大概念視角下“三角函數的圖象與性質”課堂教學設計*

張海強 (江蘇省宜興中學 214200)

2020年12月17日，筆者應邀參加江陰市教師發展中心和江陰市高級中學聯合舉辦的對外公開教學，執教“三角函數的圖象與性質”(第1課時)，采用人教版教材，學生為江陰市高級中學高一平行班，學生基礎好，反應敏捷．

1 大概念和大概念提取

大概念(Big idea)是一種高度形式化、兼具認識論與方法論意義、普適性極強的概念；它已經不再僅僅是一個簡單詞匯，它背后潛藏著一個意義的世界，它超出了一個普通概念的應有內涵與外延,作為一種深刻思想、學說的載體，已成為“思想之網”的聯接樞紐．“大概念”好比“車轄”．其表述方式可以是相關的概念、主題、有爭議的結論或觀點.[1]大概念的提取是“大概念教學”的前提，浙江大學教育學院劉徽[2]總結了大概念提取的八條路徑，即課程標準、學科核心素養、專家思維、概念派生、知能目標、生活價值、學習難點和評價標準，其中，前四種是自上而下提取的，這種方式提取的大概念往往是“現成”的，難點在于教師能否準確理解大概念；后四種是自下而上提取的，難點在于是否能沿正確的方向上升到大概念的層面.

課程標準是國家課程的基本綱領性文件，因此，原則上所有大概念的提取都要參照課程標準，甚至從課程標準可以直接提煉大概念.[2]高中數學新課標指出：函數是現代數學最基本的概念，是描述客觀世界中變量關系和規律的最為基本的數學語言和工具．[3]此即為一個大概念，函數研究的一般方法可以概括為：背景→概念(具體函數)→圖象→性質→應用．

知能目標，即知識和技能目標也可以向上提煉為大概念.[2]函數作圖教學從初三開始，學生積累了大量的作圖經驗，但這些作圖經驗是零散的、碎片化的，經過提煉，可以將它們上升為“函數作圖關注基本形狀(描大量的點)和具體位置(抓關鍵的點)”這一大概念．

綜上，本教學設計涉及兩個大概念：(1)函數是現代數學最基本的概念，是描述客觀世界中變量關系和規律的最為基本的數學語言和工具；(2)函數作圖關注圖象的基本形狀(描大量的點)和具體位置(抓關鍵的點)．

2 大概念視角下的課堂教學設計

函數作圖教學從初三開始，分別學習了一次函數、二次函數和反比例函數的圖象，進入高中，又學習了冪函數、指數函數和對數函數的圖象，學生對函數作圖積累了大量的經驗，三角函數的作圖則是對學生函數作圖經驗的總結與提煉，以形成函數作圖的方法論．

活動1 請回顧研究函數的一般方法．

函數研究的一般方法為由背景抽象出數學概念(具體函數)，再畫出函數圖象，進而由圖象得出函數性質，最后將具體函數作為模型加以應用．其結構圖如圖1所示．

圖1

前面我們感受了周期現象，并抽象出了刻畫周期現象的重要數學模型——三角函數，今天一起來學習三角函數的圖象與性質——正弦函數、余弦函數的圖象．(引出課題)

設計理由在單元層面進行“大概念”教學是由其性質所決定的．一個抽象概念(觀念)要通過一定數量的具體案例才能得以支撐，如“函數是現代數學最基本的概念，是描述客觀世界中變量關系和規律的最為基本的數學語言和工具”這一大概念，其研究方法需要多次強化，才能為學生所掌握，并形成獨特的思維方式，最終積淀為數學素養．

單元具有拓展性結構，既包括在集中一段時間內教學的單元，也包括不集中時間教學，分布在各個不同的學時(甚至學段)中的，但指向同一個(組)大概念的單元．如大概念“函數作圖關注基本形狀和具體位置”橫跨初、高中，即使在高中，內容涉及必修課程主題二函數、選擇性必修主題一函數中的“一元函數導數及其應用”和選修課程A,B類課程中的微積分．

本案例為學生描繪了一幅學習地圖，讓學生既知道自己所處的位置，更知道要去向何方．

活動2 回顧從初三以來函數圖象繪制的過程，總結函數作圖的經驗，并提煉為一般方法．

經過學生討論，最終得出函數作圖的一般方法大致可分為兩個環節：探求基本形狀(描大量的點)和確定具體位置(抓關鍵的點)．

設計理由將學生零散的、碎片化的作圖經驗加以提煉，形成大概念：函數作圖關注圖象的基本形狀(描大量的點)和具體位置(抓關鍵的點)，為后續的三角函數作圖作必要的準備．

活動3 由三角函數的定義和解析式y= sinx，你能描述正弦函數圖象有什么特征嗎？

圖2

圍繞定義域、值域、周期性、單調性等部分性質展開,并指出這些性質對研究圖象有什么幫助.由三角函數的定義可知，正弦函數具有周期性(周而復始)，它可以簡化三角函數的作圖過程，只需考慮一個周期的函數圖象；值域從縱向限制了圖象的范圍；單調性則粗略地描述了圖象的大致走向，幫助學生直觀想象三角函數圖象的整體圖形特征．從解析式的角度，由誘導公式sin(-x)=-sinx知，函數y=sinx為奇函數．

