冰蓋下典型復式斷面河道水深平均流速的橫向分布

鄒德昊，戴長雷，郭顯峰，路錦枝

（1.黑龍江大學寒區地下水研究所，黑龍江哈爾濱 150080 2.黑龍江大學水利電力學院，黑龍江哈爾濱 150080；3.流域水循環模擬與調控國家重點實驗室中國水利水電科學研究院，北京 100038）

1 研究背景

天然河道的過流斷面常常可概化為渠道復式斷面的形式，在北方的冬季，一旦河道封凍形成冰蓋，復式斷面流速的分布規律就會發生改變，灘槽的阻力和輸水能力都會受到影響，因此研究冬季冰封河道的流速分布規律對于凌汛防治具有重要意義。冰蓋的出現增加了過水斷面的濕周和阻力，使得河渠的斷面流速分布和輸水能力發生顯著改變。當河渠為復式斷面且冬季冰蓋糙率不斷發生變化時，如在漫灘水流中，由于主槽和灘地之間水力條件存在差別，使得交界面出現剪切層并強烈影響著各種水力參數的分布，因此采用一維模型計算可能產生較大的偏差。

現有研究采用二維k-ε紊流模型計算出復式斷面河渠的橫向流速分布。Shiono和Knight［1］提出的SKM法以水深平均的Navier-Stokers方程為基礎，描述了復式河道斷面的過流情況，給出了斷面的橫向沿水深方向平均流速的計算公式。許唯臨等［2-3］從SKM法出發，將二次流項歸并入雷諾切應力項，結合主槽與灘地的水深平均流速，推導出無冰蓋復式河道橫向流速分布和床面切應力分布的計算公式，并由實測數據給出了渦黏性系數的經驗公式。吉祖德和胡春宏［4］的研究表明：在明流復式斷面上，主槽和灘地平衡區的垂線流速服從對數律公式，但是，在邊壁區，流速不再服從對數分布，其最大流速不在水體表面，而是有所下移。楊開林［5］研究了水流的非均勻性對矩形河渠水深平均流速橫向分布的影響，算例表明，在實際流動為非均勻流的情況下，采用SKM模型計算的流量存在很大的偏差，提出了改進的非均勻流計算模型。劉沛清和冬俊瑞［6］探討了復式斷面渠道中主河槽和灘地之間水流的動量傳遞機理，應用動量定理導出了復式斷面渠道中恒定均勻流的計算公式，并與實驗資料進行了驗證。Knight和Hamed［7］根據試驗結果給出了具有直角突變床面的對稱復式斷面渠道的邊界剪切力分布，并評估了子區域之間的動量傳遞對垂向和橫向流速分布的影響。Peters和Dow［8］的研究表明對于冰封的復式斷面渠道，濕周和水流阻力都會增大，過流能力會降低。楊克君和曹叔尤［9］總結了明流復式河槽流量計算的各種方法，運用這些方法分別計算整個復式斷面的流量和灘槽流量分配；此外，楊克君［10-11］還分析了明流復式河槽的橫向動量輸移的原理并給出計算方法。以上關于復式斷面河渠的計算方法都是針對無冰蓋水流，但其對冰蓋下水流的流動數學模型的建立以及規律的探求起到了至關重要的指導和推動作用。且目前尚未提出冰蓋下復式斷面河渠水流的簡易有效計算方法。冰蓋的形成改變了水流的流速分布，對于被冰覆蓋的通道流動，以往研究主要集中于河道的橫向水深平均速度［12］、過流阻力［13］和冰層覆蓋對泥沙輸移的影響［14］。河道水深平均流速是研究泥沙運動和河道演變預測的基礎［15］，通過橫截面上深度平均流向流速的橫向積分可以得到給定水位下的總流量。因此，研究冰蓋下河渠流速分布、流量和二次流等流動特征是十分必要的。

本文提出了一種不必通過計算機編程聯立求解復雜方程組即可求得水深平均流速的計算公式。首先根據質量守恒和動量守恒原理，以楊開林的準二維模型為基礎［5，16-17］，利用雙層假設，首先將河道斷面劃分為上冰蓋區和床面區，隨后令二次流項并入雷諾切應力項中，將濕周產生的阻力體現在達西-維斯巴赫綜合摩擦系數中，把斜坡區和漫灘區的水深平均流速直接聯立。進一步推導出冰蓋下典型復式斷面恒定非均勻流的水深平均流速的橫向分布的準二維模型；最后將計算結果與物理模型試驗實測數據對比。

