平面陣指向性指數估算的改進

諸潔琪，申屠鎧宇，陳伏虎

(杭州應用聲學研究所，浙江杭州310012)

0 引 言

平面陣聲吶具有廣泛的用途，特別是潛艇舷側等可布陣面積較大的區域，采用平面陣方式布陣可充分利用空間，提高聲吶探測能力，如美國海狼級核潛艇、弗吉尼亞級核潛艇舷側陣均采用了平面布陣方式。

聲基陣的陣增益是聲吶方程中計算作用距離的重要參數，定義為接收的信號增益與噪聲增益比值的對數。由于其依賴于信號與遍布基陣的噪聲的相干性，所以計算其具體的值并不容易。當信號為平面波且相干，噪聲為各向同性且不相干時，聲基陣的陣增益等于其指向性指數，即從各向同性噪聲場中提取平面波信號的能力。估算聲吶作用距離時，一般用指向性指數代替陣增益計算，并采用通用的估算公式估計聲基陣的指向性指數。但實際計算時發現，常用的平面陣指向性指數估算結果[1]往往與實際計算值有較大偏差，導致估算聲吶性能產生偏差。國外許多書籍對平面陣指向性指數的也存在多種不同估算公式，或未給出詳細論證過程，或未給出簡潔的估算表達式，且估算偏差各有不同[1-6]。因此本文對平面陣的指向性指數估算公式進行推導和改進，給出了清晰了理論支撐和簡潔的表達式，使估算精度相比其他估算公式具備更小的偏差和更大的應用范圍。

1 估算公式推導

接收陣的指向性因數Rθ是在各向同性噪聲場無指向性接收器輸出，與具有同樣靈敏度的指向性陣輸出的比值：

式中：D表示基陣的指向性函數；θ、φ分別為俯仰角和方位角。估算聲吶作用距離的指向性指數與指向性因數關系為DI= 1 0lg (Rθ)，平面陣指向性指數常采用以下公式估算[1]：

式中：m、n分別為平面陣的水平方向和垂直方向陣元數，陣元間距為λ/ 2 ，N為聲波波長。式(2)為背部無遮擋情況下平面陣的估算公式，實際應用中，《實用聲吶工程》對背部存在遮擋，任意工作頻率下的平面陣指向性指數估算公式[1]為

式中： f0表示陣元間距對應的最高工作頻率，f＜f0。式(3)中默認平面陣水平、垂直陣元間距相等，實際中考慮到海洋聲傳播特性，聲入射角一般為小掠射角，即使通過深海海底反射的入射信號的垂直俯仰角度也一般不超過?60°，因此實際上平面陣垂直俯仰角度無需到±90°，因而垂直方向陣元間距往往可略大于水平陣元間距。

在水平、垂直陣元間距不同，且滿足小于λ/ 2 的情況下，式(3)可用以下公式表達：

式中：L、H分別為平面陣的長和寬。

實際應用時，發現式(4)的估算結果往往與實際計算值相差1 dB以上。因此，本文對平面陣的指向性指數估算公式進行推導，并建立更為準確的估算公式。

根據乘法定理，均勻分布的平面陣指向性函數可看成兩條直線陣指向性函數的乘積。為方便計算，現建立如圖1所示坐標系。

圖1 指向性函數計算坐標系Fig.1 The coordinate system for directivity function calculation

令平面陣位于xOy平面內，y軸方向和z軸方向陣長分別為 L、H，d1、d2分別為 y軸方向和 z軸方向陣元間距，m、n為y軸方向和z軸方向陣元數。根據乘積定理[4]，平面陣指向性函數D (θ, φ) 為線陣指向性函數之積：

在實際的聲吶設計中，離散線陣的指向性函數可以用式(6)的連續陣的指向性函數代替，兩者造成的差異一般不大[6]。

根據指向性因數計算公式，當平面陣背部遮擋時，指向性因數可轉化為

將B的近似值代入式(7)，可得指向性因數近似公式為

式中：S為平面陣有效面積。則指向性指數的近似公式為

式(14)即根據指向性指數計算原理推導的近似計算公式，其推導過程是基于平面陣的長和寬遠大于信號波長。主波束寬度較小的基礎上得到的。因此當平面陣長或寬與信號波長相差較小時，該近似公式計算值與實際相差較大。

該公式計算值比式(4)大近2 dB，可見兩者之間存在很大差別，必有其中一個近似公式與實際指向性指數的誤差較大。因此，需通過仿真來分析其具體適用情況。

2 仿真分析

2.1 準確性分析

為驗證指向性指數估算公式的準確性，本文對平面陣指向性指數進行仿真計算，并與估算公式比較，計算其誤差。指向性指數真值根據式(1)積分公式對指向性函數D(θ, φ)進行積分計算，得到指向性因數Rθ后，根據DI= 1 0lg (Rθ)算得。

令平面陣的長、寬分別為8 m和4 m，陣元間距為0.1 m，則最高工作頻率為7.5 kHz。該陣在6 kHz處的水平及垂直波束圖如圖2所示，其中水平和垂直方向波束寬度分別為 1.57°、2.96°，旁瓣級均為?13.3 dB。通過積分計算得指向性指數真值為38.04 dB，通過式(4)和式(14)的估算公式得到指向性指數估算值分別為36.11 dB和38.08 dB，由此可見，式(4)對平面陣指向性指數的估計偏差近2 dB，而采用式(14)進行估計的偏差小于0.1 dB，可認為式(14)的指向性指數估算結果基本與實際值相等。

圖2 平面陣波束圖Fig.2 Beam pattern of planar array

2.2 陣元間距影響分析

式(14)的指向性指數估算公式雖與陣元間距無關，但其前提假設是離散平面陣指向性函數式(5)近似為連續平面陣指向性函數式(6)。這就要求陣元間距不能過大，否則會對估算準確度產生一定的影響。

