數的多維化表達探討

解家江

【摘要】數是事物的特定屬性的量值的形式表示.從自然數到實數再到復數，是數從離散到一維再到二維的拓展.為了用一個數表達事物多個屬性的量值，將復數概念推廣，比擬歐幾里得幾何，即得到多維歐幾里得數和多維非歐幾里得數的概念，由此產生了多維歐幾里得“數空間”和多維非歐幾里得“數空間”，并引申出多維歐幾里得數和多維非歐幾里得數的基本運算規則.

【關鍵詞】多維歐氏數;多維非歐氏數;數空間

一、數的發展簡史隱含數的多維化趨勢

數，是日常生活中不可缺少的，更是自然科學之父，然而遠古人類是沒有數的概念的.遠古人類對數只有模糊的認識，最初形成“有”和“無”的概念，隨著 “有”“無”概念逐漸加深，在對勞動成果的食用、比較中，感覺到某天獵獲的食物不夠吃，某天獵獲的食物足夠吃或有剩余，便又逐漸產生了“多”和“少”的概念.最早至舊石器時代的晚期，隨著人類勞動的復雜化、語言的產生、智力的快速發展，人類“數”的概念終于覺醒，人類識別出了獵物、食物以至自身的一個又一個獨立的個體，并認識到它們“有數量”，進一步嘗試表達、記錄這種“數量”，或是用結繩計數，或是用樹枝劃線、畫圖形計數.《易經》記載，上古時期的中國人曾“結繩而治”，就是用在繩上打結的辦法來記事表數，美索不達米亞人和埃及人也以同樣的方式建立了最早的書寫自然數的系統，在樹木或石頭上刻痕劃印來記錄流逝的日子，都用單劃表示“一”，這樣逐漸產生了“1”“2”“3”等數量的概念，這也是自然數概念的雛形.大約在1萬年前，人類尤其是中東地區的部落開始了農耕生活，他們碰到了“如何記錄日期、季節”“如何計算田地塊數、大小”“如何計算收藏谷物數、種子數”等問題，這就要求數要有名稱，而且計數必須更準確些，只有“一”“二”“三”“多”，已遠遠不夠了，他們嘗試以符號代替刻痕.為了記錄事物很大的數量，古人很早就發明了進位制.所以數起源于原始人類的生活所需，各種表達、記錄自然數的符號，是人類最偉大的發明之一.而這種符號系統中最好用、并被世界各地普遍接受的是阿拉伯數字，阿拉伯數字起源于印度，是公元3世紀由印度的一位科學家巴格達發明的，經由阿拉伯人傳向四方.有意思的是，“0”這一神秘、重要的數字，也是印度人對哲學“絕對無”思想做深入思考后的發明.至此，自然數及其表達符號系統（阿拉伯數字）已經完整的產生了.

不過由于食物、用品分配的需要，古人發現，僅僅有自然數是遠遠不行的，比如：7個人一起狩獵得到一只野羊，如何分配？一位母親手中有一個大玉米棒，她有2個子女時，她可能無意識地就將玉米棒掰成較均勻的2部分.這樣的行為反復沖擊古人的思維，久而久之，分數概念就產生了.

再后來，經過觀察、思考，人們又發現很多表達事物性質的量值具有相反的意義，比如增加和減少、向上和向下、向前和向后，為了表達這樣的量，人們又發明了負數.于是正整數、負整數、正分數、負分數和0，就形成了有理數.

在古代，對有理數的研究無疑是古希臘畢達哥拉斯學派最為出色.但又是畢達哥拉斯的一位弟子希帕索斯的研究成果給畢達哥拉斯學派的數學大廈帶來了危機.希帕索斯和學生畫了一個邊長為1的正方形，但是這個正方形的對角線與其一邊的長度是不可公度的（若正方形邊長是1，則其對角線的長不是一個有理數）.雖然這條對角線就實實在在地呈現在人們眼前，可它的長度是多少呢？又該怎樣表示呢？最后希帕索斯認定這是一個從未見過的新數.這就是后來人們命名的“無理數”，這些數無法用準確的數字表示出來，是無限不循環小數.不過這一發現給希帕索斯帶來的不是榮耀，而是災難，這類數的性質與畢氏學派“萬物皆為數”（指有理數）的哲理大相徑庭，導至最后希帕索斯被沉船處死.

盡管如此，無理數的發現還是傳播開來并得到大家認可.數學家通過對無理數和有理數進行整理，就形成了實數.在這一過程中，數學家發現，人類發現的數字已浩如煙海，已從零星發展到密集，從分散發展到連續.于是，16世紀的數學家笛卡兒用數軸將實數可視化，把每一個實數填入數軸中的每個點.

實數系統并沒有給快速發展的近代數學提供堅不可摧的支撐，“x2+n=0”這類方程（n為正數），就曾使徘徊于實數系統中的數學家不知所措.天才數學家高斯為使方程“x2+1=0”有解大膽地引入了“i”這個虛數單位，不僅使方程得解，并且將數這一龐大系統擴展到復數，即實數和虛數構成復數.在此基礎上建立了復平面的概念.

回顧人類對數的認識，我們不難得出：數的本質是已被限定范圍的事物的特定屬性的量值的形式表示，當給出一個數，這個數不僅反映了一事物某屬性的量值，而且也隱含了該事物的質，例如“2cos θ+36sin θi”在物理上就能表示電流的性質，清晰而簡潔.數的產生、發展伴隨著人類的進步，人類對數的認識從自然數發展到了復數[1].下面嘗試對復數這一表達方式進行拓展，引入數的多維表達方式，通過多維數來表達一事物不同性質的多方面的量值的大小.