2 理論分析

2.1 冰蓋下典型復式斷面河道水流的準二維模型在一般情況下，綜合阻力系數fd、無因次渦流黏度λ，二次流系數K或β等參數為y的函數，每個區間的水深平均流速可以用楊開林的準二維模型計算。需要根據邊界條件的特點，通過編寫計算機程序求解有限解析計算法，這個過程需要求解含遞推公式的復雜方程組。具體求解方法見參考文獻［16］。本文根據Shiono和Knight［1］的假設，忽略紊動應力在各個方向上的梯度，應用Abril和Knight［18］對二次流的描述，即沿著過水斷面積分可得到楊開林［5］建立的冰蓋下沿水深方向平均流速Ud沿橫向y分布的準二維模型。

圖1 冰蓋下典型復式斷面渠道示意圖

如圖1所示，對于復式斷面主槽區和漫灘區，可得冰蓋下復式斷面渠道平槽區且冰厚均勻的解：

式中：Ud為沿水深方向的平均流速；A1、A2為待定常數；y為如圖1所示的橫向的距離，為綜合阻力系數，；Hi為平槽區斷面水深，其中：。b為主槽區的半寬，sh為水面坡降，s0為底坡，λ無因次渦流黏度，ρ為水的密度，ρice為冰蓋的密度，hice為冰蓋的厚度。符號的下角標“mc”和“fp”為別表示主槽區和漫灘區的物理量或中間變量。

當冰厚為均勻分布時，采用Ervine 利用大量實測資料確定的二次流系數的經驗值，令有關各式中二次流系數K=0.0025［19］。由于所選取的復式斷面渠道具有左右相互對稱性，可以得到主槽區的待定系數A1=A2=Amc，漫灘區的待定系數A3=Afp，再由邊界條件可以得到：

式中Ud下角標“mc”和“fp”為別表示主槽區和漫灘區的沿水深方向的平均流速。此外，主槽區及漫灘區相鄰區域的相交處必須滿足速度和速度梯度的連續性條件。令Ud.mc和Ud.fp的流速平滑相接。即在該處兩曲線的函數值及梯度相等。聯立求得：

在時間T內通過斷面的總流量可表示為：

式中；Q為斷面總流量；為主槽流量；為漫灘流量，m3/s；Hmc為主槽區的水深；Hfp為漫灘區的水深，m；Δy=B/(m+n)，m為主槽的半寬斷面分區數，n為漫灘區的分區數。

2.2 算例“T”型復式斷面如圖1所示，為半寬斷面的示意圖。其中bmc=0.15 m，bfp=0.45 m，B=0.6mB=0.6m，d=0.075m，漫灘水深分別為Hfp1=0.06m，Hfp2=0.08m。表1、表2為計算參數，計算得表3的成果可以和試驗數據相比較。

表1 復式斷面渠道特征參數

表2 計算參數

表3 計算所得各斷面平均速度的橫向分布Ud （單位：m/s）

3 試驗驗證

試驗裝置由主槽循環水箱、水泵、變頻器、電磁流量計、推拉式水位控制尾門、消能裝置和模型冰蓋等組成，其中由于真冰的制作儲存、尺寸需求、易碎性、控溫的超高成本，所以在采用高密度聚氨酯泡沫作為模型冰代替真冰。它的優點是減少模型負重容易運輸，容易切割，可塑性強，不會融化或者凍結。通過變頻器對水泵進行精準控制、電磁流量計進行觀測，從而可以在閉合循環水系統中來嚴格控制復式斷面水槽的流量。消能裝置用于消耗水流垂直方向的動能確保水流均勻穩定，水位可通過安裝在下游的尾門的開閉尺度進行調節。如圖2為實驗裝置的刨面圖，主槽長20 m、寬1.2 m。實驗采用有機玻璃搭建的模型渠道，在渠道底部每3 m 設置一個測壓管口，共5 個測壓管。通過精度為0.1 mm的測針所得測壓管的水位高程判斷水面坡降。

