觀察·思考·表達
——“利用三角形全等測距離”的教學設計與反思

耿恒考 (江蘇省蘇州中學園區校 215021)

1 基本情況

1.1 授課對象

學生來自河南省鄭州市高新區八一中學普通班，基礎較好，有一定的數學抽象能力、數學探究能力和數學建模能力．

1.2 教材分析

所授內容為北師大版初中數學七年級下冊第四章第5節“利用三角形全等測距離”．整章內容為三角形，教材上設置的內容分別為認識三角形、圖形全等、探索三角形全等的條件、用尺規作三角形、利用三角形全等測距離等五節內容，其中認識三角形涉及三角形構成元素的關系(三邊關系、內角和)、三角形的重要線段等；圖形的全等涉及全等圖形、全等三角形的概念及全等三角形的性質；探索三角形全等的條件涉及SSS,ASA,AAS,SAS等四種情況；用尺規作三角形涉及兩邊夾角、兩角夾邊、三邊等三種情況；利用三角形全等測距離是對前面章節內容的綜合應用．教材上的內容是按常規的概念—性質—判定—應用的順序設置的，從應用對象來看，用尺規作三角形屬于數學內部應用范疇，通過作圖體驗、疊合比較理解三角形全等的條件，而利用三角形全等測距離是指向現實世界的數學外部應用范疇，是培養學生應用意識和數學建模能力的重要途徑，教學中應注重引導學生經歷實際問題數學化的過程，自主思考，合作探究，建構合適的數學模型解決問題，體會數學的應用價值．

教學目標 (1)經歷“觀察—抽象—建?！蠼狻炞C”的數學建模過程，能建構三角形全等模型解決實際問題，體會數學與實際生活的聯系；(2)能在解決問題的過程中進行有條理的思考和表達．

教學重點 實際問題轉化為數學問題(三角形全等)求解．

教學難點 測量方案的設計與說明．

2 教學過程

2.1 回顧舊知，明確方向

回顧：前面我們學習了全等三角形的相關知識，請你給大家介紹一下．

設計意圖通過問題驅動學生回顧舊知，再現全等三角形的有關知識，包括：全等三角形的概念、性質、判定等，從數學的應用視角引出本課研究主題——利用三角形全等測距離．

2.2 創設情境，激發興趣

圖1

情境一位經歷過戰爭的老人講述了這樣一個故事[1]：在一次戰役中，我軍陣地與敵軍碉堡隔河相望．為了炸掉這個碉堡，需要知道碉堡與我軍陣地的距離(圖1)．在不能過河又沒有任何測量工具的情況下，一個戰士想出來這樣一個辦法：他面向碉堡站好，然后調整帽子，使視線通過帽檐正好落在碉堡的底部．然后，他轉過一個角度，保持剛才的姿態，這時視線落在了自己所在岸上的某一點上．接著，他用步測的辦法量出自己與那個點之間的距離，這個距離就是他與碉堡的距離(圖2)．按這個戰士的方法，能夠測量出我軍與碉堡的距離嗎？

圖2

設計意圖將實際問題轉化為數學問題，建構合適的數學模型求解是本節課教學的重點．這里以一個源于現實的故事為情境，明確待解決的問題，驅動學生自主經歷實際問題求解的整個過程．教學分三個階段實施：一是弄清實際問題(測量碉堡與陣地距離，無法直接測量)，二是建構數學模型(全等)嘗試求解，三是驗證計算求解的合理性．在這個環節中主要是引導學生正確理解問題情境，為學生正確建構模型奠定基礎，比如“視線通過帽檐正好落在碉堡的底部”“保持剛才的姿態”是怎樣理解的？從數學的眼光來看，對應的是線段相等還是夾角相等？這些問題是學生正確理解題意的關鍵．教學中應先給學生充分的閱讀和思考時間，幫助學生解決閱讀理解上的困難．需要說明的是，戰士解決實際問題的方法是一種估測，不是準確求值，這里只需正確說明測量方法的原理即可．

