平均數計算中的幾種誤解

黃發勝

【摘要】平均數計算是中小學數學中最常見、最基本的計算，是每個學生都必須牢固掌握的計算，但在實際教學中，學生在解有關平均數的計算題時卻常常出現錯誤.本文收集了一些常見錯誤題型，詳細分析了錯誤原因，并形成理論知識，定義了三種平均數，給出了計算公式，以便于師生應用推廣.

【關鍵詞】平均數;計算;誤解

平均數是統計中的一個重要概念.在現行數學教材中，統計學知識在小學教材中零散出現，到初中數學中才系統地呈現.作為統計學中最基礎的平均數，其定義及計算也是逐漸擴展的.小學數學里所講的平均數一般是指算術平均數，也就是一組數據的和除以這組數據的個數所得的商.在統計中，算術平均數通常反映一組數據的集中趨勢，它是描述數據集中程度的一個統計量，用來反映一組數據的“重心”.平均數有直觀、簡明的特點，可以反映出一組數據最直觀的分布情況，所以在日常生活中使用廣泛，如平均成績、平均質量、平均身高等.

[JP2]在小學數學中，把兩個數的和除以2后所得的數叫作這兩個數的平均數，這一定義一直延續到初三.在初三“統計初步”一章中，把兩個數x1，x2的平均數定義為x-=12（x1+x2），[JP]推廣后得到n個數x1，x2，x3，…，xn的平均數為x-=1n（x1+x2+…+xn）.簡而言之，小學到初中，求平均數的方法是：幾個數的平均數等于這幾個數的和再除以幾.然而正是這種傳統的習慣求法，導致學生不具體分析問題，機械地亂套公式，這不利于培養學生解決問題的能力.下面我們通過幾個例子分析學生在平均數計算中常出現的錯誤及產生錯誤的原因.

一、計算平均數的實例

例1 某鄉鎮企業的產值，去年比前年增長20%，今年又比去年增長30%，問：這兩年的平均增長率是多少？

例2 有一不等臂天平，把某一物體置于左盤，稱得質量為1千克;把此物體置于右盤，稱得質量為0.81千克，求此物體的實際質量.

例3 某同學騎自行車從家去縣城，去時速度為10千米/時，返回時速度為20千米/時，求此同學往返的平均速度.

二、平均數計算中常見的誤解

上面三例都是平均數計算問題，例2雖沒提出計算平均質量，但根據有關物理知識可知，也是求平均數問題.受傳統平均數概念的影響，學生出現了下面解法.

例1 平均增長率x-=12×（20%+30%）=25%.

例2 實際質量m=12×（1+0.81）=0.905（千克）.

例3 平均速度v=12×（10+20）=15（千米/時）.

三、上面三例的正確解法及推廣

對待任何問題都要具體分析，抓住問題的主要矛盾.這一原理反映在數學上就是要弄清題意，抓住問題涉及的定理或定義，從而找到解決問題的方法.下面我們把提出的問題加以討論，得出一般性的結論.

1.若去年的增長率為a，今年的增長率為b，設這兩年的平均增長率為x.

把前年的產值看作“1”，則去年產值為1+a，今年的產值為（1+a）（1+b）.又因為年平均增長率為x，故今年產值為（1+x）2.于是有方程：

五、平均數計算中的錯誤辨析

1.例1中，錯誤解法為：x-=20%+30%2=25%，現在分析一下產生錯誤的原因：

① 兩次增長的百分率不能簡單地相加，由于增長前后每年的基數不同，即今年比前年的增長率不是20%+30%=50%，而是（1+20%）（1+30%）-1=56%.

② 平均增長率也不能用增長率除以2計算，即50%÷2=25%是錯誤的，且56%÷2=28%也是錯誤的，由公式（1） 知：1+x是1+a與1+b的幾何平均數，而幾何平均數根本不需除以2，故正確解為：

x=（1+20%）（1+30%）-1≈24.9%.

③ 囿于習慣算法，誤把幾何平均數問題當成算術平均數問題，因而出現理論性錯誤.

2.例2中，錯誤解法為m=1+0.812=0.905（千克），產生錯誤的原因有以下幾點：

① 沒有抓住問題的關鍵——杠桿平衡原理，是產生錯誤的根本原因.

② 對物理課本中的論述“多次測量取平均值，這樣可減小誤差，使測量結果更接近真實值”沒有理解透徹，而錯誤地把兩次測得的值的平均值當成真實值.

③ 本題求的是幾何平均值，正確的結果是m=m1m2=0.9（千克），即使算術平均數也巧合為0.9千克，理論上仍是錯誤的.

3.例3中求平均速度出現錯誤的原因是：

① 對平均速度概念不理解是產生錯誤的根本原因.平均速度=總路程/總時間，而不等于來去速度的算術平均值.

② 對“平均”片面的、習慣的理解是產生錯誤的另一個原因，根據公式（4），本題的平均速度v是v1與v2的調和平均數，

即v=2110+120=403（千米/時），難怪v=10+202=15（千米/時）錯了.

從上面分析的結果看，產生誤解的一個重要原因是：沒有對具體問題進行具體分析，囿于習慣定式，思維狹隘，亂套公式.因此，我們在教學中要更加注重培養學生分析問題和解決問題的能力，適當擴展學生的知識面，如引入幾何平均數、調和平均數的概念，這樣學生就不會把平均數簡單理解為算術平均數，既可防止平均數計算中出現類似錯誤，又能培養學生解決實際問題的能力，推動素質教育的發展.

六、平均數計算中出現誤區的原因分析

1.在平均數概念界定上的誤區

現在仍然有不少學生認為“平均數”就是“算術平均數”，把平均數計算程序化、機械化.造成這個局面的原因既有教師教的原因，如沒有把概念講透或沒有對比不同類型的平均數計算，也有學生不認真學習的原因，如對概念理解粗糙.

2.相關學科知識重點的理解偏移

雖然平均數計算已經不是教學中的難點，但如果學生對各學科中相應知識的理解不夠，如物理學中的平均速度、平均質量，統計學中的增長率問題等，他們仍然會把理解的重點放在算術平均數的概念上，把相應學科中的概念理解偏了，比如平均速度是指在一段時間內通過的總距離除以總時間，而不能理解成幾個速度的平均值.

3.對“平均數的求法”只顧算法，沒有方法

關于平均數的求法，大多數學生死套公式，不做具體分析，大部分教師在課堂上只講解題模式，為后面的平均數應用題服務.這就造成一個學習理解的誤區，學生只是想如何套用老師講的解題模型，而不是探究怎樣得出解決這個問題的方法，因此常常出現一些錯誤解法.

七、平均數計算拓展練習

1.某廠1月份產值為12萬元，2月份比1月份增長10%，3月份又比2月份增長14%，求每月的平均增長率.

2.有一個杠桿（支點固定），當從左端下壓撬起一重物時，用100牛的力，從右端下壓撬起同一重物時，用900牛的力，問：這一物體的質量是多少？

3.某市舉報中心的信件處理員每天都要處理一定量的信件，已知處理員小李第一天處理信件的速度為6封/時，第二天處理的速度為12封/時，問：小李這兩天平均的處理速度是多少？

4.“十一”長假期間，小李一家從天水出發到蘭州去旅游，前一半路上的速度為40千米/時，后一半路上的速度為60千米/時，試問：整段路上的平均速度是多少？

5.如果一個正方形與一個矩形的面積相等，那么正方形的邊長是矩形長與寬的什么平均數？