HPM視角下的高中數學新授課教學設計與反思

毛永強

體現數學的文化價值是我國《普通高中數學課程標準》的基本理念之一，隨著新課程的全面實施，如何在教材中體現數學文化，如何在課堂中滲透數學文化，如何在中學數學教學中融入數學文化，受到我國中學數學教育界的普遍關注.筆者認為將數學史引入課堂是體現數學文化最有效的著力點.

本文以“等差數列前n項和公式”的教學為例，嘗試如何在新授課教學中體現數學史與數學文化教育.

一、教學內容分析

“等差數列前n項和公式”是滬教版第7章“數列與數學歸納法”第二節的內容，教材由高斯求和引入，得出等差數列前n項和公式，[JP2]用高斯求和法引入一般等差數列前n項和公式，為“倒序求和法”搭建了一個十分恰當的“腳手架”.[JP]

從數學歷史視角分析，等差數列前n項和公式是這樣推導的嗎？要讓學生用好等差數列前n項和公式就必須讓學生明白公式的由來以及公式背后所隱藏的數學思維過程以及數學思想方法.

基于這種想法，本案例在史料分析的基礎上，依據“最近發展區”原理，從學生初中已經掌握的知識出發，探求等差數列前n項和公式.

二、史料分析與選取

兩百多年前，德國數學家高斯10歲的時候，有一次老師教完加法后提出了一個問題：1+2+3+…+100=？其他同學過了很長時間才交卷，而且沒有一個算對的，高斯用首尾相加的辦法得出結果，這就是今天“倒序相加法”的雛形.其實，高斯并不是歷史上第一個使用該方法求等差數列和的數學家，追溯歷史，在高斯之前有許多智者已經推導了等差數列的求和公式，分述如下.

（1）《九章算術》成書于公元一世紀，其中有個問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，問次一尺各重幾何？”意思是：“現有一根金杖，長5尺，在最粗的一端截下1尺，重4斤;在最細的一端截下1尺，重2斤，問依次每一尺各重多少斤？”.

（2）丟番圖撰寫的《論多邊形數》，時間大約在公元三世紀，書中用幾何方法證明了首項為a，末項為l，項數為n的等差數列之和為S=n（l+a）2.

（3）《張邱健算經》成書于公元5世紀，其中有一題：“今有女不善織，日減功遲.初日織五尺，末日織一尺，今三十日織訖，問織幾何？”解曰：“并初、末日織尺數，半之，余以乘織訖日數，即得”.本題作為問題三.

（4）阿爾·卡克希撰寫的《代數之榮耀》，約公元973～1048年，書中記載：1+2+3+…+n=n（n+1）2，阿爾·卡克希用倒序相加法證明了上述命題，并且把這種方法用于一般的等差數列求和，本案例將其改編為求三角形圖案中寶石的個數.

（5）宋代著名數學家楊輝在《續古摘奇算法卷上》（1275年與他人合編）有一個問題：“天數一三五七九，地數二四六八十，積五十五”.求積法曰：“并上下數共一十一，以高數十乘之，得百一十，折半得五十五，為天地之數”.

這些古今中外的結論都要早于高斯對等差數列前n項和公式的探究，當然，說不定在《九章算術》之前，還有人給出了等差數列的求和公式，或者已經在應用等差數列求和公式的思想和方法解決問題，只是這些成果隕落在歷史的塵埃里了.

基于上述史料分析，結合本課教學目標，設計下列教學過程.

三、教學過程設計

1.情境引入

問題1.德國著名數學家高斯10歲的時候很快就解決了問題：1+2+3+…+100=？你知道高斯是怎樣算出來的嗎？

問題2.下圖是設計師設計的一個以寶石鑲嵌的三角形圖案，共有n層（見圖1），請你算一算這個圖案一共需要多少顆寶石？

生1：共有（1+2+3+…+n）個.

師：你能把它加起來嗎？

生1：茫然……

師：我們回顧一下初中是怎樣求三角形面積的？

生2：將三角形旋轉倒置，與原三角形相接構成一個平行四邊形，這樣每一個三角形的面積是四邊形面積的一半.

生2：也可以用這個方法求解前n個自然數的和.如圖2，在三角形旁邊倒立一個同樣的三角形構成一個平行四邊形，求圖案中寶石的個數.

設計意圖：把阿爾·卡克希記載的1+2+3+…+n=n（n+1）2的結論通過三角形圖案的寶石個數直觀表示出來，借用初中三角形面積的求解，既為學生搭建了合理的“學習支架”又滲透了數學歷史文化.

2.公式推導

定義：數列的前n項和是把數列的前n項加起來：Sn=a1+a2+…+an.

右圖“割”，即把梯形分割成一個平行四邊形和一個三角形，梯形面積即為平行四邊形面積與三角形面積之和.

設計意圖：以形助數，借助圖像加深公式記憶，給出公式的幾何解釋.

4.公式應用（略）

小結：本節課掌握了那些知識？用到那些方法？（學生小結師補充）

四、基于數學文化的教學反思

本案例沒有照本宣科地完全按照課本內容設計，而是先對本節課所涉及的數學史進行深入研究，將其中適合本節課的內容貫穿其中，讓學生既欣賞到“冰冷的美麗”又感受到“火熱的發現”，具體體現在以下幾個方面：

1.緊扣課標準確定位教學目標，融入數學史激發學生學習興趣

《普通高中數學課程標準》重視數學文化在教學中的滲透，強調把數學文化融入數學教學過程中，筆者認為把數學史融入教學是滲透數學文化的有效方法之一，通過數學史尋找數學概念的發展過程，在潛移默化中提高學生的思想文化修養.基于此確定了本節課的教學目標，從兩個鮮活實例引入，激發了學生的學習興趣，如果抽去案例本身的背景，建構數學模型后發現它們是同一個問題，即等差數列的求和問題，自然過渡到本節的主題.

2.精雕細琢，挖掘數學文化素材，開拓學生數學視野

能否在數學教學中滲透數學歷史文化關鍵取決于教師的意識，落實在于教學素材的選取，素材選取一般是通過挖掘數學歷史名題，這些題目通過代代相傳又經過琢磨提煉，經受了歷史的檢驗，最終成為數學百花園中的奇花異草，也是數學文化的重要載體，就本節課“等差數列前n項和”而言，《九章算術》中《盈不足》第19題、《衰分》第1題、《均輸》第17題、第18題都是很好的“學材”，《算法統宗》《張邱建算經》《孫子算經》《四元玉鑒》《洛書》都有大量關于等差數列前n項和的相關題目，本案例通過例題分析，讓學生穿越時空，開拓學生數學視野，充分感受數學文化的魅力.“千淘萬漉雖辛苦，吹盡狂沙始到金”，數學歷史文化與數學知識相輔相成，能激發學生的學習興趣，有效落實學生核心素養的培養目標.

3.滲透數學文化，培養學生探究能力

本案例以高斯算法為例，具體求解自然數前100項的和，以寶石鑲嵌圖案為背景從具體數字出發過渡到自然數n，即第1層到第n層，依據初中知識構建學習支架，即通過在三角形旁邊倒立一個同樣的三角形構成一個平行四邊形，直觀形象的說明等差數列前n項和的本質.此時，等差數列求和方法“呼之欲出”，推導更一般的等差數列前n項和公式“水到渠成”，從特殊到一般培養學生的探究能力.

HPM視角下高中數學課堂教學，為師生了解數學發展歷程提供了新的思路，通過史料分析，名題呈現感受數學發展的心路歷程，體驗數學歷史文化，有效傳承人類思維方式和探索本能的血脈.