實際上陣元間距大小對指向性指數影響是相對于信號波長而言的，即影響參數為陣元間距相對信號波長的比值。為驗證陣元間距波長比對指向性指數估算準確度的影響，本文對不同頻率(波長)下的平面陣指向性指數估算誤差進行比較分析。

令平面陣的長、寬分別為8 m和4 m，陣元間距為0.1 m，信號頻率為0.5～7.5 kHz，水中參考聲速取1 500 m·s-1，則陣元間距波長比為0.03～0.5，此時該陣的波束寬度如圖3所示，水平波束寬度為1.2°～19.1°，垂直波束寬度為 2.3°～38.7°。

圖3 平面陣波束寬度Fig.3 Beamwidth of planar array

指向性指數計算值和估算值變化情況如圖4所示，圖中方法一估算值是采用式(4)的估算結果，方法二估算值是采用式(14)的估算結果。分析表明，在不同陣元間距波長比(不同頻率)下，雖然已無法滿足接近連續平面陣條件，但采用式(14)的估算結果依然與實際值基本相等，估算效果優于式(4)。

圖4 不同方法指向性指數分析Fig.4 Directivity index analyses of different methods

2.3 陣孔徑影響分析

本文指向性指數估算公式的第二個假設是陣的水平、垂直孔徑遠大于信號波長，使陣具有較小的波束寬度，波束圖能量主要集中在主極大方向附近。為驗證平面陣孔徑對指向性指數估算準確度的影響，特別是陣孔徑與波長接近時估算的準確度情況，本文對不同基陣孔徑下的指向性指數估算誤差進行了比較分析。在2.2節不同頻率下指向性指數的分析中，信號頻率低至 500 Hz時，波長與平面陣長、寬比值分別為0.375、0.75，水平、垂直波束寬度分別為19.1°、38.7°，此時式(14)對指向性指數的估計依然具有較高的準確性。

在實際使用時，如潛艇舷側布陣，平面陣的長度遠大于寬度，一般長度可達到幾十米，而寬度在1～3 m左右，此時長度遠大于波長，而寬度可能與波長接近甚至小于波長，本文對該情況下，不同平面陣寬度時指向性指數估算誤差進行比較分析，驗證陣孔徑對估算準確度的影響。

設平面陣長為8 m，陣元間距為0.1 m，信號頻率為 6 kHz，陣寬度為 0.2～4 m，則波長與寬度比值為0.0625～1.25，此時平面陣垂直波束寬度為3.0°～77.2°，如圖5所示。指向性指數計算值和估算值變化情況如圖6所示，其中方法一估算值即采用式(4)的估算結果，方法二估算值即采用式(14)的估算結果。分析表明，在波長寬度比小于0.42時，采用式(14)估算結果基本與實際計算值相等，大于 0.42時，陣寬度越小，估算誤差越大，寬度為0.2 m時式(14)估算誤差達到0.75 dB，但其估算準確度依然優于式(4)。實際上，工作在非常低的頻率時，如100 Hz，則平面陣寬度相對于波長基本可忽略不計，此時以直線陣的指向性進行估算準確性更高。

圖5 平面陣垂直波束寬度隨陣寬度變化曲線Fig.5 Variation of the vertical beamwidth of planar array with array width

圖6 平面陣指向性指數隨陣寬度變化曲線Fig.6 Variation of the directivity index of planar array with array width

2.4 適用性擴展分析

由于其他非規則陣、曲面陣等陣形的指向性指數無法通過解析計算方式得到估算公式，因此一般采用平面陣指向性指數估算公式對其他面陣、體積陣的指向性指數進行估算。本文通過仿真分析，驗證式(14)對其他陣形指向性指數的估算準確度。

以圓柱陣為例，設圓柱陣直徑為4 m，高為4 m，陣元間距為0.1 m，波束形成時采用正對主極大方向120°扇面的陣元，則不同信號頻率下指向性指數計算值和估算值變化情況如圖8所示，其中估算時有效面積取 1/3扇面對應的最大投影面積，即

圖8 圓柱陣指向性指數隨陣直徑變化曲線Fig.8 Variation of the directivity index of cylindrical array with array width

分析表明，采用式(14)估算公式計算圓柱陣指向性指數同樣有效，其估算值在較低頻率時略低于實際計算值，在中高頻時略高于實際計算值，1 kHz以上時估算誤差在0.25 dB以內，準確性優于采用式(4)估算結果。

同樣的，式(14)指向性指數估算同樣適用于梯形平面陣、球面陣等其他陣形，并具有較高的估算準確性，本文不再詳細一一舉例。

3 結 論

一般估算聲吶作用距離時，平面陣指向性指數采用《實用聲吶工程》的公式進行估算，但實際應用時發現該估算結果與實際計算值相差較大，導致估算聲吶性能產生偏差。本文在離散平面陣指向性指數與連續平面陣指向性指數近似相等、陣孔徑遠大于波長時波束能量集中于主極大附近兩個前提條件下，對平面陣的指向性指數估算公式進行推導和改進。當平面陣滿足以上條件時，改進公式計算的指向性指數與理論公式計算的指向性指數真值相比，僅有很小的偏差。對偏離假設條件的情況做了分析，在陣孔徑減小時指向性指數估算偏差逐漸增大。最后，本文將該公式在圓柱陣應用情況做了分析，證明該公式在圓柱陣上應用依然具有較高的準確度。后續將繼續研究該估算公式對球陣、共形陣等陣形的指向性指數具體估算的適用性分析，以用于更多的聲吶性能計算。