？

情形4 將沙漏水平放置，沙漏中的沙子呈現(xiàn)的圖形又是怎樣的？

教師引導(dǎo)：對(duì)于情形3和情形4兩種情況，形成的曲線很難想象，我們可以從實(shí)物模型中抽象出數(shù)學(xué)模型，使其進(jìn)一步優(yōu)化，方便我們研究其結(jié)構(gòu)．我們可以把沙漏看成圓錐，它是通過(guò)一條直線繞著某個(gè)軸旋轉(zhuǎn)出來(lái)的旋轉(zhuǎn)體．而旋轉(zhuǎn)出來(lái)的幾何體是圓錐，直線上的點(diǎn)留下的軌跡就形成了圓錐面．(此處用動(dòng)態(tài)圖來(lái)演示)

如果拿一個(gè)垂直于圓錐的軸(或者平行于沙漏底面的平面)截圓錐面，我們可以得到一個(gè)封閉的圖形——圓．把截面稍微傾斜一點(diǎn)角度，沙漏中的沙子仍然呈現(xiàn)出封閉的圖形——扁圓，即橢圓(“橢”字早在創(chuàng)作于公元前2世紀(jì)的中國(guó)古代哲學(xué)著作《淮南子》中就有記載)．將平面再傾斜，我們發(fā)現(xiàn)將得到不封閉的圖形，很像我們之前學(xué)過(guò)的一個(gè)函數(shù)圖形——拋物線．最后，我們將圖形傾斜，與圓錐曲面的兩邊都相交，最后形成的也是一個(gè)不封閉的圖形(得到兩條曲線，同學(xué)們給這個(gè)曲線起個(gè)名字吧)——雙曲線．(暫時(shí)命名，課后進(jìn)一步研究)

師：通過(guò)模型展示，平面截圓錐面可以得到這些曲線．那么我們不妨統(tǒng)一起一個(gè)名字，同學(xué)們?cè)囋嚳矗?/p>

生1：圓錐曲線．

師：圓錐曲線與科研、生產(chǎn)以及人類生活有著緊密的關(guān)系，開(kāi)普勒就發(fā)現(xiàn)行星繞著太陽(yáng)運(yùn)行的軌跡是一個(gè)橢圓；探照燈反射鏡面是拋物線繞著其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)所成的拋物面；發(fā)電廠冷卻塔的外形是雙曲線．本節(jié)課我就和同學(xué)們來(lái)研究一下橢圓的定義．

2.2 數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，提出橢圓的直觀性

師：我們來(lái)看看圓的定義：在平面內(nèi)把線段OP繞著端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，端點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)所形成的圖形叫作圓，其中點(diǎn)O叫做圓心，線段OP叫做半徑.(蘇科版九年級(jí)上冊(cè)第38頁(yè))

問(wèn)題2我們能否給橢圓下一個(gè)定義呢？

師：直觀來(lái)看，圓與橢圓之間是否存在某種關(guān)聯(lián)？

生2：直觀感覺(jué)把圓壓扁了就是橢圓．

師：隨便壓就可以得到橢圓？一個(gè)圓圈，對(duì)上半圓的兩個(gè)點(diǎn)給不同的壓力，會(huì)變成橢圓嗎？

生(眾)：不會(huì).

生3：對(duì)圓的每個(gè)點(diǎn)均勻施力．

師：均勻這個(gè)詞在數(shù)學(xué)上如何體現(xiàn)？

生4：可以用等比例來(lái)刻畫．

師：(用幾何畫板演示圓沿縱軸方向等比例壓縮)是否可以把這個(gè)性質(zhì)作為判斷的依據(jù)呢？

生5：應(yīng)該可以，只要比值不等于1．

師：從嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕嵌任覀儜?yīng)該進(jìn)行論證．早在公元前200年，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯就發(fā)現(xiàn)了橢圓的這一幾何性質(zhì)，他曾歷經(jīng)千辛萬(wàn)苦寫出了《圓錐曲線論》，該書是古代世界光輝的科學(xué)成果，將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒(méi)有插足的余地，作者是非常了不起的一位數(shù)學(xué)家．

