分段插值函數(shù)在電解質(zhì)溶解度的應(yīng)用

姚 星 劉炳廷 楊志高 羅一澳 廖芳芳

（湘南學(xué)院數(shù)學(xué)與金融學(xué)院 湖南·郴州 423000）

0 引言

固體溶解度數(shù)據(jù)是研究工業(yè)結(jié)晶分離過程、探討傳質(zhì)機(jī)理及化工設(shè)計(jì)和開發(fā)的重要基礎(chǔ)物性數(shù)據(jù)。然而，溶解度數(shù)據(jù)主要是在實(shí)驗(yàn)室中測(cè)出結(jié)果，但是從實(shí)驗(yàn)得到數(shù)據(jù)的所有結(jié)果也是非常困難的事。如果能通過實(shí)驗(yàn)測(cè)定一部分?jǐn)?shù)據(jù)之后，再通過數(shù)值計(jì)算近似得到其余部分的數(shù)據(jù)，那么會(huì)在很大程度上減少資源和人力的浪費(fèi)。比如電解質(zhì)氯化鎂在0℃下的溶解度為52.9；10℃下的溶解度為53.6；20℃時(shí)的溶解度為54.6……，但是如果你想得到15℃時(shí)的溶解度值是多少時(shí)，就可以根據(jù)它在其他溫度下的溶解度通過數(shù)值方法和數(shù)值計(jì)算來(lái)得到，不用再次通過實(shí)驗(yàn)測(cè)定得到，從而可以減少不必要的資源浪費(fèi)和實(shí)驗(yàn)過程。

生活中，有許多固體電解質(zhì)都被我們利用到，例如我們的藥物。藥物是我們生活的必需品，而藥物的溶解度會(huì)影響藥物的生物活性，近年來(lái)出現(xiàn)了很多新藥物，但新藥的溶解度數(shù)據(jù)測(cè)量卻比較繁瑣。這時(shí)，我們可以通過測(cè)定一些溫度下的溶解度然后近似計(jì)算出其他溫度下的溶解度，此時(shí)，我們可以采用各種方法來(lái)計(jì)算。

本文運(yùn)用分段線性插值和三次樣條插值，研究了九種電解質(zhì)在30℃下的溶解度，并進(jìn)一步通過曲線擬合與已有結(jié)果進(jìn)行比較。

1 電解質(zhì)和溶解度的定義

1.1 電解質(zhì)

電解質(zhì)是溶于水溶液中或在熔融狀態(tài)下能夠?qū)щ姷幕衔铮蠖际且噪x子鍵或極性共價(jià)鍵結(jié)合的物質(zhì)。

1.2 溶解度

溶解度：在一定溫度下，某固態(tài)物質(zhì)在100g溶劑（通常為水）中達(dá)到飽和狀態(tài)（溶解溶劑的最大量）時(shí)所溶解的溶質(zhì)的質(zhì)量。

2 九種電解質(zhì)在不同溫度下的溶解度

通過查找化學(xué)手冊(cè)，得到表1中不同電解質(zhì)在不同溫度下的溶解度。

表1：常見九種電解質(zhì)在不同溫度下的溶解度(g/100g水)

3 分段線性插值計(jì)算溶解度

以溫度為自變量，對(duì)應(yīng)的溶解度為因變量，運(yùn)用分段線性插值函數(shù)，以 0，10，20，40，60，80 為節(jié)點(diǎn)在Matlab軟件進(jìn)行編程，計(jì)算在插值點(diǎn)30℃時(shí)的溶解度。

Matlab程序如下：

圖1：分段線性插值法在30℃時(shí)的溶解度的求解程序

程序結(jié)果：

圖2：分段線性插值法在30℃時(shí)的溶解度

4 三次樣條插值計(jì)算溶解度

以溫度為自變量，對(duì)應(yīng)的溶解度為因變量，運(yùn)用三次樣條插值函數(shù)，以 0，10，20，40，60，80 為節(jié)點(diǎn)在Matlab軟件進(jìn)行編程，計(jì)算在插值點(diǎn)30℃時(shí)的溶解度。

程序如下：（見圖 3）。

圖3：三次樣條插值法在30℃時(shí)的溶解度的程序求解

結(jié)果如下：（見圖 4）。

圖4：三次樣條插值法在30℃時(shí)的溶解度

5 分段線性插值與三次樣條插值在30℃電解質(zhì)溶解度的比較

5.1 相對(duì)誤差

從表2中我們可以看出一些電解質(zhì)在用分段線性插值所得的誤差比較小，而有的電解質(zhì)用三次樣條插值所得的結(jié)果更為精確。

表2：相對(duì)誤差

5.2 曲線擬合

曲線擬合：根據(jù)一組平面上的點(diǎn)，要求確定一個(gè)函數(shù)y=f（x），即曲線，使得這些點(diǎn)盡量與曲線接近，這就是曲線擬合。從而可以設(shè)擬合多項(xiàng)式為：

用Matlab編程來(lái)計(jì)算分別用分段線性插值和三次樣條插值的方法得到的擬合多項(xiàng)式。

代碼如下：（見圖 5）。

圖5：一元擬合多項(xiàng)式求解程序

y1表示了表格中的九種電解質(zhì)在30℃時(shí)溶解度的文獻(xiàn)值，y2表示了表格中的九種電解質(zhì)用分段線性插值法計(jì)算出在30℃時(shí)溶解度的值，y3表示了表格中的九種電解質(zhì)用三次樣條插值法計(jì)算出在30℃時(shí)溶解度的值。

pk1是利用分段線性插值法的原理得到的一元擬合多項(xiàng)式，pk2是利用三次樣條插值法的原理得到的一元擬合多項(xiàng)式。

結(jié)果如下：

圖6：一元擬合多項(xiàng)式

接下來(lái)，用數(shù)字1來(lái)表示氯化鎂，用數(shù)字2來(lái)表示碳酸鋰，用數(shù)字3來(lái)表示碘化鋰，有數(shù)字4來(lái)表示氯化銨，用數(shù)字5來(lái)表示硝酸銨，用數(shù)字6來(lái)表示碘，用數(shù)字7來(lái)表示溴化鉀，用數(shù)字8來(lái)表示碳酸鉀，用數(shù)字9來(lái)表示氯化鉀。用擬合曲線y=x的圖象來(lái)與用分段線性插值得到的擬合多項(xiàng)式圖像及用三次樣條插值得到的擬合多項(xiàng)式圖像進(jìn)行曲線擬合比較。

代碼如下：

圖7：曲線擬合程序

結(jié)果如下：（見圖 8）。

圖8：曲線擬合的圖像

分析：黑色線條是我們文獻(xiàn)值的標(biāo)準(zhǔn)線條，用“*”連接的紫色線條是三次樣條插值擬合多項(xiàng)式，用“o”連接的綠色線條就是分段線性插值擬合多項(xiàng)式。可以看出，紫色的曲線比綠色的曲線更加逼近我們的標(biāo)準(zhǔn)曲線，由此我們可以得到結(jié)論，三次樣條插值法比分段線性插值法得到的計(jì)算值更為逼近我們的標(biāo)準(zhǔn)值，也就是說(shuō)，三次樣條插值法更為收斂、穩(wěn)定。