新課標下初中數學教學逆向思維的開發與探索

馬建林

【摘要】隨著科學技術的不斷發展，社會對于教育的要求也不斷提高.初中作為義務教育的基礎階段，其所蘊含的教學重要性不言而喻.在傳統的教學模式里，題目—公式—答案是教師在很長一段時間里所推崇的做題思路，這種題海戰術對于應試確實卓有成效，但也在一定程度上固定了學生的思維.所以在新課標下的初中數學的教學策略中，逆向思維這一教學概念被提出，如何培養學生的逆向思維能力就成了教師的首要工作任務.

【關鍵詞】新課標;初中數學教學;教學方式;開發與探索

逆向思維，顧名思義就是“倒過來”的思維.在應試教育下，基本上所有人都是從已知出發去尋找未知，但是在求解未知之后，又有多少人能夠從已知的未知出發逆推回最開始的問題呢？這種思維方式打破了大部分人的定式思維，為解決問題提供了另一個乃至多個思考方向，從問題的另一面進行更為深入的探索.本文從逆向思維的概念到培養學生逆向思維的目的以及培養逆向思維的方式方法進行了一個較為完整的闡述，希望有助于今后的新課標下初中數學教學的推進與發展.

一、逆向思維的培養對于初中數學教學的重要性

在新課標的教學要求下，教師應更多地對學生進行逆向思維的培養，這有助于學生在分析問題尋找答案的過程中有更多視角可以選擇，從而收獲解決問題所帶來的成就感，讓學生感受到數學的魅力，提高上課的積極性，同時也有效地豐富了課堂內容.

例如，在講授“二元一次方程組消元法”的章節中，學生因為剛剛進入初中，對于一元一次方程、二元一次方程的解法還處于不熟練的階段.教材上的例題講解，大多都是讓學生從題目中的已知條件出發，通過列式與不斷變式得出結論，有一些抽象思維不是特別敏捷的學生可能會對此感到困惑，對于解題步驟、技巧等無法理解和吸收.而當正向思維的解題方式行不通時，教師可以引導學生用逆向思維進行思考.例如：

可以先設x=5，y=6.

隨便想兩個數字與x，y相乘相加，就有4×5+2×6=32，所以得出4x+2y=32，再隨便想兩個數字與x，y相乘相減，就有5×5-4×6=1，所以得出5x-4y=1，將兩個式子放在一起我們就可以得出一個完整的二元一次方程組：4x+2y=32，5x-4y=1.

通過這樣的方法，學生就能從出題者的角度來思考，從題目的另一種方向來解答.教師再通過不斷地以題補題，讓學生對消元法的使用得到更深層次地理解與掌握.

二、在初中數學教育中如何對學生進行逆向思維的培養

1.反向思考，突破學生定式思維的困境

在這個世界上任何事物都有正反兩面，就像數學定理一樣，通過一個已知條件推導知另一個定理，但是新得知的定理逆推回去就一定能得到原來的條件嗎？答案是不一定的.所以數學才會衍生出命題、逆命題、互逆命題等概念.在通常的教學實踐中，都是從已知的命題出發，通過平時教學中所積累的方法，最終得出答案.但是在某些章節的學習中，從原命題出發的這個方法就不適用了.這時候，命題的對立面——逆命題這個概念就出現了.

例如：在進行幾何的教學時，就出現了一個命題：兩直線平行，同位角相等.它的逆命題是：同位角相等，兩直線平行.由于這兩個命題的結論與條件互為對方的條件與結論，所以我們稱之為互逆命題.通過這個例子可以引出命題與逆命題之間“逆”的關系，就是反之成立.讓學生從原命題出發去思考它的相反方向是不是也成立.再比如對頂角相等這個命題的逆命題就是相等的角是對頂角，這個逆命題就是錯的.像這樣不斷通過命題與逆命題的思考，可能讓學生形成逆向思維的思考方式，在思考一個問題的同時去思考這個問題的對立面是否正確，充分發揮學生的腦力，引導學生進行探索，最終養成逆向思維的習慣.

命題對于有些理解力不足的學生來說可能就是記住了事，但是如果有了逆向思維引導的話，就可以使學生不僅能夠加強對原有命題的理解與掌握，還能從事物的對立面去思考與探索，摸索出屬于自己的逆向思維方式.

2.發散思維，營造獨立思考的環境

在新課標這個教育目標下，教師就應當發揮園丁的角色，引導學生通過逆向思維的方式對問題進行思考、解決問題，激發他們對于逆向思維的興趣，從而自主地實現思維方式的轉變.如果學生自己沒有意識到思維方式需要轉變，那就很容易形成思維定式.