2.3 建構模型，解決問題

你能用學過的數學知識，來解釋戰士測量辦法中蘊含的數學道理嗎？

教學預設 已知：如圖3，在△ABC和△DEF中，AC⊥BC于點C，DE⊥EF于點F，AC=DE，∠A=∠D．求證：BC=FE．

圖3

設計意圖大部分學生對戰士的辦法表示認同，那么如何用學過的數學知識來解釋，特別是說清楚其中的道理，有一定挑戰性．此時應引導學生用數學語言表達所研究的問題，將實際問題數學化、符號化，轉入數學內部來研究，使其經歷自主探究、合作交流并形成數學模型的活動過程，嘗試用數學眼光觀察、抽象，用數學語言表達，建構數學模型，闡釋測量辦法的合理性，以培養學生的數學建模能力，體會現實生活中數學的應用價值．

2.4 活動探究，類比遷移

活動1 測量池塘兩端的距離．

如圖4，A,B兩點位于我們校園內一池塘的兩端，小明同學想用刻度尺和繩子測量A,B兩點間的距離，但繩子不夠長，你能幫他設計測量A,B兩點間的距離的方案嗎?請說明方案的設計原理．

圖4 圖5

教學預設 學生會給出如圖5所示的測量方案．

設計意圖呈現一個與學生生活聯系緊密的現實情境，提出需要解決的問題，鼓勵學生嘗試進行解決，在充分自主探究、合作互助的基礎上，由學習小組的學生代表展示方案，教師適時點評(方案多樣，利用三角形全等設計方案，合理可實施即可)，再介紹教科書上“叔叔”的測量方案，鼓勵學生觀察 圖4，思考并說明這種測量方案的道理，并嘗試用數學語言表達理由(推理)．

活動2 測量河道兩岸的距離．

如圖6，要測量河道兩岸兩點A,B間的距離，可用什么方法？請設計方案并說明這樣做的合理性．

設計意圖在活動1中，學生解決了測量兩點都可以到達的實際問題，這里呈現的實際問題是測量有一點不可到達的兩點之間的距離，包含兩種不同的位置情況，問題求解的難度有所提升．通過一題多變的設計，幫助學生抓住全等模型的本質，培養學生思維的靈活性和深刻性．

活動3 測量外墻兩點的距離．

圖7

如圖7，一座大樓相鄰兩面墻，現需要測量外墻根部兩點A,B兩點之間的距離(人無法進入墻內測量)，請你設計測量方案，并說明理由．

設計意圖從測量對象的兩點都可以到達，到只有一個點可以到達再到兩點都不可以到達，實際問題情境的設計遵循了由低到高、由簡單到復雜、層層遞進的原則，驅使學生的思維螺旋上升，體會實際問題的數學化過程，使學生再次經歷數學建?；顒舆^程，提高分析和解決問題的能力．

2.5 當堂反饋，鞏固提升

圖8

如圖8，一條輸電線路跨越一個池塘，池塘兩側A,B處各立有一根電線桿，但利用現有皮尺無法直接量出A,B間的距離．請你設計一個方案，測出A,B間的距離，并說明理由．

設計意圖提供實際問題讓學生當堂解決，是反饋課堂學習效果的有效路徑．學生解決問題的方案具有多樣性，對于學生的方案，采用展示互評的方式進行，教師實時點撥、追問，以增強學習效益．

2.6 課堂小結，布置作業(略)

3 回顧與反思

3.1 教學設計的立意

數學源于生活，又服務于生活．將源于現實生活的實際問題數學化處理后，轉化為數學內部的問題，并用數學知識予以解決，這個活動過程就是數學建模．數學建模是連接現實世界與數學的橋梁，面對實際問題，通過觀察從現實世界向數學內部看，思考用什么樣的數學知識解決問題，是數學建模與應用題教學的本質區別．本節課教學設計立意于數學建模活動過程，使學生在建?；顒印⑻骄炕顒又袑W會觀察、思考和表達，發展學生邏輯推理能力和數學建模能力．

