矩形采場支護作用下圍巖周邊應(yīng)力復(fù)變函數(shù)解析解

李元輝 劉明飛 李坤蒙 熊志朋

（深部金屬礦山安全開采教育部重點實驗室，遼寧 沈陽 110819）

地下礦體的開采必然打破圍巖原有的應(yīng)力平衡狀態(tài)，導(dǎo)致其應(yīng)力場重新分布［1］。尤其對于深部采場，高應(yīng)力作用下圍巖穩(wěn)定性較差，極易誘發(fā)頂板冒落、垮塌等地壓災(zāi)害。為了控制采場圍巖的穩(wěn)定性，通常借助留設(shè)原巖礦柱、人工支柱或錨網(wǎng)、錨噴等方式改善圍巖的應(yīng)力狀態(tài)，確保回采過程中采場的安全作業(yè)條件。采場回采過程中，準確掌握支護作用下圍巖應(yīng)力狀態(tài)是采場地壓控制和支護參數(shù)優(yōu)化的理論基礎(chǔ)，具有十分重要的工程指導(dǎo)意義。

針對圓形孔洞周邊的應(yīng)力和變形問題，巖石力學(xué)及彈性力學(xué)已經(jīng)給出了較為完善的解析解，而對于矩形開挖周邊的應(yīng)力變形問題仍處于研究階段［2］。上個世紀前蘇聯(lián)學(xué)者Muskhelishvili［3］首次將復(fù)變函數(shù)應(yīng)用于彈性力學(xué)問題之中，為解決非圓形巷道或硐室邊界方面的問題提供了新思路。鑒于復(fù)變函數(shù)具有保角變換功能，能夠?qū)⑽锢砥矫嫔蠌?fù)雜形狀的邊界問題轉(zhuǎn)換成圓形形狀的簡單邊界求解，因此彈性力學(xué)中的復(fù)變函數(shù)法對于解決非圓形孔口問題具有其獨特的優(yōu)越性［4］。朱大勇等［5］提出了對不同形狀的孔口通過保角變換得到映射函數(shù)的方法；趙凱等［6］介紹了一種通過不斷迭代循環(huán)的手段求解矩形硐室映射函數(shù)的新方法，并通過算例驗證了這種方法具有很高的實用性；Sharma等［7］分析了圓形、橢圓形、三角形和四邊形硐室圍巖的應(yīng)力分布，提出加載角度和拐角半徑是影響應(yīng)力集中的關(guān)鍵因素；陳斌［8］系統(tǒng)地給出并驗證了復(fù)變函數(shù)求解雙向均布載荷孔口問題的一般步驟；姜學(xué)淼［9］揭示了不同寬高比的矩形巷道圍巖邊界不同角度的應(yīng)力分布規(guī)律；施高萍等［10］計算得出了原巖垂直和水平應(yīng)力分量單獨作用的頂板和側(cè)幫中點的應(yīng)力集中系數(shù)；Zhao等［11］采用復(fù)變函數(shù)的保角變換方法研究了方形隧道圍巖的應(yīng)力分布規(guī)律，研究表明在45°角位置附近即方形隧道的拐角處應(yīng)力集中較大，側(cè)壓系數(shù)在0.8～1.2范圍內(nèi)隧道邊界不會出現(xiàn)拉應(yīng)力；呂情緒等［12］根據(jù)復(fù)變函數(shù)的理論，通過計算求出采場在保角變換取三次項的情況下的極限長高比；Gao等［13］通過復(fù)變函數(shù)計算，給出了矩形巷道孔口周邊不同角度處的應(yīng)力和位移的解析解。Wang等［14］討論了各向異性全滑移接觸隧道的解析解，通過對邊界條件的檢驗和數(shù)值模擬的比較，驗證了解析解具有較高的精確性。

