城市屋頂降雨徑流過程單位線模型研究

申紅彬，徐宗學(xué)，李靈軍，郝秀平

（1.華北水利水電大學(xué)，河南鄭州 450045；2.北京市水科學(xué)技術(shù)研究院北京市非常規(guī)水資源開發(fā)利用與節(jié)水工程技術(shù)研究中心，北京 100048；3.北京師范大學(xué)水科學(xué)研究院城市水循環(huán)與海綿城市技術(shù)北京市重點實驗室，北京 100875；4.水利部綜合事業(yè)局，北京 100053）

1 研究背景

城市屋頂是城市地表中一種重要的類型單元，按透水性質(zhì)總體可以劃分為不透水屋頂與綠色（滲透）屋頂。單位線法作為一種重要的概念性水文模型，較早就應(yīng)用于城市地表（包括不透水屋頂）降雨徑流過程的模擬［1-2］，徑流輸出對降雨輸入的函數(shù)響應(yīng)關(guān)系明確。不過，對于綠色屋頂降雨徑流過程的模擬，現(xiàn)今單位線法尚少有涉及。如今，對于綠色屋頂降雨徑流過程的模擬，主要基于描述土壤水下滲的Richards方程進行數(shù)值模擬，相關(guān)模型有Hydrus-1D、SWMM-2D等［3-5］，涉及參數(shù)較多，求解過程復(fù)雜，難以直觀反映出徑流結(jié)果和降雨條件之間的響應(yīng)關(guān)系。

鑒于Richards方程的復(fù)雜性，不少學(xué)者提出了不同的簡化方程［6-8］，但這些方程均以假設(shè)下滲土柱為半無限長作為定解條件，并多忽略下滲土柱表面積水變化的影響，主要關(guān)注土柱內(nèi)土壤水長時間的下滲過程。然而現(xiàn)實中綠色屋頂用于雨水滲蓄的基質(zhì)土壤層的厚度是有限的［9-10］。如果降雨強度比較小，綠色屋頂在有限厚度的基質(zhì)土壤層達到飽和前不會產(chǎn)生徑流，基質(zhì)土壤層達到飽和后的滲流經(jīng)排水層排出的過程即為徑流過程，且該徑流（滲流）過程更易受到基質(zhì)土壤層表面降雨（積水）過程變化的影響。因此，基于綠色屋頂基質(zhì)土壤層厚度有限性的特點，結(jié)合土壤下滲簡化模型，考慮表面降雨（積水）過程變化對徑流（滲流至排水層出流）過程的影響，能否建立反映降雨-徑流響應(yīng)關(guān)系的單位線模型，就成為一個有待研究的問題。通過建立綠色屋頂降雨徑流過程的單位線模型，再聯(lián)合不透水層頂降雨徑流過程的單位線模型，兩者將可共同構(gòu)成城市屋頂降雨徑流過程的單位線模型。并且，在同類模型的基礎(chǔ)上，通過比較綠色屋頂與不透水屋頂模型參數(shù)的區(qū)別，更便于從本質(zhì)上認識兩類屋頂降雨徑流過程的差別。

本文基于土壤水飽和下滲理論，針對綠色屋頂降雨產(chǎn)（徑）流特點，推導(dǎo)建立綠色屋頂降雨徑流過程的單位線模型，并聯(lián)合不透水層頂降雨徑流過程的單位線模型，共同構(gòu)成城市屋頂降雨徑流過程的單位線模型；再根據(jù)不透水屋頂與綠色屋頂降雨徑流過程實測資料，分別進行了模擬應(yīng)用，并在同類模型的基礎(chǔ)上，對兩類屋頂降雨徑流過程模擬中的模型參數(shù)進行了比較與分析。

2 模型構(gòu)建

2.1 不透水屋頂降雨徑流過程的單位線模型城市不透水屋頂一般匯水面積較小，降雨徑流過程可選用單一線性水庫的Nash單位線模型。Nash瞬時單位線數(shù)學(xué)表達式通常表示為：