圖2 實驗裝置的剖面

實驗采用多普勒超聲測速儀（ADV）對過流斷面的流速進行點測，每點流速采集30 s，共600組數據再用origin軟件進行后處理得到可信的沿水深方向的流速分布。在測量過程中發現水泵會對多普勒超聲三位測速儀的測量結果產生一定的影響，為此須將測點安置在盡量遠離水泵的位置。

試驗工況選擇了表1所示的兩種進流量。穩定流量冰蓋下復式斷面水流的流態均為恒定流。模型參數以及糙率的率定采用漫灘水深為6 cm和8 cm的工況。在表2中給出了模型試驗中復式斷面渠道的模型參數。其中：Q為流量；底坡S0由渠道進出口的高程差值計算得到，過流斷面形狀對糙率有不可忽視的影響。

當求解得到冰蓋下復式斷面河道的水深平均流速沿橫向y的分布時，如表4，為實測的半寬斷面各斷面平均流速，由式（8）可以計算出斷面流量Qd。當冰蓋糙率系數［17］通過率定得到ni=0.025，認為冰蓋厚度是均勻的，則求解兩種工況可得流量Qd，列于表5。

表4 實測各斷面平均速度 （單位：m/s）

表5 冰蓋下復式斷面的計算流量

觀察表5可以看出，對于床面存在直角突變的冰蓋下復式斷面渠道，在兩種不同水深下，實測流量與采用本文準二維模型計算的流量Qd非常接近，誤差相對值一般小于5%，這表明本文的模型具有足夠的計算精度，同時采用明渠的二次流系數和無因次渦流黏度的造成的誤差是可以允許的。如圖3為冰蓋下典型復式斷面渠道的主槽區和漫灘區典型斷面的垂向流速分布圖。（具體的斷面位置在整個橫斷面的位置分布見圖1。）由于模型冰蓋的糙率大于床面的糙率，故沿水深方向的最大速度的位置離冰蓋更近。其中圖3（d）所示為灘槽交界處的流速分布，尤其在床面突變處，即7 cm深度附近的位置，其流速分布變得紊亂。圖3（a）所示為靠近渠道邊壁的測量斷面，受到邊壁的影響，其流速明顯相比于漫灘區斷面3較小，其流速分布也表現的沒有規律性。

圖4 展示了在冰封條件下，水深的平均流速Ud與橫坐標y的關系曲線。由于渠道和冰蓋以及入流條件的對稱性，其流動也是對稱的，其位于主槽區的中心線處的流速梯度應當為零，即需滿足邊界條件當y=0 時，?Ud?y=0。所以對于全斷面渠道可以由對稱性求得。圖5 利用ADV 在y向的速度分量繪制了橫向速度矢量分布圖。表明了二次流會從主槽區流向漫灘區；解釋了動量從主槽區向漫灘區輸移的現象；Ud計算值在交匯處的略大于流速實測值，而漫灘區的計算值略低于實測值。

4 結論

本文基于楊開林的冰蓋下復式斷面水深平均流速Ud的橫向分布準二維模型，給出了順直河道冰蓋下復式斷面漫灘水流準二維解析解。此外對于冰蓋河渠的水流的無因次渦流黏度λ，可以采用明流無因次渦流黏度近似；通過物理模型實驗驗證了冰蓋下復式斷面漫灘水流沿水深的平均流速的橫向分布準二維模型的合理性，并給出了典型斷面的垂向流速分布圖，通過橫向流速矢量分布分析了計算值與實測值的誤差產生的原因。即細微的誤差主要是由于灘槽交界處存在二次流及動量交換而引起的；準二維模型計算的流量Qd與模型試驗實測流量之間的誤差相對值小于5%，具有令人滿意的精度。

圖3 8cm漫灘水深工況典型斷面垂向流速分布

圖4 實測速度對比

圖5 典型復式斷面冰蓋下灘槽交匯區流速矢量分布

致謝：本文承中國水利水電科學研究院水力學研究所水力控制研究室提供試驗條件，承王濤和郭新蕾兩位教授級高級工程師的指導和幫助，特此表示感謝！