縱觀目前的研究，基于彈性力學(xué)理論，國內(nèi)外學(xué)者研究了不同形狀斷面巷道或硐室圍巖周邊的應(yīng)力分布復(fù)變函數(shù)解，揭示了未支護條件下采場圍巖周邊的應(yīng)力分布規(guī)律。然而，在實際采場回采過程中，必須采取一定的支護措施來控制圍巖的穩(wěn)定性，目前運用復(fù)變函數(shù)理論求解支護作用下矩形采場圍巖周邊應(yīng)力狀態(tài)問題鮮有研究，無法為現(xiàn)場工程支護設(shè)計提供理論依據(jù)。鑒于此，本項目旨在建立矩形采場圍巖應(yīng)力分布的復(fù)變函數(shù)計算模型，研究在不同支護阻力作用下采場圍巖周邊應(yīng)力的理論計算公式。同時，借助數(shù)值模擬方法對理論解析解進行驗證，最終揭示支護作用下采動圍巖周邊的應(yīng)力狀態(tài)，為采場穩(wěn)定性控制和支護參數(shù)確定提供理論基礎(chǔ)。

1 矩形采場支護作用下圍巖應(yīng)力解析力學(xué)模型

1.1 力學(xué)模型

為了對支護作用下的矩形采場圍巖應(yīng)力分布狀態(tài)進行計算，首先需建立求解的理論力學(xué)模型，如圖1所示。

具體假設(shè)條件：

（1）采場形狀位于模型中央，整體為規(guī)則的矩形，其斷面寬為2a，高為2b，且斷面尺寸遠遠小于模型整體尺寸，可將應(yīng)力場的求解簡化成無限域的孔口問題［15］。

（2）只考慮自重產(chǎn)生的初始應(yīng)力場，且假設(shè)采場埋深較大，可忽略采場附近由于重力引起的梯度效應(yīng)，故認為模型受到豎直方向均勻的遠場應(yīng)力σv和水平方向均勻的遠場應(yīng)力σh=λσv，式中λ為側(cè)壓力系數(shù)。

（3）圍巖為均質(zhì)、各向同性的連續(xù)介質(zhì)，只發(fā)生彈性變形。

（4）采場內(nèi)壁受到均勻的垂直和水平支護阻力，且大小均為f。

1.2 解析原理

如圖2所示，矩形采場支護作用下圍巖周邊應(yīng)力計算可以簡化成彈性力學(xué)中的平面孔口問題，采場同時受到豎直方向均勻的遠場應(yīng)力σv和水平方向均勻的遠場應(yīng)力σh=λσv。此外，孔口內(nèi)壁由大小相等的垂直和水平均布支護阻力f控制。計算支護作用下矩形采場圍巖周邊應(yīng)力大小可拆分成兩部分討論，對于僅存在遠場應(yīng)力且孔口內(nèi)壁不支護條件下的圍巖應(yīng)力解析，研究者已進行了比較深入研究［5-14］。本項目基于已有的研究進行拓展和延伸，計算孔口內(nèi)壁支護作用下的圍巖周邊應(yīng)力，利用復(fù)變函數(shù)的保角變換功能，將物理平面上復(fù)雜矩形形狀轉(zhuǎn)化為簡單的單位圓形狀進行分析，推導(dǎo)計算出相應(yīng)復(fù)勢函數(shù)和復(fù)變解析量，同時，分別求出兩種不同情況圍巖應(yīng)力的解析特解，再將其合成疊加，進而求得圍巖應(yīng)力分量的解析解。最后，借助數(shù)值模擬的手段，求出矩形采場在支護條件下圍巖周邊應(yīng)力數(shù)值模擬解，進一步驗證解析法的正確性。

2 矩形采場圍巖周邊應(yīng)力理論解

2.1 復(fù)變函數(shù)保角變換

為了利用復(fù)變函數(shù)理論求解矩形采場圍巖周邊的應(yīng)力，必須采用保角變換的手段將物理平面上的矩形區(qū)域映射到像平面上的圓形區(qū)域。對于映射函數(shù)的選取，包括諸多解法［16-19］，如 Schwarz-Christoffel公式的混合罰函數(shù)法、三角形插值法、Мeлентьев法、多角形逼近法、Verruijt共形映射函數(shù)、Laurent級數(shù)展開的復(fù)合形法等，本項目選取最后一種進行求解，該方法便于理解且計算簡便，同時具有較高的適用性和精確度。