例如：在講授“三條邊都相等的三角形是等邊三角形”時，學生都知道這個定義是正確的，那么逆推回來呢？等邊三角形的三條邊相等也是正確的;三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角之和這個結論是正確的，相反，它的逆命題：不相鄰的兩個內角之和等于三角形的一個外角也是對的;等腰三角形的兩條邊相等與兩條邊相等的三角形是等腰三角形都是真命題等等，通過這樣不斷對不同命題進行逆推訓練，能讓學生在思考問題的時候下意識地想起：這個問題是否有對立面，它的對立面是否正確，為什么正確等.與此同時，教師作為指引者還要在大環境中營造這種思考氛圍，通過小組PPT展示的方法，讓每個學生都參與到逆向思維的思考中，這樣整個班就能共同營造出逆向思考的氛圍.

環境對人的影響總是潛移默化的，環境氛圍到位了，只要身在其中，就會自發地開始轉變.思維上的轉變更要注重氛圍，只有所有人都身處其中，才能自發地對轉變思維提供一個向前的推動力.

3.解決問題，培養反向思維的能力

進行教育的目的是解決問題.在初中數學的教學過程中，教師上課的目的在于教授學生知識，學生將其吸收掌握之后對實際問題進行應用解答.解決問題的方法有很多，可以正向推導，也可以逆向推導，只要能解決問題就是正確的方法，所以途徑沒有正反之分，只有正確與否，正反只是相互對比得出的客觀存在.在了解并淺顯地掌握了逆向思維的思考方式之后，如何應用就是下一步的目標.在解決問題的過程中，教師要讓學生從實際出發，這樣能更加深刻地體會到逆向思維的運用，并將其應用至其他地方.

例如：數學證明中有一種方法叫反證法，就是將題目中所要證明的結論先設為否定，通過否定不成立來逆推出原結論成立.就像題目：求證：2不是有理數.我們就可以用反證法的思維來推導：

先假設2為有理數，那么存在兩個互質的正整數p，q，

使得2=pq，

將等式左邊的2移至右邊，得出 p=2q，

再將等式兩邊同時平方，得出p2=2q2，

由偶數都是可以被2整除可以得出2q2是偶數，所以p2也是偶數.

由偶數的平方也是偶數可知p是偶數，

因此就可以設p=2s，代入上式，得4s2=2q2，

即p2=2s2.

根據上述定理可知q也是偶數.

所以p，q都是不互質的偶數，與題目所給條件矛盾，

故2不能寫成分數形式，即2不是有理數.

這樣的反向思考方式能讓學生從無法求證的困境中脫離出來，尋找到解決問題的方法.

單靠理論上的講解很難對思維方式進行改變，所以從解決實際問題著手，讓學生在問題的求解過程中領會到逆向思維的思考方式，從而對它有更深刻地理解，加強了學生對它的掌握能力，最終達到教學目標.

4.加強訓練，養成逆向思考的習慣

正向思維之所以被稱為正向思維，是因為它的大眾性與常規性，它是大部分人在大部分時間里對于外界認知的思考方式，也就是所謂的慣性思維.所以在學生已經接受了十年左右的正向思維的熏陶下，想要轉變他們的思維方式，就必須經過大量的培訓與系統的訓練.只有足夠大的量才能引起質的變化，只有大量運用逆向思維來解決問題，才能對思維方式進行改變.

例如：遇到“若化簡|1-x|-|x-4|的結果為2x-5，求x的取值范圍”這樣的題目，從它的反面入手思考就是一條更好的捷徑.

原式=|1-x|-|x-4|

由題目可知，|1-x|-|x-4|=2x-5

因為原式帶有絕對值，直接運算是不現實的，所以我們就可以從絕對值概念的反方向思考，可知1-x≤0，且x-4≤0.

由上述不等式就可推出1≤x≤4.

再比如“若已知關于x的不等式（a-1）x>a2-2的解集為x<2，求a的值”這樣的題目，我們同樣也可以用反向思維來解題：

根據不等式的基本性質：不等式兩邊都乘（或除以）同一個負數，不等號的方向發生改變，可以得出a-1<0，且a2-2=2（a-1），可以求得a=0.

通過這樣的習題訓練，能讓學生充分感受到逆向思維的思考過程，加快思維轉變的速度與進程.思維的轉變光靠教師課上的45分鐘引導肯定是不夠的，所以無論教師還是學生都要注重課后的時間，對這部分時間加以高效地利用，才能將教師課上所傳授的知識進行更深層次的理解和掌握，進而徹底擁有逆向思考的能力，將其在考試中、實踐中得到最大程度的利用，從而達到新課標標準下的數學教學目的.

綜上所述，思維的轉變不是一蹴而就的，需要長時間的訓練，以及系統性的教學與指引.從提出概念到營造環境，從介紹內涵到重復訓練，這都是教師所計劃的周期性教學活動.可以說如果沒有教師前期的探討、計劃到最后的付諸實踐，就沒有逆向思維的培養，也就沒有思想上的進步.教育本就是國之根本，作為一名教師，教書育人就是本職工作，為家庭、為社會、為國家培養下一代的人才就是教育的根本目標.教師只有做好本職工作，培養好了學生的思維能力，才能推動社會的發展，使得全人類都擁有光明的未來.

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