師：所以我們以后畫橢圓，只要把每個(gè)點(diǎn)按照比例壓縮就可以畫出橢圓？

生6：太繁了！要找到很多點(diǎn)．

師：我們可以把這位同學(xué)說(shuō)的理解為可操作性差，那么橢圓是否存在操作性強(qiáng)的定義？

2.3 探究與發(fā)現(xiàn)，給出橢圓定義

歷史上，許多人從純幾何角度進(jìn)行研究，下面我們?cè)賮?lái)介紹一位著名的德國(guó)數(shù)學(xué)家旦德林，他在吃冰激凌后突然領(lǐng)悟(圖1)．下面我們看看旦德林是如何研究橢圓的定義的．

圖1

首先介紹旦德林雙球模型，熟悉模型特點(diǎn)．研究對(duì)象是：圓錐、大球、小球、截面；它們之間關(guān)系是大球、小球均與圓錐面以及截面相切．

問(wèn)題3球與圓錐的側(cè)面相切，切點(diǎn)構(gòu)成的圖形是什么？切點(diǎn)構(gòu)成的圖形與圓錐底面有什么位置關(guān)系？

生7：切點(diǎn)構(gòu)成的圖形是圓，與圓錐底面的位置關(guān)系是平行．

師：回答得非常到位．

問(wèn)題4過(guò)曲線上任意一點(diǎn)M作圓錐的一條母線，使它與兩個(gè)切點(diǎn)圓分別相交于點(diǎn)P，Q，請(qǐng)問(wèn)PQ的長(zhǎng)度會(huì)隨著母線的不同而改變嗎？

圖2 圖3

生8：不會(huì)．我們可以把大小球與圓錐曲面截得的圖形看成一個(gè)圓臺(tái)(圖2)，直線PQ正好是圓臺(tái)的母線，在立體幾何里我們知道圓臺(tái)的母線長(zhǎng)相等．

師：回答得很好！我們知道一旦橢圓對(duì)應(yīng)截面確定，那么該截面與大小球的相切的切點(diǎn)隨之確定，記為F1,F2，那么橢圓上任意一點(diǎn)M與F1,F2兩點(diǎn)之間又會(huì)存在怎樣的關(guān)系(圖3)？

圖4

要回答上述問(wèn)題，我們先觀察圖4，類比圓的一些性質(zhì)來(lái)先思考下面幾個(gè)問(wèn)題：

問(wèn)題5當(dāng)球與平面相切時(shí)，在相切平面內(nèi)過(guò)切點(diǎn)F任作一直線，它和球會(huì)有怎樣的位置關(guān)系？(相切)

問(wèn)題6那么過(guò)球外一點(diǎn)M作球的兩條切線，可以作出幾條？切線長(zhǎng)是否相等？

生9：可以作無(wú)數(shù)條切線，根據(jù)全等三角形，這無(wú)數(shù)條切線均相等．

師：根據(jù)以上思考，橢圓上任意一點(diǎn)M與F1,F2兩點(diǎn)之間又會(huì)存在怎樣的關(guān)系？

圖5

生10：因?yàn)镸F1=MP,MF2=MQ，且MP+MQ=PQ，PQ為定長(zhǎng)，所以MF1+MF2=PQ(圖5)．

師：總結(jié)得非常好！那么你可以用文字語(yǔ)言來(lái)表述你所得到的結(jié)論嗎？

生10：一個(gè)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為定值．

師：這個(gè)點(diǎn)在哪里？

生10：在橢圓上！

師：在圖5中的橢圓上，只有點(diǎn)M滿足這樣的條件嗎？

生：這個(gè)點(diǎn)可以是橢圓上的任意一點(diǎn)！

師：觀察得非常仔細(xì)！所以我們可以得出結(jié)論：橢圓上任意一點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為定值．那么請(qǐng)同學(xué)們思考這樣一個(gè)問(wèn)題：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之和為定長(zhǎng)的點(diǎn)所畫出來(lái)的圖形一定是橢圓嗎？

師生協(xié)作，拿出事先準(zhǔn)備好的軟木板進(jìn)行操作：①將細(xì)線固定在兩個(gè)工字釘上；②將兩個(gè)工字釘在軟木板上；③用筆尖把繩子拉緊并移動(dòng).