Laurent級數(shù)展開的復(fù)合形法是將矩形彈性體在物理平面（問題的實際區(qū)域，也叫z平面）上所占區(qū)域轉(zhuǎn)化成像平面上的中心單位圓區(qū)域（也叫ζ平面），其中物理平面上矩形采場右邊界中點（a，0）、頂板中點（0，b）和右頂角（a，b）分別與像平面ζ上的點（1，0）、（1，-π/2）以及（1，θ）相對應(yīng)，具體映射關(guān)系如圖3所示。

映射函數(shù)為

研究表明［20-21］，映射函數(shù)通常取3項既可以保證一定的精度要求又可以使推導(dǎo)過程相對簡潔，因此取

式中，R、c1、c3為實常數(shù)，且R>0，│c1│+│c3│≤ 1。

在像平面ζ上，令ζ=ρeiφ=ρ（cosφ+isinφ），ρ=1，式（1）與式（2）聯(lián)立，可得：

選取物理平面z上矩形采場3個特殊點（a，0）、（0，b）和（a，b）分別與像平面ζ上相對應(yīng)的點（1，0）、（1，-π/2）和（1，φ）分別聯(lián)立，代入到式（3）中，由前2組對應(yīng)點易解得：c1=（a?b）/（2R），c3=（a+b）/（2R）?1，聯(lián)立第3組對應(yīng)點，可得方程：

解出φ值后，R值即可求出。

2.2 復(fù)勢函數(shù)解析

對式（2）進行如下變換，得出以下相應(yīng)的解析量：

式中，σ=ζ=eiφ為復(fù)變量ζ在巷道邊界處的值；為矩形孔口內(nèi)邊界上在x和y方向上的面力分量，由支護體提供；為矩形孔口內(nèi)邊界上所有面力在x和y方向上的主矢量；B、B′、C′可由遠場應(yīng)力σv和σh表示出來［17］：

分析式（8），f0由2部分組成，前一部分為無遠場應(yīng)力，只在孔壁上作用支護阻力的情況，后一部分為只在遠場應(yīng)力作用下，而不施加支護阻力的情況。為了計算簡便，可分別求解2種情況圍巖應(yīng)力的復(fù)變解析量，如圖4所示：

需要規(guī)定2個復(fù)勢函數(shù)：

在中心單位圓之內(nèi)是ζ的解析函數(shù)，并且在圓內(nèi)和圓周上是連續(xù)的，可由式（13）并結(jié)合柯西積分公式［4］，將等號兩邊ζ的同次項的系數(shù)分離后對比求出。

（1）不考慮支護阻力的圍巖應(yīng)力解析量計算（存在遠場應(yīng)力）。無支護作用下的矩形采場受到遠場應(yīng)力σv和σh，孔邊界所受面力為0，則，推導(dǎo)出應(yīng)力解析量為

（2）只考慮支護阻力的圍巖應(yīng)力解析量計算（不存在遠場應(yīng)力）。只有支護作用下的矩形采場只受到孔邊界x和y方向上的支護阻力f，而不存在遠場應(yīng)力σv和σh，則，推導(dǎo)出應(yīng)力解析量為

2.3 矩形采場周邊圍巖應(yīng)力分量

將2種不同情況下的應(yīng)力解析分量式（14）、式（15）進行疊加，即可求出支護作用下矩形采場圍巖周邊應(yīng)力解析量：φ(ζ)=φ1(ζ)+φ2(ζ)、ψ(ζ)=ψ1(ζ)+ψ2(ζ)，代入式（16）中即可求出同時考慮采場支護和遠場應(yīng)力的矩形采場圍巖周邊應(yīng)力分量：

式中，Re指計算時取復(fù)數(shù)的實部。

3 數(shù)值模擬

為了驗證復(fù)變函數(shù)理論求解水平矩形采場圍巖周邊應(yīng)力的精確度，基于有限差分法（FLAC3D）開展數(shù)值模擬研究，分析采場周邊不同位置的應(yīng)力以及不同支護力下的頂板和側(cè)幫應(yīng)力演化規(guī)律。

3.1 不同位置的應(yīng)力量

矩形采場位于模型正中央，采場寬×高為20 m×4 m，即寬高比為5∶1，模型上下施加10 MPa的垂向應(yīng)力，左右施加12 MPa的水平應(yīng)力，開挖內(nèi)壁分別施加3～8 MPa的支護力。由于采場四周圍巖應(yīng)力變化具有對稱性，因此選取矩形右上角1/4個區(qū)域進行分析，即孔口右?guī)椭悬c到頂板中點90°范圍。采場周圍不同位置處的垂直應(yīng)力和水平應(yīng)力分量解析解和模擬解見表1、表2和圖5、圖6所示。

