學習有路“折”為徑 思維無涯“探”作舟
——以八年級矩形折疊問題為例

張躍飛 (浙江省平湖市南市學校 314200)

折疊問題是數學中的一類重要問題，其本質是軸對稱變換.由于此類問題涉及到豐富的數學知識，蘊含著重要的數學思想，對學生的思維發展具有獨特作用，因此折疊問題往往得到數學教育者的青睞.在八年級學習特殊的四邊形之后，可以安排一個折疊問題的專題探究，有助于學生的思維發展與探究能力提升.文章選取的矩形折疊案例立足于整體視角，采用系統化設計方式，從一個基本圖形出發，通過系列變化由易到難逐步加深，滲透著特殊到一般以及一般到特殊的數學思想.折疊問題“折”的是圖形，“探”的卻是蘊含著的思維與一般思想方法.

1 以“折”引思，探尋研究方法

學生學習是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程，教學中教師應設計好活動，并留給學生充分的時間和空間，讓學生經歷觀察、實驗、操作、猜想、計算、推理等過程，在“做”與“思”的經歷中促進思維發展.矩形的折疊問題中“折”并不是目的，“折”只是手段，以“折”引思，探尋一般的研究方法才是真諦.因此，教學中教師從“矩形有哪些基本要素？”出發進行復習回顧，并以下面的活動1作為引子開啟數學探究之旅.

活動1給你一張白紙，你能折出一個面積最大的正方形嗎？

圖1

學生利用手中的白紙很快就折出了圖1中的四邊形CDEF.這時，教師適時提出問題：你能說明折得的這個四邊形CDEF一定是正方形嗎？這個問題旨在讓學生明白,對“折得”的結果需要進行理性思辨，把學生的操作行為引導到數學思維層面，以此促進思維發展.這個說理的過程并不難，大多數學生能夠掌握.當學生解決了說理這個問題后，教師進行追問：仔細觀察折痕DF和頂點C的位置，它們有何特殊性？這個追問是點睛之筆，一下子把學生雜亂無序的思維逐步引向正軌.學生從圖形中可以發現折痕DF經過了矩形的一個頂點，且恰好平分了矩形的一個內角，而頂點C的對應點落在矩形的一條邊上.這時教師引導學生進行歸納小結，讓學生知道“研究特例”是數學研究的一般方法.教師趁熱打鐵提出如下問題：

從矩形的基本要素出發，還可以怎樣折疊這個矩形，使得折痕或頂點所落的位置具有特殊性？請試一試.

經過學生的自主探究與小組交流，得到了許多圖形，圖2～圖5是一些比較有代表性的圖形.

圖2 圖3 圖4 圖5

面對那么多的圖形，這時候就需要進行梳理歸類，引導學生進行有序思考.先圍繞“折痕”進行梳理，發現折痕“經過頂點、經過對稱中心、在對角線上、在對稱軸上”是最常見的特例；再從折疊后頂點所在的位置進行思考，發現頂點的對應點“落在邊上、落在其他頂點、落在對角線上”是最重要的三種特例(圖6).

圖6

通過歸納讓學生學會思考問題的一般方法，養成有序思考問題的習慣.同時對考察特例是數學研究的一種重要方法也有了新的理解與感悟.

2 用“折”助析，積累學習經驗

經過前面的探究與思考，學生對于矩形折疊問題的研究方向有了初步了解，接下來選擇“折痕”與“頂點”都具有特殊性的例子開展具體研究.于是教師提出了如下問題：

圖7

活動2如圖7，將矩形ABCD沿BE翻折，使頂點C落在邊AD上的點F，若AB=6，BC=10.求DE的長.

這幅圖來源于前面的操作，因此學生對此感覺很熟悉，現在重新拿出來，需要教師先引導學生對圖形中“折痕”與“頂點”的特殊性進行觀察.由于八年級是實驗幾何向論證幾何過渡的關鍵時期，因此把“折”這個具體操作行為適當弱化，取而代之的是抽象、觀察與思考，通過再次理性審視整幅圖的特征，既為后面的問題解決與經驗積累做準備，同時又能發展學生的抽象能力，提升學生的思維水平.

為了幫助學生加深對問題解決經驗及數學思想的理解與感悟，教學中設計了一個鞏固練習：

圖8

如圖8，將矩形ABCD沿折痕EF翻折，記點D的對應點為D′，點C恰好落在A處.若AB=6，BC=10.求DE的長.

設計這個鞏固練習可以讓學生再次完整地經歷整個解題過程，同時提升學生的運算能力，通過舉一反三達到觸類旁通、多解歸一的目的，也為九年級學習相似三角形、三角函數等知識后解決此類問題積累一定的學習經驗.

3 借“折”拓展，提升思維層級

從特殊到一般、從具體到抽象是數學研究的一般方法.在前面特例研究的基礎上適度拓展，可以提升思維層級、引發數學思考，激起學生對數學學習的興趣.同時，也能讓學生了解研究問題的一般性方法，促進學生的思維成長與素養提升.為此在探究活動1和2的基礎上設計了如下活動：

圖9

活動3如圖9，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，點E,F分別是線段CD,BC上的動點，將△CEF沿EF翻折，使點C的對應點C′在線段AD上，當折痕EF移動時，點C′在線段AD上也隨之移動.求AC′的取值范圍.