式中：u（0，t）為瞬時單位線；t為時間；K為線性水庫調(diào)蓄參數(shù)。

對瞬時單位線通過S積分變換，可轉(zhuǎn)換為離散時段單位線形式為：

式中：q（Δt，n）為時段單位線；Δt為單位線時段；n為時段序號。

相應(yīng)出口斷面流量過程為：

式中：Q（n）為出口斷面流量，轉(zhuǎn)化為單位時間徑流深（流量與匯水面積相除）單位，mm/min；n為出流時刻；i為計算時段序號；I（i）為凈雨強度，mm/min。

式（1）中線性水庫調(diào)蓄參數(shù)K等于屋頂坡面匯流時間τ：

式中：τ為坡面匯流時間，s；L為坡面長度，m；V為坡面水流平均流速，m/s。

研究表明，坡面水流平均流速V影響因素較多，包括坡度、糙率、雨強等，影響機理十分復(fù)雜，近似可以采用Eagleson-Bra公式進行估算［11］：

式中：J為坡面比降；n為糙率；A為坡面面積，km2；B為坡寬，m；I為降雨強度，cm/h。

2.2 綠色屋頂降雨徑流過程的單位線模型根據(jù)土壤水飽和下滲理論，下滲土柱上的作用合力包括：表面積水深、下滲土柱長度、濕潤鋒處毛管上升高度以及空氣剩余壓力。假設(shè)綠色屋頂基質(zhì)土壤層厚度為l，在基質(zhì)土壤層飽和產(chǎn)流后，重點考慮表面積水深影響，忽略濕潤鋒處毛管上升高度及空氣剩余壓力項，則下滲速率可以根據(jù)Darcy定律表示為式（6）形式，并經(jīng)排水層排出轉(zhuǎn)化為徑流過程：

式中：fp（t-t0）為產(chǎn)流后土壤下滲速率，mm/min；Q（t-t0）為排水層出流速率，轉(zhuǎn)換為單位時間徑流深單位，mm/min；hp（t-t0）為表面積水深，mm；l為基質(zhì)土壤層厚度，mm；H（t-t0）為作用水頭，mm；Ks為飽和水力傳導(dǎo)度，mm/min；Kd為系數(shù)，min-1；t為時間，min；t0為飽和產(chǎn)流時間，min。

對于作用水頭H（t-t0），根據(jù)質(zhì)量守恒原理存在如下平衡方程：

式中：I（t-t0）為飽和后產(chǎn)流后降雨強度，mm/min。

聯(lián)合求解式（6）和式（7），可以得到綠色屋頂產(chǎn)流后徑流過程的連續(xù)卷積形式：

其中瞬時單位線u（0，t）的表達式為：

流量過程表示為離散形式為：

式中i0為產(chǎn)流開始時段序號。

2.3 兩類屋頂降雨徑流單位線模型方程統(tǒng)一形式綜合以上，分別建立了城市不透水屋頂降雨徑流過程的單位線模型與綠色屋頂降雨徑流過程的單位線模型，兩者共同構(gòu)成了城市屋頂降雨徑流過程模擬的單位線模型。進一步比較不透水屋頂與綠色屋頂降雨徑流過程及相應(yīng)單位線模型式（3）和式（10），兩類屋頂雖然降雨徑流過程形成機理不同，但模型描述使用的數(shù)學(xué)方法種類相同，因此可以將城市屋頂降雨徑流過程單位線模型方程表示成更為統(tǒng)一的數(shù)學(xué)表達形式，不同之處在于兩類屋頂?shù)哪Ｐ蛥?shù)計算方法與物理意義有所不同，具體結(jié)果如表1所示。可以看出，單位線模型方程經(jīng)過統(tǒng)一數(shù)學(xué)表達形式后主要包括兩個參數(shù)：徑流輸出對降雨輸入的響應(yīng)速率β與徑流（產(chǎn)流）起始時段序號i0，并且對于不透水屋頂與綠色屋頂?shù)哪Ｐ蛥?shù)選擇不同：（1）在不透水屋頂中響應(yīng)速率β是坡面匯流時間（坡長除以坡面平均流速）的倒數(shù)，徑流損失主要為填洼損失，產(chǎn)流時間較短，相應(yīng)i0等于或略大于1；（2）在綠色屋頂中響應(yīng)速率β則是基質(zhì)土壤層穩(wěn)滲時間（基質(zhì)土壤層厚度除以飽和水力傳導(dǎo)度）的倒數(shù)，并且只有在基質(zhì)土壤層達到飽和后才會產(chǎn)生徑流，產(chǎn)流時間較長，相應(yīng)i0多大于1。

