聚焦核心素養(yǎng) 關(guān)注學(xué)生發(fā)展
——《鴿巢問題》教學(xué)設(shè)計

文|劉興盛

【教學(xué)內(nèi)容】

人教版六年級下冊第68頁例1。

【教學(xué)過程】

一、創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課

師：同學(xué)們玩過撲克牌嗎？

生：玩過。

師：下面我們用撲克牌來玩?zhèn)€游戲。大家知道一副撲克牌有54張，取出大小王后，還剩52 張牌，如果從這52 張中隨意抽出5 張牌，我敢肯定地說，這5 張撲克牌中至少有2 張是同花色的。你們相信嗎？

生：信。

生：不信。

師：那我們就來驗證一下。五位同學(xué)各抽1 張，驗證至少有2 張是同花色的。

師：如果再請五位同學(xué)來抽，我還敢肯定地說，抽取的這5 張牌中至少有2 張是同花色的。

師：其實這里面蘊藏著一個非常有趣的數(shù)學(xué)問題，這節(jié)課我們就一起來研究鴿巢問題。（板書課題）

二、合作探究，解決問題

1.出示課件。

例1：把4 支鉛筆放進3 個筆筒中，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有（ ）支鉛筆。

師：把4 支鉛筆放進3 個筆筒中，請小組的同學(xué)擺擺看，在動手之前請看活動要求。

要求：（1）擺一擺：四人為一組，所有的筆都必須放進筆筒里，允許某個筆筒空著。不考慮筆筒的順序，只考慮筆筒內(nèi)筆的支數(shù)。

（2）想一想：怎樣放才能做到既不重復(fù)，也不遺漏？

（3）寫一寫：用喜歡的方式表示出來。

（4）每個組要邊擺邊記錄，記錄時，用0 表示筆筒，用1 表示鉛筆，畫一畫，看看一共有幾種擺法？

2.匯報展示。

（1）枚舉法。

師：誰來說說你們是怎么擺的？

學(xué)習(xí)小組派代表到臺前展示成果，可能會出現(xiàn)以下幾種放法：

生：我們一共擺出四種情況，在每一種情況中，都總有一個筆筒里至少有2 支鉛筆。

生：把4 支鉛筆放進3 個筆筒中，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有2 支鉛筆。

師：“總有”是什么意思？

生：總會有、一定有、肯定有、一定存在。

師：“至少”是什么意思？

生：最少、不低于、不少于、最低限度。

師：在數(shù)學(xué)上，把“總有……至少……”稱為最不利的情況，即該現(xiàn)象存在的最少情況。“至少有2支”是什么意思？

生：最少有2 支，不少于2 支，可能是2 支，也可能多于2 支。

師：不管怎么放，總有一個筆筒里放了2 支或2 支以上的鉛筆。

師：（指著圖）這種方法叫枚舉法，直觀列出所有的結(jié)果，能很清楚地進行解釋。但有局限性，數(shù)字大了操作起來相當(dāng)繁瑣。

師：你們還有不同的方法嗎？

生：我們組是把4 分解成3 個數(shù)，共有四種分法，（4 0 0）、（3 1 0）、（2 2 0）、（2 1 1）。

師：你有什么發(fā)現(xiàn)？

師：在每種情況分得的三個數(shù)中，至少有一個數(shù)是不小于2（大于或等于2）的數(shù)，就說明總有一個筆筒里至少有2 支鉛筆。

師：真是個聰明的孩子，用數(shù)字幫助解決問題，簡潔、明了。

（2）假設(shè)法。

師：假設(shè)每個筆筒中只放1 支鉛筆，那會是怎樣的結(jié)果呢？

生：我是這樣想的，在每個筆筒中放1 支，3 個筆筒就放了3支。剩下的1 支就要放進其中的一個筆筒。所以至少有一個筆筒中有2 支鉛筆。

師：你為什么要先在每個筆筒中放1 支呢？

生：因為總共有4 支，平均分，每個筆筒只能分到一支。

師：你為什么一開始就要平均分呢？