設計理由研究函數的思路一般有兩種：一是根據定義畫函數圖象，再結合圖象研究性質；二是根據定義推導性質，再由性質畫圖象．在具體實踐中，往往需要將兩者有機結合起來．此處借助單位圓，從定義、性質等角度對正弦函數的圖象作大致的描述，有利于學生對正弦函數圖象的整體把握，體現數形結合的思想，發展了學生邏輯推理和直觀想象素養．這一設計突破了“先畫圖象，再由圖象得出性質”的習慣思維，成為本課堂教學設計的一個創新點．

至此，建議讓學生描繪正弦函數的大致圖象，由于學生對圖象的凹凸性把握不準，所以可為引入描點法作應有的鋪墊．

活動4 如何作出正弦函數y=sinx圖象上的點T(x0,sinx0)？請你嘗試用描點法畫出y=sinx，x∈[0,2π]的圖象．

圖3

如圖3，將點A繞著點O′旋轉x0弧度至點B，根據正弦函數的定義，點B的縱坐標y0=sinx0，由此，以x0為橫坐標，y0為縱坐標畫點，即得到函數圖象上的點T(x0,sinx0)．

圖4

借助信息技術描出任意多的點，并連續成線．

設計理由圖象上任意一點的作法，蘊含了函數圖象整體的構成原理．以單位圓為腳手架，從定義出發描出正弦函數圖象上的點T(x0, sinx0)，這一方法比直接描點法更精確，更為重要的是它揭示了函數圖象與三角函數定義之間的內在邏輯聯系，體現了知識的整體性和聯系性．

掌握了任意一點的作法原理后，通過選擇具體的、足夠多的點進行描點，是從感性認識的積累飛躍到理性認識不可或缺的步驟．這12個等分點的選取不僅操作簡便，而且包含了函數中零點和最值點以及一些常用的特殊角，有利于對圖象特征的把握．

利用信息技術的連續動畫功能，可以得到更多的圖象上的點，達到點動成線的直觀效果，使學生進一步理解任意一點與整體圖象之間的關系，理解圖象形成的內在道理．

活動5 畫出y=sinx，x∈[0,2π]的圖象，并作出正弦函數y=sinx，x∈R的圖象．

從區間[0,2π]到實數集R的延伸．從數的角度：sin(x+2kπ)=sinx(k∈Z,k≠0)可知，函數y=sinx，x∈[2kπ,2(k+1)π],k∈R且k≠0的圖象與y=sinx，x∈[0,2π]的圖象形狀完全一致．因此將函數y=sinx，x∈[0,2π]的圖象不斷向左、向右平移2π個單位長度，就可以得到正弦函數y=sinx，x∈R的圖象(圖5)．

圖5

設計理由從區間[0,2π]的局部圖象到實數集R上的整體圖象，是從有限到無限的推廣過程，是數形結合思想的集中體現，是訓練邏輯推理和直觀想象的絕佳素材．

圖6

活動6 請你找出確定正弦函數圖象的一些關鍵點．(“五點法”作圖)

設計理由當函數圖象的基本形狀確定后，如何較快作出其簡圖呢？這就涉及函數作圖關注的第二個環節:具體位置(抓關鍵的點)．至此，大概念：函數作圖關注圖象的基本形狀(描大量的點)和具體位置(抓關鍵的點)得到進一步強化．

活動7 請你作出余弦函數的圖象,你有哪些不同的思考角度？

設計理由正弦函數與余弦函數是一對密切關聯的函數，借助已知的正弦函數的圖象來畫余弦函數的圖象，可以加強對兩者聯系性的認識，也體現了化歸思想．

活動8 請你作出下列函數的簡圖：

(1)y=1+sinx,x∈[0,2π]；

(2)y=-cosx,x∈[0,2π]．

設計理由通過畫兩個簡單函數的簡圖，加深對正弦函數與余弦函數圖形特征的認識，熟練掌握“五點法”作圖的操作步驟．

在畫出兩個函數的簡圖后，引導學生從圖象間的關系感知函數解析式的變換和圖象變換之間的內在聯系，為后續學習三角函數的圖象變換作準備．同時提升學生學會從不同的角度看問題的意識和能力．

活動9 請你談談本節課的收獲、體會和感受．

宏觀角度：知曉了研究函數的一般方法；明晰了函數作圖關注的兩個環節.中觀角度：數形結合思想，著重突出數與形之間的轉換與印證.微觀角度：會畫出正弦函數與余弦函數的圖象．

其結構圖如圖7所示．

圖7

設計理由讓學生從反思與分享中學會學習，以改進學習方式，充分展示學生的個性．

圖形思維能夠加深理解程度，讓思考更清晰．結構圖依據圖形思維繪制，堪稱思維導圖的升級版，該圖以兩個大概念為底色，包含了三個數學學科核心素養:抽象、推理和模型.函數的圖象與性質通過數形結合來貫通，經緯交錯，一目了然．

3 結語

大概念能反映學科的主要觀點和思維方式，是學科結構的骨架和主干部分，有助于教師準確定位教學價值，落實數學學科核心素養；大概念是對眾多知識概念的篩選與融合，有利于教學內容的結構化，提倡“少而精”；大概念能提供對于理解知識、研究和解決問題的思想方法或關鍵工具，可運用于新的情境，有助于對學習知識的遷移應用．