表1 不同類型屋頂降雨徑流單位線模型統(tǒng)一形式與參數(shù)比較

3 模型應(yīng)用

3.1 城市不同類型屋頂降雨徑流過程監(jiān)測2015年6—9月期間，在北京市水科學(xué)技術(shù)研究院內(nèi)開展多種類型屋頂降雨徑流現(xiàn)場試驗監(jiān)測，位置與布置如圖1（a）所示。其中，監(jiān)測不透水平面屋頂面積約為96 m2，屋頂鋪設(shè)有防水油毛氈；綠色屋頂（綠化比例為100%）面積約為65 m2，垂向結(jié)構(gòu)可參見圖1（b），具體設(shè)計如下：（1）植被層草種選擇佛甲草，具有抗旱節(jié)水、隔熱降溫、易于管理等特點；（2）基質(zhì)層采用草炭土、蛭石和砂土混合而成的填料，厚度為6 cm，配比為4∶2∶1，具有重量輕、透水性好、持水性好、性能穩(wěn)定、養(yǎng)護方便等特點；（3）過濾層位于基質(zhì)層底部，材料為過濾布（厚度1～2 cm），防止介質(zhì)流失；（4）排水層厚5 cm，用輕質(zhì)塑料制成，均勻布置碗狀結(jié)構(gòu)以承載徑流，并有排水出口。試驗過程中，屋頂降雨過程監(jiān)測主要通過屋頂安裝雨量計，可以獲得1 min和5 min雨量值；徑流過程監(jiān)測采用“液位計+三角堰”測量方法，可以對水位及流量進行連續(xù)監(jiān)測。各個試驗屋頂排水管出口下方均配有一套三角堰測流槽裝置（參見圖1（c）），槽內(nèi)安裝液位計，液位計選用美國生產(chǎn)的Global Water WL-16 壓力液位計，恒溫條件下測量精度為±0.1%滿量程，三角堰頂角角度為30°，平面屋頂三角堰堰底面積為0.48 m2，綠色屋頂三角堰堰底面積為0.4 m2。三角堰流量計算在溢流前為時段始末水位差值與堰底面積的乘積，溢流后過堰流量采用Kindsvater-Shen公式計算［12］：

式中：Q堰（t）為三角堰過堰出流流量，m3/s；θ為三角堰頂角，30°；CD為流量系數(shù)，取值為0.6；He為堰上水頭，m；g為重力加速度，m/s2。

監(jiān)測期間，共計監(jiān)測到11場有效降雨徑流數(shù)據(jù)，具體統(tǒng)計如表2所示。表2 中，不透水屋頂填洼深損失與綠色屋頂截留深（包括：植物截留、基質(zhì)滲持、植物蒸散發(fā)、基質(zhì)蒸發(fā)量）［13-16］損失主要根據(jù)水量平衡原理，采用降雨量與徑流深的差值計算。其中，不透水屋頂填洼損失綜合受到前期降雨填洼深、間隔干旱天數(shù)、場次降雨量等因素的影響，綠色屋頂截留損失綜合受到前期降雨截留深、間隔干旱天數(shù)、場次降雨量、植被生長狀況等因素的影響。將不同場次降雨量按從小到大排序分別繪制不透水屋頂填洼深與綠色屋頂截留深隨降雨量的變化過程（參見圖2和圖3），可以發(fā)現(xiàn)：綠色屋頂最大截留深基本穩(wěn)定在28 mm左右；不透水屋頂最大填洼深約為13 mm，相對較大可能是因為屋頂建成時間較長表面坑洼不平、且靠邊原建有一道隔墻擋水所致（參見圖1）。對于不透水屋頂某場次降雨，當前期洼蓄水量為0時，填洼深隨降雨量的變化過程近似可按Linsley公式計算：

圖1 監(jiān)測屋頂布置示意

表2 不透水與綠色屋頂降雨徑流監(jiān)測

式中：Δ為不透水屋頂填洼深損失，mm；Δmax為不透水屋頂表最大填洼深損失，mm；k為變化速率，k=1/Δmax；P為降雨量，mm。

圖2 不透水屋頂填洼損失變化情況

圖3 綠色屋頂截留損失變化情況

3.2 屋頂降雨徑流過程模擬應(yīng)用基于表1中建立的城市屋頂降雨徑流過程單位線模型方程統(tǒng)一形式，分別對不透水平面屋頂與綠色屋頂降雨徑流過程進行模擬應(yīng)用。

