初中生數學交流表達能力的認識與培養策略

孫 虎 (同濟大學附屬實驗中學 201805)

在基礎教育階段，學生除了要在數學學習的過程中掌握基本的數學知識，發展數感、符號意識、空間和數據分析觀念、運算和推理能力、幾何直觀、模型思想以及應用和創新意識等關鍵能力，還要養成數學地思考和表達問題的能力．[1]交流表達能力不僅是數學能力的構成成分之一，而且對于思維能力、推理能力、問題解決能力等其他數學能力的培養具有輔助作用．[2]《義務教育數學課程標準(2011年版)》就提出，學生要能夠在數學活動中清晰地表達自己的想法，要能在問題解決的過程中學會與他人合作交流[3]，為后續在高中階段發展數學建模和數據分析等核心素養及“用數學的語言表達世界”做好準備．

在實際的教學過程中，隨著年級的增加，學生的交流與表達熱情卻逐漸降低，這一現象的產生除了受到教學內容難度增加的影響，還有教學策略方面的因素．在教學過程中，教師往往將學生的交流和表達放在課題引入和課堂小結階段，對學生表達內容的關注也局限于內容是否符合教學主題，表達方式是否流暢、清晰，常常忽視“教表達”對學生數學思維的提升作用．[4]這也導致了學生在向同伴闡述自己的觀點時常常會有“不知道怎么說”“想說的事情不能準確地表達”以及“不知道對方是否明白我的意思”等困難的產生．[5]可見，對學生數學交流表達能力的培養，還需要在意識層面獲得足夠的重視，在實踐層面進行深度的探索與優化．

1 交流與表達能力的認識

1.1 交流與表達能力的內涵

數學交流就是指用數學的語言來傳遞信息和情感的過程．[2]良好的數學交流過程就是將自己習得和理解的數學知識、技能、思想方法以及情感態度等通過口頭或者書面的形式傳遞給對方的過程．在交流的形式上，數學交流既可以是人與人的交流，也可以是人與數學書籍等文字資料的交流，其本質都是借助數學語言和符號來促進數學思維的發展和數學知識的拓寬．在交流的特點上，與生活中的交流相比，數學交流的語言是一種更抽象、更準確、更簡約以及更加形式化的專業語言，且以符號語言、文字語言和圖表語言為交流的載體．在交流的價值上，數學交流既是解決數學問題的前提,也是數學的最終歸宿.作為信息傳遞的方式，任何數學問題都需要通過交流來促進理解，任何已經解決的問題也都需要通過數學交流來進行傳播．

1.2 交流與表達能力的數學學科價值

交流和表達是數學學習過程中分享觀點和澄清理解的一種重要方式．數學學習的過程就是多元表征符號系統的建構過程，在數學教學的過程中，高質量的交流與表達也會促進數學表達的聽、說、讀、寫以及思維能力的發展．通過數學交流與表達，學生不僅能夠更深刻地理解數學，還能夠發展他們使用恰當的數學表達闡釋自己數學觀點的能力、解決復雜情境問題的能力、發展數學表達的專業語言體系，同時在交流的過程中養成批判思維與辯證思維．學生可以在交流的過程中反思、精煉、討論和修正數學觀點，與他人交流學習結果的過程，也是思維和推理邏輯更清晰的過程．

數學的學習實質上就是數學語言的學習．數學理論幾乎都是由概念和命題組成的邏輯體系來表現．有觀點認為，數學語言就是數學模型．[6]學生用數學語言表達客觀世界，實質上就是將所學數學知識構建數學模型應用于外部世界，用數學模型刻畫客觀世界中研究對象的性質、關系與規律．[4]特別是在大數據時代，借助模型對數據進行分析和處理變得越來越重要，在這個過程中必然會促成數學思維和能力的發展．在代數方面表示、表達和交流數與符號的信息，在幾何方面描述實物或圖形運動和變化的情況、描述物體的位置關系，在邏輯推理方面清晰、有條理地表達自己的思考過程等等都建立在良好交流與表達能力的基礎上，可見交流與表達能力的發展必然會影響數學能力的發展．

1.3 交流與表達能力的育人價值

通過數學課程的學習，在數學表達能力方面，要能用數和符號來表達和交流信息，能選擇適當的程序和方法解決問題，能清晰、有條理地表達和解釋自己的思考過程與問題解決的結果，能用文字、符號或圖表等清楚地表達解決問題的過程，并解釋結果的合理性；在數學交流能力方面，學生要能夠在與他人交流的過程中，運用數學語言合乎邏輯地進行討論與質疑，學會與人合作，能與他人交流思維的過程和結果，認識到數學是解決實際問題和進行交流的重要工具．[3]在這些發展目標中，尤其重視“清晰地表達自己的想法”和“學會與他人合作交流”能力的發展．

