聚焦核心素養(yǎng) 關(guān)注學(xué)生發(fā)展
——《鴿巢問(wèn)題》教學(xué)設(shè)計(jì)

文|劉興盛

【教學(xué)內(nèi)容】

人教版六年級(jí)下冊(cè)第68頁(yè)例1。

【教學(xué)過(guò)程】

一、創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課

師：同學(xué)們玩過(guò)撲克牌嗎？

生：玩過(guò)。

師：下面我們用撲克牌來(lái)玩?zhèn)€游戲。大家知道一副撲克牌有54張，取出大小王后，還剩52 張牌，如果從這52 張中隨意抽出5 張牌，我敢肯定地說(shuō)，這5 張撲克牌中至少有2 張是同花色的。你們相信嗎？

生：信。

生：不信。

師：那我們就來(lái)驗(yàn)證一下。五位同學(xué)各抽1 張，驗(yàn)證至少有2 張是同花色的。

師：如果再請(qǐng)五位同學(xué)來(lái)抽，我還敢肯定地說(shuō)，抽取的這5 張牌中至少有2 張是同花色的。

師：其實(shí)這里面蘊(yùn)藏著一個(gè)非常有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，這節(jié)課我們就一起來(lái)研究鴿巢問(wèn)題。（板書課題）

二、合作探究，解決問(wèn)題

1.出示課件。

例1：把4 支鉛筆放進(jìn)3 個(gè)筆筒中，不管怎么放，總有一個(gè)筆筒里至少有（ ）支鉛筆。

師：把4 支鉛筆放進(jìn)3 個(gè)筆筒中，請(qǐng)小組的同學(xué)擺擺看，在動(dòng)手之前請(qǐng)看活動(dòng)要求。

要求：（1）擺一擺：四人為一組，所有的筆都必須放進(jìn)筆筒里，允許某個(gè)筆筒空著。不考慮筆筒的順序，只考慮筆筒內(nèi)筆的支數(shù)。

（2）想一想：怎樣放才能做到既不重復(fù)，也不遺漏？

（3）寫一寫：用喜歡的方式表示出來(lái)。

（4）每個(gè)組要邊擺邊記錄，記錄時(shí)，用0 表示筆筒，用1 表示鉛筆，畫一畫，看看一共有幾種擺法？

2.匯報(bào)展示。

（1）枚舉法。

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)你們是怎么擺的？

學(xué)習(xí)小組派代表到臺(tái)前展示成果，可能會(huì)出現(xiàn)以下幾種放法：

生：我們一共擺出四種情況，在每一種情況中，都總有一個(gè)筆筒里至少有2 支鉛筆。

生：把4 支鉛筆放進(jìn)3 個(gè)筆筒中，不管怎么放，總有一個(gè)筆筒里至少有2 支鉛筆。

師：“總有”是什么意思？

生：總會(huì)有、一定有、肯定有、一定存在。

師：“至少”是什么意思？

生：最少、不低于、不少于、最低限度。

師：在數(shù)學(xué)上，把“總有……至少……”稱為最不利的情況，即該現(xiàn)象存在的最少情況。“至少有2支”是什么意思？

生：最少有2 支，不少于2 支，可能是2 支，也可能多于2 支。

師：不管怎么放，總有一個(gè)筆筒里放了2 支或2 支以上的鉛筆。

師：（指著圖）這種方法叫枚舉法，直觀列出所有的結(jié)果，能很清楚地進(jìn)行解釋。但有局限性，數(shù)字大了操作起來(lái)相當(dāng)繁瑣。

師：你們還有不同的方法嗎？

生：我們組是把4 分解成3 個(gè)數(shù)，共有四種分法，（4 0 0）、（3 1 0）、（2 2 0）、（2 1 1）。

師：你有什么發(fā)現(xiàn)？

師：在每種情況分得的三個(gè)數(shù)中，至少有一個(gè)數(shù)是不小于2（大于或等于2）的數(shù)，就說(shuō)明總有一個(gè)筆筒里至少有2 支鉛筆。

師：真是個(gè)聰明的孩子，用數(shù)字幫助解決問(wèn)題，簡(jiǎn)潔、明了。

（2）假設(shè)法。

師：假設(shè)每個(gè)筆筒中只放1 支鉛筆，那會(huì)是怎樣的結(jié)果呢？

生：我是這樣想的，在每個(gè)筆筒中放1 支，3 個(gè)筆筒就放了3支。剩下的1 支就要放進(jìn)其中的一個(gè)筆筒。所以至少有一個(gè)筆筒中有2 支鉛筆。

師：你為什么要先在每個(gè)筆筒中放1 支呢？

生：因?yàn)榭偣灿? 支，平均分，每個(gè)筆筒只能分到一支。

師：你為什么一開始就要平均分呢？

生：因?yàn)槠骄郑涂梢允姑總€(gè)筆筒的筆盡可能少，以保證得到至少數(shù)。

（板書：4÷3=1……1 2）

師：到現(xiàn)在為止，我們可以得出什么結(jié)論？

生：（齊讀）把4 支鉛筆放進(jìn)3個(gè)筆筒中，不管怎么放，總有一個(gè)筆筒里至少有2 支鉛筆。

小結(jié)：我們把這種思考方法叫假設(shè)法。抽象，不受數(shù)據(jù)的限制，具有一般性，能很清楚、簡(jiǎn)潔地說(shuō)明問(wèn)題。