如圖5與圖6曲線所示，從采場幫壁到頂板，隨著角度的增加，圍巖垂直應(yīng)力和水平應(yīng)力均呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢，垂直應(yīng)力峰值出現(xiàn)在約30°位置處，水平應(yīng)力峰值出現(xiàn)在約35°位置處，即在拐角附近應(yīng)力值均出現(xiàn)陡增現(xiàn)象，即應(yīng)力集中區(qū)，此結(jié)論與李明等［22］的結(jié)論保持一致。通過對比解析解和模擬解曲線可知，數(shù)值模擬解與理論解析解之間具有比較高的擬合性，理論計算結(jié)果具有較好的推廣應(yīng)用價值。

3.2 不同支護圍巖周邊應(yīng)力演化規(guī)律

對不同支護力條件下采場幫壁和頂板中點應(yīng)力演化規(guī)律分析，即角度分別為0°和90°位置處的圍巖徑向應(yīng)力和切向應(yīng)力。由于采場圍巖內(nèi)壁均勻施加支護阻力f，致使幫壁和頂板中點位置的圍巖徑向應(yīng)力等于支護阻力f，因此僅需對幫壁和頂板中點處的切向應(yīng)力進行分析：在幫壁中點位置處，切向應(yīng)力為垂直應(yīng)力SZZ，在頂板中點位置處，切向應(yīng)力為水平應(yīng)力SXX。繪制出不同支護力下的幫壁和頂板中點位置的圍巖應(yīng)力演化如圖7所示，采場右?guī)颓邢驊?yīng)力隨支護阻力的增加而減小，而頂板切向應(yīng)力隨支護阻力的增加而增大，且頂板和右?guī)臀恢玫慕馕鼋饩源笥谀M解。此外，頂板位置的解析解和數(shù)值模擬結(jié)果偏差大于右?guī)臀恢茫瑢τ诮馕龇椒▉碚f，原因在于保角變換的映射函數(shù)僅取了三項，對于大寬高比采場較長邊的應(yīng)力求解誤差增大，實際可通過增加映射函數(shù)的項數(shù)來提高擬合性［8-9］；對于數(shù)值模擬方法來說，由于計算機本身的限制，模擬網(wǎng)格的劃分對精度產(chǎn)生一定的影響，大寬高比情況下，長邊的網(wǎng)格應(yīng)更加密集。

4 結(jié) 論

基于彈性力學(xué)的孔口問題，通過復(fù)變函數(shù)保角變換等理論，將矩形采場轉(zhuǎn)化為單位圓，求解支護作用下圍巖周邊的應(yīng)力解析解，并采用數(shù)值模擬對理論解析方法結(jié)果進行驗證，得到以下結(jié)論：

（1）復(fù)變函數(shù)理論和數(shù)值模擬方法求解的不同支護力作用下的圍巖周邊應(yīng)力解析解和數(shù)值解具有比較高的擬合性，理論計算可進行推廣應(yīng)用。

（2）采場周邊圍巖應(yīng)力從幫壁到頂板分布先增大后減小，呈現(xiàn)“拋物線”趨勢，拐角附近處應(yīng)力值出現(xiàn)陡增現(xiàn)象，即應(yīng)力集中現(xiàn)象。

（3）隨著矩形采場周圍巖體支護阻力的逐漸增加，幫壁切向應(yīng)力逐漸減小，頂板切向應(yīng)力逐漸增大，且兩個位置的解析解均略大于模擬解。

（4）頂板位置的解析解和數(shù)值模擬結(jié)果偏差大于兩幫位置，對于解析方法來說，原因在于保角變換的映射函數(shù)僅取了三項，對大寬高比采場較長邊的應(yīng)力求解誤差增大，實際可通過增加映射函數(shù)的項數(shù)來提高擬合性；對于數(shù)值模擬方法來說，由于計算機本身的限制，模擬網(wǎng)格的劃分對精度產(chǎn)生一定的影響，大寬高比情況下，可加密長邊的網(wǎng)格。