在教學環節設計方面，本節課先讓學生回顧舊知，系統梳理三角形全等的有關知識，為新課學習做好充分的準備，從數學學習的一般路徑(概念→性質→條件→應用)自然引入課題．接著從創設情境—建構模型—探究活動—當堂反饋—小結作業等環節逐步展開．在問題情境設計方面，整節課設計了1個情境和3個探究活動，以提供豐富的實際問題情境，激發學生學習的興趣．探究活動中的3個問題情境遵循了橫向關聯、縱向深入的設計理念，呈現不同的、具有挑戰性的問題情境，促進學生思維拾階而上，在三角形全等模型的建構中發展數學建模能力．在探究活動目的方面，不能滿足于學生正確設計出測量方案，利用三角形全等模型解決問題，還應關注學生的方案說明，即用數學思維思考和用數學語言表達，以檢驗全等模型建構的合理性，不斷優化數學模型．

3.2 教學反思

(1)在觀察中轉化

圖9

學習三角形全等的知識有何用？本節課從解決實際問題的角度促進學生感受數學知識的應用價值．“炸碉堡”問題呈現后，在介紹戰士的辦法之前，應鼓勵學生獨立觀察、思考，嘗試尋找測量的辦法．事實上，隨著數學知識學習的深入，解決問題的方法會更多，就現階段而言，學生自主想到將實際問題轉化為數學問題解決，是會用數學眼光觀察實際問題的基礎，值得肯定．用數學的眼光觀察實際問題，將實際問題轉化為數學問題是解決問題的關鍵．比如通過觀察將“炸碉堡”問題先轉化為點到點的距離問題，再根據戰士的身高(邊)及與地平面的位置(垂直)轉化為直角三角形問題，帽檐調整視線(定角)，最終將實際問題轉化為數學問題：在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，AC可測量，∠BAC確定，求BC(不可測)的長(圖3)．又如“測量外墻兩點的距離”問題，轉化為數學問題：如圖9，已知OA,OB的長可測量，求AB的長(不可直接測量)．

(2)在思考中明理

人的思維實現著從現象到本質、從感性到理性的轉化，使之達到對客觀規律、事物的理性認識，從而構成人類認識的高級階段[2]．數學是思維的體操．一節好的數學課要在培養學生數學思維上下功夫．本節課的教學設計尤為注重學生的說理，教學中通過自主思考、設計方案、交流展示等方式，調動學生積極參與問題探究活動，經歷觀察、抽象、轉化、歸納、設計、比較、優化等思維活動過程，闡釋方案，說明原理，培養學生的理性思維．比如“炸碉堡”問題中戰士想出的方法能夠測量出我軍與碉堡的距離嗎？引導學生思考現實經驗背后蘊含的數學道理，即用三角形全等的知識說明測量方法的合理性，在推理中明晰原理．

(3)在表達中建構

數學學習的價值主要體現于對實際問題的解決．從問題解決的視角看，學生學習有用的數學是對發展數學核心素養的一種狹義上的詮釋．從人的發展的關鍵能力來看，將實際問題轉化為數學問題，用數學符號系統進行表征，建構合適的數學模型并求解，檢驗后最終解決實際問題，將是人終生發展的必備技能．因此，教學中應注重數學語言表達的訓練，引導學生經歷數學建?；顒舆^程，在引模、建模、解模、驗模中培養數學建模能力．比如“平行河道兩岸的距離”測量問題，是一種源于真實生活的現實情境，將其數學化表達轉入數學內部研究就是要解決平面內兩點間的距離(可達其中一點，兩點間距離無法直接測量)，并建構三角形全等模型嘗試解決(圖10)．

圖10

[1] 馬復．義務教育教科書(數學七年級下冊·教師教學用書)[M]．北京：北京師范大學出版社，2013：188-189．

[2] 羅敏娜．中學數學思維教學研究[M]．北京：北京師范大學出版社，2012：3．