授人以漁重思考 循循誘之興味長
——以“函數y=Asin(ωx+φ)的圖象”教學為例

姚 婷 (江蘇省南京市第三高級中學 210000江蘇省南京市高中數學渠東劍名師工作室 210000)

1 背景描述

近日，筆者參加了一次賽課活動，課題是“函數y=Asin(ωx+φ)的圖象”.這一課題曾多次出現在教研活動中，筆者也曾多次執教該課題，大多是按照“引入→作圖→比較→歸納”的思路設計，但在此次備課和上課的過程中，筆者對幾個問題有了一些新的認識，愿與讀者分享．

學生已經學過了正弦函數、余弦函數的圖象與性質，以及三角函數周期性等相關知識，這些是學習函數y=Asin(ωx+φ)的圖象的主要認知起點．學習本節內容，將有助于學生構建較為完整的三角知識體系，深化對函數的認識，有助于進一步學習相關的三角知識．授課對象來自四星級高中普通班，基礎一般．所用教材為《普通高中課程標準實驗教科書數學(必修4)》(蘇教版)，教學內容為“1.3.3函數y=Asin(ωx+φ)的圖象”．

2 教學片段摘錄

片斷1 創設情境，引出課題

師：三角函數是研究周期現象的數學模型，生活中摩天輪的運動就是一種周期現象．我們先來研究下面的問題．

問題1如圖1，摩天輪的半徑為Am，逆時針做勻速運動，角速度為ωrad/min．如果從摩天輪上的點P位于圖中的點P0處開始計時，請在如圖1所示的坐標系中確定時刻為xmin時點P的縱坐標y．

圖1

生：y=Asin(ωx+φ)．

師：形如y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的函數在生活中經?？梢姡畯奶祗w運動到車輪轉動，再到物理領域中的振動、波動等，這些現象的數學模型都是y=Asin(ωx+φ)．那么出現了新的函數，接下來我們要研究它的哪些方面？

生：研究函數的圖象和性質．

師：今天這節課我們就來研究函數y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的圖象．(板書課題：函數y=Asin(ωx+φ)的圖象)

片斷2 制定方案，共同探究

問題2你們準備如何研究函數y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的圖象呢？

生：用“五點作圖法”作出它的簡圖．

師：“五點法”作簡圖應該是在已知了函數大致形狀之后才有的！還有其他方法嗎？

生：(思考)

師：尋求新問題和舊知識的聯系是我們研究問題的常用方法，體現的是轉化思想．函數y=Asin(ωx+φ)的圖象可能和前面學習的哪個函數圖象有關聯呢？

生：y=sinx．

師：為什么？

生：因為當A=1，ω=1，φ=0時，函數y=Asin(ωx+φ)就是y=sinx．

師：非常好！這顯然是特殊與一般的關系．對于函數y=Asin(ωx+φ)，由三個參數A,ω,φ控制，在它們取不同的值時我們能得到不同的函數，函數y=Asin(ωx+φ)是y=sinx的推廣，它的圖象也就最有可能和y=sinx的圖象有關．

問題3函數y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的圖象與y=sinx的圖象間有怎樣的關系呢？同學們，你們覺得應該如何來研究？

師：函數y=Asin(ωx+φ)中有三個參數A，ω，φ，如何研究A,ω,φ對函數圖象的影響？請大家想想看．(如果學生回答不出來，可再引導.)

生：控制變量法．

師：如何控制？

生：先固定其中的兩個參數，研究剩下的一個．比如，可以令A=1，ω=1，研究y=sin(x+φ)與y=sinx之間的關系．

師：非常好，這里涉及三個參數，我們可以“分而治之”，將復雜問題分解，這是化繁為簡的思想．

師：你準備先研究哪一個參數對函數圖象的影響呢？(學生討論)

師：你對哪個情形更熟悉一些呢？

生：φ．

問題4y=sin(x+1)與y=sinx的圖象有怎樣的關系？

生：y=sin(x+1)的圖象可以看作是y= sinx的圖象上所有的點向左平移1個單位．

師：同學們利用以往的經驗，得出的這個結論究竟對不對呢？我們可以利用電腦作出函數的圖象來檢驗一下．(多媒體驗證)

師：通過作圖說明同學們給出的結論是正確的．但是從圖形觀察得到結論，不夠嚴謹，能不能用函數的圖象和函數解析式的關系來證明？

師(提示)：函數的圖象是由什么構成的？

生：圖象是由點構成的．

師：函數圖象的平移如何反映在點上？(這個環節最好要體現從特殊到一般的研究過程．從研究幾個特殊的點開始，再逐步推廣到圖象上任意一點．而且研究幾個特殊點的時候，最好有列表出現在黑板上，這既可以讓學生有一個更加清晰的理解，還可以為后面五點法作簡圖打下基礎．)

生：圖象上所有的點作平移．

師：怎么說明所有的點在平移呢？

生：在圖象上任取一點P，通過點P的變化來說明圖象的變化．

師：很好．設點P(x0，y0)是y=sinx圖象上任意一點，將P(x0,y0)沿著x軸方向向左平移φ個單位(φ>0)，得到點Q(x0+φ，y0)．因為點Q(x0+φ，y0)的坐標滿足y=sin(x+φ)，所以它在y=sin(x+φ)的圖象上；反之也成立．我們可以類似地說明當φ<0時結論也正確．