為便于確定模型徑流（產(chǎn)流）起始時間，本次模擬主要對前期干旱天數(shù)較長（≥5 d），且降雨量大于綠色屋頂最大截留深（28 mm）的場次降雨徑流過程進行模擬，以盡量保證不透水屋頂前期填洼蓄水量足以減少至0，綠色屋頂截留深可以達到最大值。因此，選擇降雨序列1（2015/6/26 01∶50—06∶35）、降雨序列6（2015/7/27 20∶00—7/28 00∶40）以及降雨序列10（2015/8/7 19∶00—20∶40）進行模擬，相應(yīng)不透水屋頂實測填洼深均在10 mm以上、綠色屋頂實測截留深均在28 mm左右（參見表2）。

基于表1，對不同類型屋頂模型參數(shù)分別確定如下：（1）不透水平面屋頂。響應(yīng)速率參數(shù)β：不透水平面屋頂模型響應(yīng)速率β主要與屋頂調(diào)蓄參數(shù)K有關(guān)。對于不透水平面屋頂調(diào)蓄參數(shù)K值，相當于屋頂匯流時間，基于式（5）計算坡面水流平均流速，根據(jù)相關(guān)屋頂排水設(shè)計規(guī)范，坡度取值為2%，降雨強度采用平均雨強，糙率綜合考慮屋頂材料、隔墻擋水及排水口縮窄局部阻力影響，取等效糙率為0.17，采用式（4）計算匯流時間。徑流（產(chǎn)流）起始時段序號i0：對于不透水平面屋頂徑流（產(chǎn)流）起始時間，可以通過比較累計降雨量與填洼損失量確定，對于本次模擬工況，填洼損失采用式（12）計算，經(jīng)檢驗計算結(jié)果與實測徑流（產(chǎn)流）起始時間基本符合（參見圖4）。（2）綠色屋頂。響應(yīng)速率參數(shù)β：綠色屋頂模型響應(yīng)速率β主要與響應(yīng)參數(shù)Kd有關(guān)。對于綠色屋頂響應(yīng)參數(shù)Kd值，經(jīng)過率定取值為0.2，對應(yīng)飽和水力傳導(dǎo)度Ks值為12 mm/min，數(shù)值較大可能是因基質(zhì)層土壤內(nèi)混合含有砂土有關(guān)。徑流（產(chǎn)流）起始時段序號i0：對于不同場次降雨綠色屋頂徑流（產(chǎn)流）起始時間，因基質(zhì)土壤層初始含水率（綜合受到前期降雨截留深、間隔干旱天數(shù)、植被生長狀況等因素影響）不同而會有所區(qū)別，需要參考表2中不同場次降雨實測截留深與累計降雨量比較確定。對于本次模擬工況，可以根據(jù)場次降雨累計降雨量與最大截留深（28 mm）比較確定，經(jīng)檢驗計算結(jié)果與實測徑流（產(chǎn)流）起始時間基本符合（參見圖5）。

為檢驗?zāi)Ｐ湍M效果，選用2種評價指標［17-19］：（1）確定性系數(shù)R2。回歸分析是模型效果評價最為基本的定量分析方法，利用Excel軟件對流量計算值與實測值進行線性回歸，可以直接得到回歸方程的確定性系數(shù)R2值。R2值越趨近于1，說明流量模擬值與實測值擬合越好；（2）Nash-Sutcliffe 效率系數(shù)（NSE）。NSE效率系數(shù)主要用于水文模型效率評價，是判定殘差與實測值數(shù)據(jù)方差相對量的標準化統(tǒng)計值。NSE值一般在-∞～1之間，當NSE=1時說明流量計算值與實測值完全吻合，當0＜NSE＜1時說明計算效果在可接受水平內(nèi)，當NSE≤0時說明流量計算值與實測值存在較大偏差。NSE效率系數(shù)計算表達式為：