對于八年級學生來說，在沒有鋪墊與經驗積累的基礎上直接解決此類動點問題還是有困難的.尤其是八年級學生的空間想象能力還比較弱，如果沒有具體的操作，僅憑“想”，大多數學生還找不到問題解決的路徑.這時候教師引導學生進行實際操作很有必要，“折”在這里體現為一種策略，是問題解決的重要輔助手段，通過“折”讓學生感悟圖形的變化規律，探尋出問題解決的路徑，最終順利解決問題.

在實際教學中教師先讓學生在操作中直觀感知圖形變化并進行獨立思考，然后再組織學生開展小組活動，讓每個學生交流自己的發現與想法.接著教師再以問題串的方式啟發點撥，從而讓思維逐步走向深刻.教師的問題串如下：

(1)折痕與頂點所落位置是折疊問題中的關鍵要素，那么在折痕中的端點F從C到B的變化過程中，你發現AC′的大小如何變化？

(2)折痕中的端點E從C到D的變化過程中，AC′的大小又是如何變化的？

(3)折痕變化過程中有沒有特殊的位置？請嘗試畫出這個圖形.結合“折”與“畫”的過程嘗試解決這個問題.

(4)從活動1到活動3，這其中蘊含著怎樣的數學思想，以后碰到此類問題你將如何思考？

四個問題層層遞進、直指要害，注重思維內涵，在“折”的助力下找到解題路徑，最終突破困境、提升思維.第(4)個問題更是把學生的思維提升到思想方法的高度，讓學生感受到從特殊到一般的研究思路，再從一般到特殊的解決策略.

4 順“折”提問，培養問題意識

好的問題能激活學生的思維，在課堂教學中教師不僅要善于提出好的問題，而且還應引導學生去發現問題、提出問題，分析并解決問題.而高水平的課堂提問應具有可模仿性，實現從“問題引導學習，激發學生思維”到“學生自主提問，開展創新學習”的過渡.[2]經過前面的矩形翻折操作以及活動探究，學生對此類問題已經有了初步的了解.為了讓學生進一步加深對矩形翻折問題的本質理解，提升發現問題、提出問題的能力，促進問題意識的發展，教師適時給學生創造提問的機會，讓學生在提問中得到思維的生長.

比如，在探究活動3完成后,教師先讓學生模仿著自主提問，然后師生進行共同梳理，得到了如下一些問題：

(1)用一張白紙能不能折出一個菱形.

(2)求圖形8中折痕EF的長.

(3)如圖5，如果把矩形的一個頂點折到對角線上，其他數據不變，那么折痕長為多少？

這幾個問題是在模仿的基礎上提出來的，是前面探究的自然延續，雖然在難度以及創新方面還不夠，但對學生問題意識的培養卻是很有價值的.在此基礎上教師可以引導學生從不同的角度來提出問題，比如可以從角、周長、面積等方面進行提問，也可以從更一般的翻折情況來考慮.由于學生個人的力量還比較小，此時開展小組合作是最恰當的，經過小組成員的共同努力,又得到許多問題，現選取其中的三個問題呈現如下：

①如圖8，求重疊部分的周長和面積.

②如圖8，求證:△AEF是等腰三角形.

圖10

③如圖10，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，將△BCE沿著BE進行翻折，點C落在點F處，若要使折疊后頂點C一直落在矩形內部，那么折痕BE長的取值范圍是多少？

通過提問使學生加深了對知識的理解，提升了學生的問題意識，長此以往必將促進學生數學素養的發展.

5 觀“折”點撥，感悟數學思想

數學思想的提升是一個漸進的過程，需要在具體的活動過程中予以滲透，而數學思想方法的滲透卻離不開教師的適時點撥與引導，因此教學中教師應善于把握機會，結合具體的問題引導學生感悟數學思想.本節課教學中有許多的機會滲透數學思想.比如從活動1到活動3,這個設計旨在讓學生體會特殊到一般的思想.但這里的活動是連續的，每個活動又是一個相對獨立的過程，因此學生的思維很容易淹沒在具體的問題解決中，不容易感受到特殊到一般的數學思想.所以三個探究活動完成后,教師應及時引導學生從整體的角度予以思考，讓學生感悟蘊含其中的數學思想.同時，活動3中問題解決的思路恰恰體現了從一般到特殊的思想方法.經過這個點撥與啟發的過程，學生對“特殊到一般”“一般到特殊”有了更深的理解.

再如，利用勾股定理列方程來解決活動2中的線段長問題，學生要感悟蘊含的方程思想同樣需要教師的點撥.也許學生一次兩次還不能深切地體會到方程思想的價值，但一定能積累起方程思想的經驗，萌發出對方程思想更深理解的種芽.等到九年級學習相似三角形、三角函數后，還可以利用這些知識來列方程解決問題，從而進一步加深對方程思想的感悟.