問題5剛才我們采用了怎樣的研究方法？又有了怎樣的結論？

生：作圖、觀察、猜想、驗證．y=sin(x+φ)的圖象可以看作是y=sinx的圖象上所有的點向左或向右平移|φ|個單位．

師：有了剛才的研究經驗，接下來我們分別研究A，ω對函數圖象的影響．請各組同學取不同的值，作圖觀察，然后再相互交流，看看你們的研究結論是不是一致的．

(后略)

3 教學反思

3.1 整體設計，全局意識

函數y=Asin(ωx+φ)具有豐富的現實背景，是描述現實生活周期現象的重要的數學模型，在解決實際問題中有著重要的作用．而摩天輪是生活中常見的事物，學生非常熟悉并且大多都曾體驗過，以摩天輪為背景引入函數y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)有現實意義，是一個非常典型的函數建模過程．本節課通過實例引入，有利于學生感受學習新知識的必要性，體會y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)是刻畫周期現象的重要數學模型.

此外，筆者認為，摩天輪問題可以貫穿這一章的始末，它不僅僅可以作為本節課的問題情境，也可作為“1.1.1任意角”、“1.1.2弧度制”、“1.2.1任意角的三角函數”的問題情境，同時摩天輪也是反映三角函數的周期性的典型例子．選擇本節課的實例應當關聯前后章節的內容，應有整體意識．摩天輪這一模型背景簡單，重點突出，相較于筒車、水輪、鐘擺等例子，更能突出本節課的教學重點．數學與生活存在緊密聯系，教學中適當創設情境能夠激發學生的學習熱情，但是情境創設只是手段不是目的，情境創設過多會分散學生的注意力，情境創設不合適也會沖淡整節課的主題，因而問題情境的選擇要精、巧、準．

3.2 固定變量，化繁為簡

本節課的難點是認識y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的圖象與y=sinx的圖象的關系.參數A，ω，φ對函數圖象都將產生影響，往往使學生感到抽象和難以解決．為了突破此難點，教學中要引導學生制定探討思路，并在此基礎上確定探討思路，即相對固定其中2個變量，只探討1個變量的作用，體會探討多變量問題的一般方法．函數的圖象是由點構成的，因此函數圖象的變換本質上是點的變換，這是化繁為簡思想的體現．讓學生在問題的引導下自主探究研究策略，有利于培養其認知策略．因此，教學中要充分開展探究活動，使學生在探究過程中理解變換本質，促進理性思維；在探究過程中培養探究能力，形成探究習慣；在探究過程中完善知識結構，發展認知策略．

3.3 大膽猜想，小心求證

筆者在備課過程中，發現有不少課例都是先讓學生用“五點(畫圖)法”畫圖，然后找尋函數圖象之間的關聯．關于五點作圖法，教材在“1.3.2三角函數的圖象與性質”一節中，通過Excel軟件繪制出正弦函數圖象后，找到圖象上起著關鍵作用的五個點，這樣介紹到：“在精確度要求不太高時，我們常常先找出這五個關鍵點，然后用光滑的曲線將它們連接起來，就得到函數的簡圖．今后，我們將經常使用這種‘五點(畫圖)法’．”故而，五點作圖法應當是在已知函數的大致圖象后使用的．而就本節課而言，學生還不知道函數y=Asin(ωx+φ)的大致圖象，就讓學生用五點作圖法去作圖，筆者認為不妥．因此，筆者采用了另一種設計思路：先讓學生有一個感性認識，函數y=Asin(ωx+φ)的圖象可能與y=sinx的圖象有關，讓學生嘗試探究從特殊的三角函數變換到一般的三角函數的過程．問題4給了學生一個臺階，鼓勵學生利用現有知識思考新問題，先大膽猜想，再小心求證，然后借助于計算機作圖獲得直觀的認識，最后進行代數驗證.這樣的環環相扣是探究數學問題的一般策略．

3.4 授人以魚，不如授人以漁

無論是課題引入還是問題解決，教師在授課過程中扮演的角色始終是引導者，學生才是學習的主體．“同學們，你們覺得應該如何來研究？”“如何控制？”“你準備先研究哪一個參數對函數圖象的影響呢？”“你對哪個情形更熟悉一些呢？”等教師言語對學生的思維往往會起到“推波助瀾”的作用.在教學的過程中，教師不僅僅要讓學生解決問題，更要讓學生掌握解決問題的一般方法．

問題情境的創設往往可以激發學習興趣，但這只是教學的第一環節，如何保持興趣，更是教師需要思考的.引起并始終保持學生的注意力，才是培養學生興趣的要義所在．每節課大體可分為三個階段：問題引入、問題探究、問題解決.在這三個階段，教師可引導學生產生三種趣味．在問題引入階段，重在激起學生的興趣，讓學生對問題產生好奇的心理；在問題探究階段，運用問題和懸念，讓學生保持興趣，并通過自己的思考或是行動，對問題解決產生期待；在問題解決階段，讓學生感到好奇和期待是值得的，并在這一階段產生滿足感．好奇、期待、滿足，這不就是學生在課堂中感受到的三種趣味嗎？激起、保持、升華，這正是教師的教學智慧．授人以魚，不如授人以漁，更要授人以欲．