二、數的一維、二維化表達

在數的不斷認識和應用中，為了使數形象化、直觀化，笛卡兒為我們引入了數軸這一工具.在數軸上表示自然數，為：0，1，2，3……它們是離散的，很明顯各相鄰的自然數之間有等長空隙;認識分數后，數與數之間間隔變小;引入負數概念后，數軸在另一方向上無限延伸;發現無理數后，數發展為實數，數軸被填充滿[2].于是完成了數的“一維化”.

其后，高斯為了解方程“x2+1=0”，引入了虛數單位i，數便發展到復數，復數表示為：a+bi.

至此，復平面被充滿，完成了數的“二維化”.

在這種情形下，數軸是直的，復平面是平的，比擬歐幾里得幾何，實數、復數可分別稱為一維歐幾里得數、二維歐幾里得數.

三、多維歐氏數

比照空間幾何學，再次提高數的維度，引入三維歐幾里得數，表達為a+bi+cj，a，b，c為實數.

如果將三維歐氏數形象化，則三維歐氏數均勻地充滿三維數空間，向上、下、左、右、前、后平直延伸.三維歐氏數的三個數軸可互相垂直，也可不互相垂直.

使用三維歐幾里得數可以方便地表達一事物三方面屬性的大小及其相互間的關系.

為了表述一事物更多方面屬性的大小及關系，進一步引入多維歐幾里得數.其表達形式為：ai1+bi2+ci3+…+min，i1，…，in相當于數在某維（某數軸）上的單位量值，多維數各個數軸可以互相垂直，也可以不互相垂直，但各數軸是平直延伸的，因而可稱這種數為多維歐氏數.

多維歐幾里得數均勻布滿平直延伸的歐幾里得數空間.

四、多維非歐氏數

與多維歐幾里得數對應，為了表達一事物多個復雜且變幻的屬性的量值及其關系，進一步引入多維非歐幾里得數.

其形式為：aj1+bj2+cj3+…+mjn，j1，…，jn相當于數在某維（某數軸）上的單位量值.

對于多維非歐氏數空間，規定：

（1）數空間中的數軸是非平直延伸的;

（2）數空間中各個區域中數的密度不是完全相同的，即密度不是均勻的.

規定（1）的意思是：對于相鄰的“數點”A，B，連接A，B兩點，作此連線的切線，則與A點或B點最近的點不一定在此切線上.

規定（2）的意思是：如果以σ為半徑將數空間分為一個一個的區域，則各個以σ為半徑的子數空間區域中，數的“個數”不全相同，有的區域可能有很多個或無限多個數，有的區域可能有較少個數，而有的區域則可能為“空數區域”，即該區域沒有任何數.

為了準確地表述多維非歐氏數及多維非歐氏數空間，引入描述數空間非平直（彎曲）程度的一個量γ，和描述非歐高維數密度的量ρ.γ和ρ在多維非歐式數空間中是可變的.

在多維歐氏數空間中，也需要由γ和ρ來表述數空間的特征，只不過這里的γ和ρ被認為是恒量，γ恒等于歐氏數空間中的Ι，而ρ恒為D∞，D∞表示在任意無窮小的區域中數是均勻可數而無限多的.

五、多維歐氏數及多維非歐氏數的大小比較

實數在本質上表達了事物一方面的屬性的大小.復數卻可以表述某事物的互相區別、互相獨立，又互相聯系、互相統一的兩方面的屬性的量值.

對于多維數之間的大小比較，任何低于m維的數都可在m維水平上比較大小，但m維的數只能在不低于m維的水平上比較大小.

對于甲、乙兩個m維數，如果甲數的第n（n

這樣m維數大小之間的關系便只有在決定了在第幾維比較時才有意義，于是數之間的大小關系便沒有了絕對性，而只有相對性和相對意義.甲、乙兩個m維數，在第n維上可能甲數大于乙數，而在第n+1維上可能乙數大于甲數.數之間的大小關系擺脫了絕對性后，這樣的m維數才更具有表達事物“質”和“量”的功能.

六、多維數的初步運算規則

在此討論最基本的加減法.一般情況下，加減運算都是對事物同質的數量的運算（像歐拉公式V+F-2=E，表達的是立體幾何面、頂點、邊線之間的不變關系，它不是我們在此討論的量的運算），如：

3只羊加5只羊，表達為3+5=8，總數為8只羊;

12千克桃加7千克桃，表達為12+7=19，即總數為19千克桃.

但對于4只羊加6只雞或8千克雞蛋加9本書需要如何運算呢？對于這種情形，必須從運算的對象中提取出相同的性質、特點，實現“同質運算”，如羊和雞同屬“動物”，則4只羊加6只雞表達為：

4+6=10只動物.

而8千克雞蛋加9本書這種情景，要復雜一些，必須先統一計量單位，或將雞蛋按個計數，或將書本按千克計量，這樣我們對二者提取的同質為“固形物”，運算后就能得到總數為N個“固形物”或m斤“固形物”.

而對于3只羊與1群羊相加這樣的問題，是有限集與無限集的運算，其運算結果是無限集.諸如傍晚回家的5群羊被趕進一個院子，它們就變成了1群羊，即1+1+1+1+1=1，因為每群羊都可認為是無限集.

由于多維非歐氏數空間的特點，多維非歐氏數運算比多維歐氏數運算復雜，在運算中，必須注意多維非歐氏數密度ρ和數空間曲率γ的變化.由于這一原因，即使多維非歐氏數的加減運算，也比多維歐氏數的加減復雜得多.

【參考文獻】

[1]凱萊布·埃弗利特.數字起源[M].魯冬旭，譯.北京：中信出版集團，2018.

[2]朱家生.數學史[M].北京：高等教育出版社，2004.