戲說復變函數(shù)閉路積分

（西安工業(yè)大學 陜西·西安 710032）

復變函數(shù)是高等院校工科專業(yè)的一門專業(yè)基礎課，在其后續(xù)的專業(yè)課中有著廣泛的應用。復變函數(shù)主要的研究對象是解析函數(shù)，而復變函數(shù)的積分是研究解析函數(shù)的重要工具，因此學好復變函數(shù)的積分特別是閉路積分成為了一個亟待解決的問題。但課程本身由于內容抽象，知識點多，部分同學數(shù)學底子差等，所以導致學習效果并不盡如人意。為了提高同學的學習興趣，使得同學們對知識更容易識記，本文嘗試在“戲說方式下創(chuàng)造一個的情景”，引入復變函數(shù)閉路積分的各種方法，并附以相應的例題，并且分析了“積分方法一家子”的區(qū)別和聯(lián)系，以幫助進一步加深理解和記憶，從而輕松解決閉路積分的相關問題。

1 復變函數(shù)閉路積分方法“群英會”

話說復變函數(shù)的閉路積分，真可謂方法眾多、功能各異，他們就如那“八仙過海，各顯神通”，在積分計算的大舞臺上大放著異彩。

其中龍頭老大當屬柯西-古薩（定理）（也稱柯西積分定理），它獨樹一幟，做事干脆利索。管你被積函數(shù)形式再復雜，猴子猴孫（被積函數(shù)的奇點）再多，只要你不犯我地盤（奇點不落在積分路徑內），我決定放你一馬，多余的功夫跟你不費，結果為0，一遍好好歇著！

柯西-古薩定理：

積分路徑有一奇點？哈哈，你還敢來煩老大——柯西-古薩（定理）？好自為之，趕緊繞道吧（柯西-古薩定理不再適用）。那誰來替俺主持公道（那咋算）？哼哼，江湖自有英雄！

積分方法1：迎面走來“例題哥”（典例結果）

嗯，例題哥在那弄啥咧？莫非相親嗎？大哥快來！柯西積分公式大聲呼叫高導公式：咱也湊湊熱鬧，打個擂臺，看看俺們行不行？

積分方法2：打扮好（變了形）的柯西積分公式精彩亮相：

積分方法3：換了造型（變了形）的高導公式盛裝出席：

恁倆啊？說中也中，說不中也不中；有時中，有時不中；要看對象是誰咧。

啥？還有比俺們高的神？

積分方法4：羅朗展式法。

例3還可以用如上留數(shù)規(guī)則1計算（其實柯西積分公式與其一致，但此處更容易，因為不需要對被積函數(shù)進行變形整理）。

留數(shù)計算規(guī)則2（m級極點）：

積分方法6：

例4還可以用如上留數(shù)規(guī)則2計算。（其實高導公式與其一致）

例3還可以用如上留數(shù)規(guī)則3計算（比柯西積分公式和留數(shù)規(guī)則1更容易，因為不需要對被積函數(shù)進行變形整理，另外計算更簡便，且本質上是一回事）。厲害了，額滴那個神啊！

神仙偶爾也失手，你來看看有沒有？

路徑里面多奇點，只能復合閉路“挖奇點”，加上積分的留數(shù)新知識，剛好整出積分計算之留數(shù)兩定理。留數(shù)定理一上場，從此積分它最響（盡量都用留數(shù)方法做）。內部不行轉外部，無窮遠點留數(shù)（規(guī)則4）來幫助。這種方法好處多（方法指的是留數(shù)定理并留數(shù)計算規(guī)則），簡便易行少繁瑣（不用“挖奇點”）；這種方法思路闊，所有積分都能做。

積分計算方法8留數(shù)定理+規(guī)則4：

山外青山樓外樓，無窮遠點（的留數(shù)法）你最牛。

哈哈，兄弟們！有緣千里來相會，贊來贊去也不是個事兒！

其實咱們都是一家子，所以千萬別客氣。為求積分聚一起，奇點在哪是大問題：

路徑內部無奇點，柯西-古薩最長臉。路徑內部一奇點，積分方法腦海閃。

路徑內部多奇點，留數(shù)定理來幫咱。各種方法來列隊，積分不再是個事（兒）。

2 聊聊復變函數(shù)閉路積分方法的“一家子”

說復變函數(shù)閉路積分方法都是一家子，其實是因為復變函數(shù)閉路積分的幾種方法相互之間都有著緊密的聯(lián)系，有的甚至是一回事。在授課過程中，我們是這樣處理的，在柯西-古薩定理的基礎上推出了復合閉路定理；利用復合閉路定理和“例題哥”結果引出了柯西積分公式的思考，并在復合閉路的基礎上證明了柯西積分公式；根據(jù)柯西積分公式證明高階導數(shù)公式；“例題哥”又是柯西積分公式和高導公式的特殊情況（被積函數(shù)分子為1）；在高導公式的基礎上，推出了解析函數(shù)的泰勒級數(shù)和洛朗級數(shù)；并對解析函數(shù)的羅朗展式兩端進一步進行積分探討，引出了留數(shù)定義；并利用復合閉路定理給出了復變函數(shù)閉路積分的留數(shù)定理；從此就將復變函數(shù)的積分運算轉化成了留數(shù)的計算；緊接著根據(jù)孤立奇點的分類，進一步探討了留數(shù)計算的四個常用規(guī)則。當積分路徑內部只有一個奇點時，柯西積分公式計算積分跟利用“留數(shù)定理和規(guī)則1”計算是一回事；高導公式計算積分跟利用“留數(shù)定理和規(guī)則2”計算也是一回事。特別是當積分路徑內多奇點時，利用留數(shù)定理和幾個規(guī)則聯(lián)合處理，就省去了“挖奇點”或者利用柯西積分公式和高導公式常常要把被積函數(shù)對著適用的函數(shù)特征進行整理的麻煩；特別是連同無窮遠點處的留數(shù)一起切切實實解決了前面的那些方法在某些問題上不能解決的麻煩。

舉例說明柯西積分公式與“留數(shù)定理+規(guī)則1”的一致性，如下：

當積分路徑內部有唯一奇點且是一級時，可以用柯西積分公式，也可以利用留數(shù)定理+規(guī)則1的計算方法。這里要注意公式和定理中的被積函數(shù)的書寫形式，原來定理中符號雖然一樣，其實意義不同，這里區(qū)分開來，后者用表示，因為是被積函數(shù)的一級極點，所以可以寫成這樣的形式，，所以有：

留數(shù)定理+規(guī)則1：

由此看見兩者是一致的。

3 小結

文中在戲說各種閉路積分方法時，采取情景化的模式，自然引出各個積分方法和對應的例題分析，并進一步分析了各種方法之間的聯(lián)系，理清了方法的本質，分析了各方法的優(yōu)劣。總之，在積分計算時，當積分路徑內部沒有奇點時，利用柯西-古薩定理直接結果為0；當積分路徑內部有奇點時，不管一個還是多個，最好采取“留數(shù)定理+留數(shù)計算規(guī)則”的各種組合模式。當然了，有的同學可能會先入為主，喜歡用前面的積分方法也是可以的，總之，多記一些方法和例題，認真分析和揣摩，舉一反三才能順利應對各種復變函數(shù)閉路積分計算的問題。