師：畫出的圖形是什么？

生11：是橢圓！

生12：是線段！

師：為什么有的組畫出的是橢圓，有的是線段呢？

生13：兩定點(diǎn)的距離要比定長(zhǎng)的距離短才能畫出橢圓，否則畫不出來(lái)！

師：這位同學(xué)不僅觀察入微，反應(yīng)也很快，回答得非常好！所以我們可以完善橢圓的定義了，哪位同學(xué)愿意來(lái)描述下？

生14：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的和等于定值(大于F1,F2之間的距離)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．

師：得到橢圓定義以后，我們?yōu)榱嗽诂F(xiàn)實(shí)生活中更好地應(yīng)用這樣的圖形，還要進(jìn)一步去研究它，同學(xué)們可以在課后結(jié)合圓形的研究，思考下你可以從怎樣的角度去研究這個(gè)圖形．

2.4 課堂小結(jié)(略)

3 教學(xué)感悟

3.1 立足于基礎(chǔ)，有序推進(jìn)概念教學(xué)

數(shù)學(xué)概念在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著基礎(chǔ)性的作用，但實(shí)際教學(xué)中正是因?yàn)檫@種基礎(chǔ)性，往往使得數(shù)學(xué)概念的教學(xué)被簡(jiǎn)化，這種急于求成的教學(xué)心理背后隱藏著對(duì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)重要性的漠視．?dāng)?shù)學(xué)教師在教學(xué)中必須思考數(shù)學(xué)概念如何生成及其功能定位，必須加強(qiáng)數(shù)學(xué)概念的研究，滲透數(shù)學(xué)概念背后的數(shù)學(xué)文化．

3.2 立足于研究，多維度看待問(wèn)題

高中數(shù)學(xué)教學(xué)需要突破以往的知識(shí)教學(xué)，重視學(xué)生思維能力與智力方面的培養(yǎng)，使其具備多維度看問(wèn)題的能力，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)高中生綜合素質(zhì)的全面發(fā)展．本節(jié)課在探索橢圓概念時(shí)并未開(kāi)門見(jiàn)山地使用旦德林雙球模型，而是聯(lián)系圓和橢圓的關(guān)系，從直觀的幾何特征入手和學(xué)生嘗試得出橢圓概念．這樣不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，更有利于提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，適應(yīng)社會(huì)發(fā)展需求．

3.3 立足于學(xué)生，凸顯課堂主體

尊重學(xué)生、了解學(xué)生、把握學(xué)情，一切教學(xué)開(kāi)展都要從學(xué)生角度出發(fā)．處于青春期的高中生好奇心旺盛，對(duì)事物保持較高求知欲，因而課堂上教師應(yīng)盡量結(jié)合教學(xué)內(nèi)容使其自主探索事物發(fā)展規(guī)律．本節(jié)課通過(guò)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)，教師以啟發(fā)為主，有效抓住了學(xué)生注意力，引發(fā)了學(xué)生的主觀能動(dòng)性．

3.4 立足于文化，提升課堂品味

數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育之間的關(guān)系是數(shù)學(xué)教育的重要研究領(lǐng)域之一，其以喜聞樂(lè)見(jiàn)的形式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈，在科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)邏輯體系中滲透豐富多彩的數(shù)學(xué)文化．本節(jié)課基于數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程而開(kāi)展數(shù)學(xué)教學(xué)．包括在數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的最初時(shí)期，數(shù)學(xué)家是如何一步步研究，從理論上升到實(shí)踐，再?gòu)膶?shí)踐歸結(jié)到規(guī)律、定理和公式的.關(guān)于概念的形成，有怎樣振奮人心、精彩有趣的故事.在高中數(shù)學(xué)課堂中，教師要善于立足數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程，講授數(shù)學(xué)家精彩的研究史，激發(fā)學(xué)生的興趣，引導(dǎo)學(xué)生投入到對(duì)概念、公式、原理的學(xué)習(xí)中．如果教師可以在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化，教學(xué)過(guò)程將變得生動(dòng)有趣，教學(xué)效率也將大大提升．因此教師要善于挖掘“數(shù)學(xué)美”“數(shù)學(xué)史”等數(shù)學(xué)文化類型，更全面地實(shí)施文化教育．

3.5 立足于技術(shù)，形成有效融合

隨著信息技術(shù)的發(fā)展，多媒體技術(shù)在教學(xué)中得到越來(lái)越廣泛的使用，特別在探索幾何問(wèn)題中，適應(yīng)運(yùn)動(dòng)變化思想給出由靜到動(dòng)的情境，課堂上學(xué)生通過(guò)觀察、分析、推理和歸納，在其中理解問(wèn)題本質(zhì).這種方式也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，并在變化的幾何圖形中開(kāi)展靈活教學(xué)，豐富了教學(xué)內(nèi)容，利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．