式中：NSE為Nash-Sutcliffe效率系數(shù)；為流量實測值，mm/min；為流量模擬值，mm/min。

以降雨序列1（2015/6/26 01∶50—06∶35）、6（2015/7/27 20∶00—7/28 00∶40）、10（2015/8/7 19∶00—20∶40）為例，分別對不透水平面與綠色屋頂降雨徑流過程進行模擬，如圖4和圖5所示。圖中縱坐標值是在式（10）基礎(chǔ)上，兩側(cè)同乘Δt（5 min），轉(zhuǎn)化為時段降雨量、徑流深。可以看出，計算值與實測值變化趨勢符合。綜合所有降雨徑流計算值與實測值，確定性系數(shù)R2與NSE效率系數(shù)值分別達到0.89、0.89（不透水屋頂）和0.84、0.85（綠色屋頂），模擬效果良好。

圖4 不透水屋頂降雨徑流過程模擬

圖5 綠色屋頂降雨徑流過程模擬

3.3 不同屋頂模型參數(shù)比較分析基于表1 中城市屋頂降雨徑流過程單位線模型方程的統(tǒng)一形式，比較模擬工況下不透水平面屋頂與綠色屋頂在降雨徑流過程模擬中的模型參數(shù)取值變化情況，如表3所示。可以看出：不同類型屋頂模型響應(yīng)速率β與徑流（產(chǎn)流）起始時間i0參數(shù)取值均存在較大區(qū)別。對于不透水平面屋頂，徑流（產(chǎn)流）起始時間i0基本為1或2，響應(yīng)速率β值為0.05與0.06，對于綠色屋頂，徑流（產(chǎn)流）起始時間i0在5～18之間，響應(yīng)速率β值為0.2。綠色屋頂?shù)膹搅鳎óa(chǎn)流）起始時間明顯晚于不透水平面屋頂，說明綠色屋頂具有更強的雨水蓄存能力，但綠色屋頂模型響應(yīng)速率參數(shù)大于不透水平面屋頂，說明不透水平面屋頂經(jīng)隔墻阻水調(diào)節(jié)作用后，對降雨輸入過程具有更好的調(diào)峰削減效果。如果降雨峰值時間位于綠色屋頂飽和產(chǎn)流時間之后（2015/7/27 20∶00—7/28 00∶40），則綠色屋頂相比不透水屋頂將難以產(chǎn)生較好的調(diào)峰削減效果，見圖6（a）。因此，綠色屋頂對降雨徑流過程的削減效應(yīng)更多依賴于基質(zhì)土壤層對前期降雨的截留（滲蓄）減水作用。

根據(jù)表1，綠色屋頂?shù)哪Ｐ晚憫?yīng)速率β與基質(zhì)土壤層厚度l和飽和水力傳導(dǎo)度Ks有關(guān)。對綠色屋頂模型β值擬定不同的參數(shù)調(diào)整方案：（1）Ks一定、調(diào)整l，（2）l一定、調(diào)整Ks，參見表3。以降雨序列6（2015/7/27 20∶00—7/28 00∶40）為例，該降雨過程為雙峰雨型，模擬計算不同的β值條件下綠色屋頂?shù)慕涤陱搅鬟^程，如圖6（b）（c）所示。計算過程中，假設(shè)綠色屋頂最大截留深與基質(zhì)土壤層厚度l成正比，對圖6（b）（c）比較可知，在綠色屋頂飽和水力傳導(dǎo)度Ks一定情況下，增大基質(zhì)土壤層厚度l更能有效增大前期雨水滲蓄量，并可顯著削減徑流過程前期峰值，不過對后期峰值的削減效應(yīng)有所減弱。另外，從理論分析來看，增大基質(zhì)土壤層厚度l（或減小飽和水力傳導(dǎo)度Ks）可使模型響應(yīng)速率參數(shù)β值減小，這會導(dǎo)致后期表面積水排水時間略有延長（參見圖6（b）（c）局部）。因此，對于增大綠色屋頂基質(zhì)土壤層厚度l的設(shè)計要綜合考慮前期滲蓄雨量增多與后期排水時間延長的影響。