在以上交流與表達能力的育人價值及育人目標中，包含了較為完整的目標指向．結合我國的教學實際，對交流與表達素養的能力發展更加注重自我反思及與內心的交流，同時較為注重交流與表達的條理性，一般會要求學生能夠有條理、清晰地表達自己的想法，還要能夠較好地理解他人的思考方法和結論并能夠針對他人所提的問題進行反思．通過在交流與表達中傾聽、交流和思考，除了能夠促進學生對知識的深度理解，還能夠在學習經歷中獲得學習體驗．同時，通過在學習活動中獨立思考、展示交流和質疑批判，還有助于學生交流能力的發展，形成終身受益的數學素養．

2 交流與表達能力培養的案例研究

2.1 在交流引導中促進數學概念的理解

案例1在學習完二次函數圖象以后，有位學生找到筆者說出了心中的困惑．

生：老師您好，我們在尋找二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點的時候，是令ax2+bx+c=0，然后根據判別式的情況進行研究．我的困惑是：當二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸有一個公共點時，對應的一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個相等的實數根，為什么一個公共點可以對應著兩個實數根？我們是不是應該將前半句表述改為“當二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個重復的點時”呢？

師：看樣子你已經認識到了二次函數的圖象和一元二次方程的根之間存在的深度聯系．那你覺得二次函數的圖象和一元二次方程的根之間有什么區別呢？

生：二次函數的圖象是由無數個x和對應的y生成的點組成的，一元二次方程的根是確定的．

師：很好，這說明二次函數的值是由自變量決定的，從圖象上看就是y隨著x的取值不同而產生無數個點的過程，而且這是一個連續、動態的變化過程，而一元二次方程是靜態的．

生：我好像有點明白了，二次函數的圖象與x軸的交點是由自變量x的取值決定的，所以當函數圖象與x軸有一個交點時只有一個對應的自變量，所以看成一個點而不是兩個重復的點．

師：就是這個意思．

生：那為什么一元二次方程判別式等于零的時候就是兩個相等的實根，而不是一個實根呢？

師：如果把一元二次方程的兩個相等實根看成一個實根的話，你還能看出x-3=0和(x-3)2=0的差別嗎？

生：確實看不出它們的差別了，但是解一元二次方程的結果明明是同一個數……

師：其實我們在解高次方程的時候都是把方程化為幾個一次因式相乘的形式，上面的(x-3)2=0要看成兩個因式相乘的形式(x-3)(x-3)=0，這時候你會發現這個方程確實是有兩個相同的解的．

生：我明白了，這就類似于如果abc=0，則有a=0或b=0或c=0，他們是三個相同的根．

師：對的．

案例評析師生交流是教學過程中最常發生的場景，也是教師了解學生真實想法最寶貴的時機．在案例1中，當教師遇到學生詢問問題時，先引導學生梳理與之相關的數學信息，在學生表述完他的想法以后，教師再用數學的語言對學生的表達內容進行轉述，在轉述的過程中讓學生自己尋找到問題解決的突破口．這一過程既鍛煉了學生用嚴謹的語言表達數學的能力，同時，學生通過交流與表達完善了認知體系中的相關數學概念，還暗示學生可以在產生問題的時候通過“自我問答”的方式解決問題，培養解決數學問題的自信心．

2.2 在同伴討論中體會數學的簡潔美

案例2在“畫線段的和、差、倍”的教學過程中，有一個活動環節是用尺規作圖尋找線段的中點，幾位學生之間發生了如下對話：

生A：那我以B為圓心作弧的時候再把半徑取長一點嘛！

生B：那你畫出來的圖的兩個交點就都靠近點A了，還怎么能找到中點？

圖1

生A：我不是你理解的那個意思(說著拿出一幅圖,如 圖1)，這樣不是也可以找到線段中點嘛．

生B：你這么畫倒也沒問題……

生C：線段既是軸對稱也是中心對稱圖形，你這樣畫是沒問題的，但是總感覺沒那么簡潔．

生A：難怪課本上這樣敘述，雖然我的作法也可以找到線段中點，但是比較繁瑣，原來課本上是直接給出了最簡潔的一種作圖方法．

案例評析學生之間每天都會發生很多與案例2類似的對話，這些對話可能是來源于靈機一動的靈感，也可能是來源于困惑許久的問題．同伴之間的討論與交流，不會有師生之間存在的天然隔閡，討論的問題可以更加深入，彼此的觀點可以在交流過程中得到充分交換．在案例2中，幾位學生討論了用尺規作圖的方法尋找線段的中點，通過對作圖方法的深度思考并與同伴進行交流，發現了一些教材之外的方法，共同經歷了作圖方法的優化，體會到了數學學科中問題解決方法的“多樣美”和問題結果的“簡潔美”．

2.3 在教學引導中促進思維品質的提升

案例3在學習完“整式”一章后的一節習題課上，發生了如下一段對話：

師：對于“若m2-2m-1=0，則代數式2m4-4m3-4m的值是多少？”，我們可以怎樣思考？

生1：我覺得可以把代數式化為2m2(m2-2m)-4m，然后就可以將m2-2m=1代入，得到2m2-4m，從而得到代數式的值為2．

生2：我是將m2-2m-1=0化為m2=2m+1，然后代入代數式2m4-4m3-4m，得到2(2m+1)2-4m(2m+1)-4m，化簡得8m2+8m+2-8m2- 4m-4m，合并同類項之后直接得到代數式的值為2．