3.認(rèn)識(shí)“鴿巢問(wèn)題”。

師：像這樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，就是“鴿巢問(wèn)題”或“抽屜問(wèn)題”，它里面蘊(yùn)含著一個(gè)數(shù)學(xué)道理，叫“鴿巢原理”或“抽屜原理”。最先是由19 世紀(jì)的德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷提出的，因此又叫做狄利克雷原理。

師：在這里“4 支鉛筆”看作“4只鴿子”，“3 個(gè)筆筒”看作“3 個(gè)鴿巢”。上面這個(gè)問(wèn)題就變成了鴿子飛回鴿巢的問(wèn)題了，把此問(wèn)題用鴿巢問(wèn)題的語(yǔ)言描述就是讓4 只鴿子飛進(jìn)3 個(gè)鴿巢中，總有一個(gè)鴿巢里至少飛進(jìn)2 只鴿子。

三、提升思維，構(gòu)建模型

1.加深感悟。

師：剛才我們通過(guò)不同的方法驗(yàn)證了這句話是正確的。現(xiàn)在老師不斷改變數(shù)據(jù)，你們看看發(fā)現(xiàn)了什么？

師：把5 支鉛筆放進(jìn)4 個(gè)筆筒里，會(huì)出現(xiàn)什么情況？

生：總有一個(gè)筆筒至少放2 支鉛筆。

師：能用一個(gè)數(shù)學(xué)式表示嗎？

（板書：5÷4=1……1 2）

師：把6 支鉛筆放進(jìn)5 個(gè)筆筒里，會(huì)出現(xiàn)什么情況？

生：總有一個(gè)筆筒至少放2 支鉛筆。

師：能用一個(gè)數(shù)學(xué)式表示嗎？

（板書：6÷5=1……1 2）

師：把100 支鉛筆放進(jìn)99 個(gè)筆筒呢？

生：還是總有一個(gè)筆筒至少放2 支鉛筆。

師：能用一個(gè)數(shù)學(xué)式表示嗎？

（板書：100÷99=1……1 2）

（n+1）÷n（n 是正整數(shù)）=1……1 2

師：通過(guò)剛才的分析，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

生：只要鉛筆的支數(shù)比筆筒的個(gè)數(shù)多1，就總有一個(gè)筆筒里至少要放進(jìn)2 支鉛筆。

生：如果鉛筆的支數(shù)比筆筒的個(gè)數(shù)多2，也總有一個(gè)筆筒里至少要放進(jìn)2 支鉛筆；如果鉛筆的支數(shù)比筆筒的個(gè)數(shù)多3，也總有一個(gè)筆筒里至少要放進(jìn)2 支鉛筆……

師：我們可以用“鴿巢問(wèn)題”的語(yǔ)言描述：有多于n 只鴿子飛進(jìn)n個(gè)鴿巢，總有一個(gè)鴿巢里至少飛進(jìn)2 只鴿子。

2.揭秘?fù)淇伺朴螒颉?/p>

師：現(xiàn)在，你能利用這一原理揭秘?fù)淇伺朴螒騿幔? 人抽出了5 張牌，這5 張牌相當(dāng)于5 個(gè)待分物體，撲克牌有4 個(gè)花色，相當(dāng)于4 個(gè)鴿巢，5 張牌歸入4 個(gè)花色，那么總有一個(gè)花色至少有2 張牌。

四、運(yùn)用模型，內(nèi)化提高

師：鴿巢問(wèn)題在生活中隨處可見，它其實(shí)就是解決該類問(wèn)題的一種方法、一個(gè)模型，在解決問(wèn)題時(shí)關(guān)鍵是要看清什么是“鴿巢”，什么是“待分物體”。

1.鴿巢問(wèn)題。

課件出示做一做：11 只鴿子飛進(jìn)3 個(gè)鴿籠，總有一個(gè)鴿籠至少飛進(jìn)了4 只鴿子。為什么？

師：組內(nèi)討論解決，匯報(bào)：你能用一個(gè)數(shù)學(xué)式表示嗎？

生：用物體的總數(shù)除以鴿籠數(shù)：11÷3=3……2。

小結(jié)：盡量平均分，目的是為了找至少數(shù)，所以總有一個(gè)鴿籠至少飛進(jìn)了4 只鴿子。即除得的商有余數(shù)，至少數(shù)=商+1；或反之，除得的商沒(méi)有余數(shù)，至少數(shù)=商。

2.你能舉出一些用鴿巢問(wèn)題解釋的生活中的例子嗎？

生：3 個(gè)人中，至少有2 個(gè)人是同一性別的；任意13 個(gè)人中，至少有2 個(gè)人是同一屬相的；高速路口同時(shí)有4 輛車通過(guò)3 個(gè)收費(fèi)站，至少有2 輛車通過(guò)同一個(gè)收費(fèi)站……

五、回顧整理，反思提升（略）