表3 不透水與綠色屋頂模型參數(shù)與調(diào)整方案

圖6 不同參數(shù)方案下屋頂降雨徑流過程模擬

需要指出的是，上述不同屋頂模型參數(shù)比較分析主要針對本次監(jiān)測屋頂?shù)哪M工況，前期干旱天數(shù)較長、場次降雨量較大，不透水屋頂填洼損失與綠色屋頂截留損失均基本達到最大值。實際上，對于不同場次降雨，兩類屋頂徑流損失的影響因素眾多、變化規(guī)律復(fù)雜，這會直接影響模型徑流（產(chǎn)流）起始時間參數(shù)的取值。需在進一步完善研究不透水屋頂與綠色屋頂徑流損失規(guī)律的基礎(chǔ)上，再通過與累計降雨量比較確定模型徑流（產(chǎn)流）起始時間參數(shù)。對于模型響應(yīng)速率參數(shù)，根據(jù)表1中參數(shù)物理意義，不透水屋頂在不同降雨強度、屋頂坡度、阻力特性等條件下需要分別加以確定，綠色屋頂則在不同基質(zhì)屋厚度及材料組成等條件下需要分別加以確定。

4 結(jié)論

根據(jù)本文的模擬計算與分析，可以得到以下幾點結(jié)論：（1）城市不透水與綠色（滲透）屋頂?shù)慕涤陱搅鬟^程均可采用單位線模型進行模擬，并可采用統(tǒng)一的數(shù)學(xué)方程形式表示，參數(shù)包括響應(yīng)速率參數(shù)與徑流起始時間。對于不同類型屋頂，模型參數(shù)計算方法與物理意義有所不同。其中，不透水屋頂?shù)捻憫?yīng)速率參數(shù)為坡面匯流時間的倒數(shù)，綠色屋頂?shù)捻憫?yīng)速率參數(shù)則為基質(zhì)土壤層穩(wěn)滲時間的倒數(shù)。（2）結(jié)合城市不透水平面屋頂與綠色屋頂降雨徑流過程的實際監(jiān)測數(shù)據(jù)，選擇模擬工況，采用單位線模型分別對兩類屋頂?shù)慕涤陱搅鬟^程進行模擬，并選用確定性系數(shù)R2與NSE效率系數(shù)對模擬效果進行評價。結(jié)果表明，計算值與實測值變化趨勢符合良好，確定性系數(shù)R2與NSE效率系數(shù)值分別達到0.89、0.89（不透水屋頂）和0.84、0.85（綠色屋頂），初步驗證了所建模型的合理性。（3）對綠色屋頂擬定不同的響應(yīng)速率參數(shù)調(diào)整方案計算結(jié)果表明，在飽和水力傳導(dǎo)度一定情況下，增大基質(zhì)土壤層厚度能夠有效增大前期雨水滲蓄量，并可顯著削減徑流過程前期峰值，但對后期峰值削減效應(yīng)有所減弱，且會導(dǎo)致表面積水排水時間略有延長。因此，對綠色屋頂增大基質(zhì)土壤層厚度要綜合考慮前期滲蓄雨量增多與后期排水時間延長的影響。

后期，考慮到不透水屋頂與綠色屋頂徑流損失影響因素眾多、變化規(guī)律復(fù)雜，仍需在進一步完善研究兩類屋頂徑流損失規(guī)律的基礎(chǔ)上，通過與累計降雨量比較確定模型徑流（產(chǎn)流）起始時間參數(shù)，并對不同條件下的不透水屋頂（不同降雨強度、屋頂坡度、阻力特性等）與綠色屋頂（不同基質(zhì)屋厚度及材料組成等），分別研究確定模型響應(yīng)速率參數(shù)。對于城市地表而言，下墊面種類較多，除屋頂（不透水屋頂、綠色屋頂）外，還包括道路（不透水路面、透水鋪裝等）、綠地、水域等，不同種類下墊面的產(chǎn)匯流規(guī)律有所不同。因此，在城市降雨徑流模擬中，應(yīng)根據(jù)詳細的土地利用和土壤屬性分布數(shù)據(jù)，考慮降雨特征的時空變異性，分別采用與下墊面特征相匹配的產(chǎn)匯流理論，劃分水文單元進行分布模擬［20］。本文所建模型為屋頂單元類子模型，可以再結(jié)合其它地表單元類子模型，共同構(gòu)建城市地表降雨徑流的分布式模型。