師：兩位同學都用了自己的方法獲得了正確的結果，大家看看他們選擇的方法有什么異同？

生3：生1將m2-2m當成一個整體，不需要進行很多運算就可以解決問題，生2通過將m2-2m-1=0化為m2=2m+1，將代數式的次數逐漸降低來獲得結果．

生4：生1的方法需要先找到“整體”，但是并不是在所有問題中都能夠找到這個“整體”，生2的方法雖然看上去運算較多，但是適用的情況更多，比較通用．

師：生3和生4都說出了兩位同學使用方法的內涵，生1的方法是我們在后續學習過程中常用的“換元”的方法，使問題簡化，能夠更清晰地看出問題的真面目，生2的方法是在解決高次問題中常會接觸到的“降次”的方法，兩種方法各有優勢，大家可以在后續的問題解決中繼續體會兩者的異同．

案例評析課堂教學過程中，師生群體交流是數學思維發展與能力培養的主要方式．案例3通過較為典型的“發問—反饋—追問—思辨—總結”的師生交流與表達方式，探尋多種問題解決方式的特點．在這一過程中，學生們通過展示問題解決的想法及方法獲得解決問題的成就感，通過思考同伴的表達發展思辨意識．教師在這一過程中通過引導學生思考和交流，在培養學生交流與表達能力的同時，也讓學生意識到數學問題可以從不同角度進行思考，問題解決策略也有適用情境和特點，引導學生選擇自己擅長的方式解決問題，從而促進學生思維品質的提升．

3 交流與表達能力的培養策略

3.1 加強數學語言的教學

數學語言是數學交流與表達的工具，在交流與表達過程中正確使用數學語言是理解交流內容和本質的前提．由于數學語言具有簡潔性的特點，當學生在閱讀數學概念、定理或證明過程時，首先需要了解出現的每個數學術語和數學符號的含義，數學語言發展水平低的學生可能存在信息接收不敏感，文字、符號和圖形等三種語言之間的轉換不流暢，利用數學語言進行信息交換受阻等問題．

在教學過程中，教師可以通過加強數學詞匯意義的理解教學，比如揭示數學專有詞匯、符號和圖形的內涵來促進數學語言的發展．也可以通過加強三種數學語言的相互轉換教學，比如可以通過將“兩個數的平方的差等于這兩個數的和與這兩個數的差的乘積”這一數學概念的文字表述用符號語言和圖形語言進行轉譯來促進數學知識的內化和數學語言的發展．對于一些特殊數學符號的教學，還可以通過介紹其引入的必要性來幫助學生自然地內化相關知識．

3.2 引導學生積極表達

數學能力的培養離不開數學思想的交流，觀點與觀點的碰撞交流往往能夠迸發出對數學內容更深層次的理解，而學生是否愿意交流則顯得很關鍵．課堂的數學交流一般是由教師發起并進行引導，教師在數學交流過程中的作用至關重要，在引導的過程中，能否激發學生的表達興趣與欲望對交流的質量有重要的影響．

在交流過程中，教師可以通過將最終的問題分拆為幾個難度逐級遞增的小問題來培養學生的成就感、激發學生的表達欲望．當學生遇到表達困難時，可以及時對所提問題進行解釋或者補充描述，鼓勵學生說出哪怕部分觀點和想法，也可以在提出問題以后給予學生足夠的交流和思考的時間．在交流表達的過程中，鼓勵學生及時地對同伴的交流內容進行補充與反饋，培養學生的自我效能和思辨意識．

3.3 豐富交流表達方式

數學交流與表達的形式比較多樣，既可以是生生之間的對話，也可以是師生之間的討論，甚至可以是與數學書面形式語言的交流．信息傳遞的方向可以是闡述自我觀點的輸出，也可以是對對方觀點聆聽的輸入．表達的方式既可以是口頭表達,也可以是書面表達，以上種種豐富的表達形式為教師的教學提供了不同的選擇．

教師可以讓學生用自己喜歡的方式進行數學交流．比如將思維過程用語言、算式、圖表等記錄下來進行展示，或者在教學過程中通過小組合作的形式，選派小組代表進行數學觀點的表述和交流，然后同伴進行補充，還可以通過數學寫作的方式與別人交流自己在學習中的收獲，或者通過為學生提供表達的邏輯框架，讓學生的表達形式更加規范，并在此過程中提高表達的能力．

數學交流的目的是為了更好地理解數學，而理解數學的目的又是為了更好地交流，數學理解和數學交流之間是互為因果的關系．教師在教學過程中除了可以通過以上策略提高學生的表達能力，還可以通過為學生提供規范的表達示范——教師本身就是數學表達很好的榜樣，引導學生關注數學的多重表征以增加表達方式的選擇、加強數學閱讀指導以豐富和完善數學語言系統、關注學生語言表達過程中的缺陷以及時完善語言表達等方式，對初中生的交流與表達能力進行培養．