生：因為平均分，就可以使每個筆筒的筆盡可能少，以保證得到至少數(shù)。

（板書：4÷3=1……1 2）

師：到現(xiàn)在為止，我們可以得出什么結(jié)論？

生：（齊讀）把4 支鉛筆放進3個筆筒中，不管怎么放，總有一個筆筒里至少有2 支鉛筆。

小結(jié)：我們把這種思考方法叫假設(shè)法。抽象，不受數(shù)據(jù)的限制，具有一般性，能很清楚、簡潔地說明問題。

3.認識“鴿巢問題”。

師：像這樣的數(shù)學(xué)問題，就是“鴿巢問題”或“抽屜問題”，它里面蘊含著一個數(shù)學(xué)道理，叫“鴿巢原理”或“抽屜原理”。最先是由19 世紀的德國數(shù)學(xué)家狄利克雷提出的，因此又叫做狄利克雷原理。

師：在這里“4 支鉛筆”看作“4只鴿子”，“3 個筆筒”看作“3 個鴿巢”。上面這個問題就變成了鴿子飛回鴿巢的問題了，把此問題用鴿巢問題的語言描述就是讓4 只鴿子飛進3 個鴿巢中，總有一個鴿巢里至少飛進2 只鴿子。

三、提升思維，構(gòu)建模型

1.加深感悟。

師：剛才我們通過不同的方法驗證了這句話是正確的。現(xiàn)在老師不斷改變數(shù)據(jù)，你們看看發(fā)現(xiàn)了什么？

師：把5 支鉛筆放進4 個筆筒里，會出現(xiàn)什么情況？

生：總有一個筆筒至少放2 支鉛筆。

師：能用一個數(shù)學(xué)式表示嗎？

（板書：5÷4=1……1 2）

師：把6 支鉛筆放進5 個筆筒里，會出現(xiàn)什么情況？

生：總有一個筆筒至少放2 支鉛筆。

師：能用一個數(shù)學(xué)式表示嗎？

（板書：6÷5=1……1 2）

師：把100 支鉛筆放進99 個筆筒呢？

生：還是總有一個筆筒至少放2 支鉛筆。

師：能用一個數(shù)學(xué)式表示嗎？

（板書：100÷99=1……1 2）

（n+1）÷n（n 是正整數(shù)）=1……1 2

師：通過剛才的分析，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

生：只要鉛筆的支數(shù)比筆筒的個數(shù)多1，就總有一個筆筒里至少要放進2 支鉛筆。

生：如果鉛筆的支數(shù)比筆筒的個數(shù)多2，也總有一個筆筒里至少要放進2 支鉛筆；如果鉛筆的支數(shù)比筆筒的個數(shù)多3，也總有一個筆筒里至少要放進2 支鉛筆……

師：我們可以用“鴿巢問題”的語言描述：有多于n 只鴿子飛進n個鴿巢，總有一個鴿巢里至少飛進2 只鴿子。

2.揭秘撲克牌游戲。

師：現(xiàn)在，你能利用這一原理揭秘撲克牌游戲嗎？5 人抽出了5 張牌，這5 張牌相當(dāng)于5 個待分物體，撲克牌有4 個花色，相當(dāng)于4 個鴿巢，5 張牌歸入4 個花色，那么總有一個花色至少有2 張牌。

四、運用模型，內(nèi)化提高

師：鴿巢問題在生活中隨處可見，它其實就是解決該類問題的一種方法、一個模型，在解決問題時關(guān)鍵是要看清什么是“鴿巢”，什么是“待分物體”。

1.鴿巢問題。

課件出示做一做：11 只鴿子飛進3 個鴿籠，總有一個鴿籠至少飛進了4 只鴿子。為什么？

師：組內(nèi)討論解決，匯報：你能用一個數(shù)學(xué)式表示嗎？

生：用物體的總數(shù)除以鴿籠數(shù)：11÷3=3……2。

小結(jié)：盡量平均分，目的是為了找至少數(shù)，所以總有一個鴿籠至少飛進了4 只鴿子。即除得的商有余數(shù)，至少數(shù)=商+1；或反之，除得的商沒有余數(shù)，至少數(shù)=商。

2.你能舉出一些用鴿巢問題解釋的生活中的例子嗎？

生：3 個人中，至少有2 個人是同一性別的；任意13 個人中，至少有2 個人是同一屬相的；高速路口同時有4 輛車通過3 個收費站，至少有2 輛車通過同一個收費站……

五、回顧整理，反思提升（略）