變量世界，讓思維方式發(fā)生深度轉(zhuǎn)變和進(jìn)階
——《變化的量》教學(xué)實(shí)錄

文|董文彬

【教學(xué)內(nèi)容】

北師大版六年級(jí)下冊(cè)第四單元第1 課時(shí)。

【教學(xué)過(guò)程】

一、舊事重提，生發(fā)新的思考

師：烏鴉喝水的故事我們已經(jīng)很熟悉了，從數(shù)學(xué)的角度思考，哪些量在發(fā)生變化呢？是怎樣變化的？

生：瓶子里水面的高度在發(fā)生變化，水面升高了。

生：石子數(shù)也在發(fā)生變化，石子數(shù)變多了。

師：這兩個(gè)量都在發(fā)生變化，它們之間有聯(lián)系嗎？是誰(shuí)的變化引起了誰(shuí)發(fā)生變化呢？

生：有聯(lián)系，石子數(shù)的變化引起水面高度變化。

師：看來(lái)，任何變化的背后都是有原因的，這里水面高度與石子數(shù)的變化就是有關(guān)聯(lián)的。今天這節(jié)課，我們就帶著關(guān)聯(lián)的眼光來(lái)一起認(rèn)識(shí)變化的量。

二、尋索變量，體會(huì)變化關(guān)系

情境一：淘氣打字。

師：這是淘氣打字時(shí)的字?jǐn)?shù)變化情況。觀察表格，想一想，哪些量在發(fā)生變化？

生：時(shí)間在發(fā)生變化。

生：字?jǐn)?shù)也在發(fā)生變化。

師：能試著描述一下它們是怎么變化的嗎？

生：時(shí)間增加，字?jǐn)?shù)也增加。

師：這兩個(gè)量的變化之間有聯(lián)系嗎？

生：字?jǐn)?shù)隨著時(shí)間的增加而增加。

師：（出示下圖）淘氣打字時(shí)的字?jǐn)?shù)變化情況還可以用這幅圖來(lái)表示。（描點(diǎn)、連線(xiàn)）從圖中你還能看出“字?jǐn)?shù)隨著時(shí)間的增加而增加”的情況嗎？從哪能看出來(lái)？

生：圖中的這條線(xiàn)在不斷上升，表示時(shí)間增加，字?jǐn)?shù)也在增加。

師：如果這樣豎著畫(huà)一條直直的線(xiàn)，也能表示字?jǐn)?shù)在上升嗎？

生：這樣畫(huà)不行，這樣畫(huà)字?jǐn)?shù)是在增加，但時(shí)間就是不變的了，這里時(shí)間也是增加的。

師：也就是說(shuō)，只有像這樣一條上升趨勢(shì)的線(xiàn)才能表示出字?jǐn)?shù)是時(shí)間關(guān)聯(lián)著變化的，對(duì)嗎？

師：從剛才淘氣打字的情境中，我們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)量隨著另一個(gè)量的變化而變化，像這樣的相關(guān)聯(lián)變化的量在生活中還有很多，我們接著看。

情境二：摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)。

師：（出示摩天輪圖片）一個(gè)人坐在某個(gè)座艙里隨摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，有沒(méi)有相關(guān)聯(lián)的變化的量呢？

師：是哪個(gè)量隨著哪個(gè)量的變化而發(fā)生變化呢？

生：座艙在圓周上的位置，隨著時(shí)間的變化發(fā)生變化。

生：路程在隨著時(shí)間的變化而變化。

師：你說(shuō)的路程指的是什么？

生：就是座艙在圓周上轉(zhuǎn)過(guò)的距離。你看座艙從最低點(diǎn)開(kāi)始計(jì)算，隨著時(shí)間的增加，座艙在圓周上轉(zhuǎn)過(guò)的距離也在增加。

師：他從另外一個(gè)角度又找到了一組新的變化的量。

生：角度隨著時(shí)間的變化而變化。就是假設(shè)座艙從最低點(diǎn)開(kāi)始，從圓心往下畫(huà)一條線(xiàn)，隨著時(shí)間的增加，摩天輪在轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，座艙與圓心的連線(xiàn)就會(huì)轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度，這個(gè)角度在隨時(shí)間而發(fā)生變化。

師：很好，又是一組新的變量。

生：隨著時(shí)間的變化，座艙離地面的高度也在發(fā)生變化。

生：我認(rèn)為座艙的高度也在隨著角度的變化而發(fā)生變化。

師：剛才有人提到了座艙高度隨著時(shí)間在發(fā)生變化，它們具體是怎么變化的呢？以摩天輪轉(zhuǎn)一圈為例，能描述一下嗎？

生：座艙從最低點(diǎn)開(kāi)始隨著時(shí)間先是越來(lái)越高，到達(dá)最高點(diǎn)之后，隨著時(shí)間再逐漸下降，最后回到最低點(diǎn)。

生：也就是隨著時(shí)間的增加，座艙的高度先升高后降低。

師：（出示空白方格圖）如果我們把這個(gè)變化過(guò)程表示在這個(gè)方格圖上，是這樣的變化趨勢(shì)嗎？（出示“轉(zhuǎn)1 圈”的圖象，如圖）和你剛才想的一樣嗎？

生：是，一樣。

師：從圖中你能進(jìn)一步獲取到哪些信息？

生：最高點(diǎn)高度是18 米，最低點(diǎn)高度是3 米。

生：轉(zhuǎn)動(dòng)一圈的時(shí)間是12 分鐘。

生：1～6 分鐘座艙高度在增加，6～12 分鐘座艙高度在降低。

師：這是摩天輪轉(zhuǎn)一圈的情況，如果摩天輪再轉(zhuǎn)一圈，圖象會(huì)怎么樣呢？

生：和第1 圈一樣。

師：（出示“轉(zhuǎn)第2 圈”的部分圖象）座艙第一次到達(dá)最高點(diǎn)以后，再一次達(dá)到最高點(diǎn)需要經(jīng)過(guò)幾分鐘？

生：12 分鐘。

師：你是怎么得到的？

生：第一次到達(dá)最高點(diǎn)是12分鐘，第二次到達(dá)最高點(diǎn)是24 分鐘，兩次的時(shí)間間隔是24-12=12（分鐘）。

師：如果再轉(zhuǎn)一圈，圖象接下來(lái)會(huì)怎么樣呢？

生：和前面一圈一樣，先升高后下降。

師：如果摩天輪就這樣一圈一圈一直轉(zhuǎn)下去，圖象就會(huì)———

生：和前面一樣，先升高后下降，再升高再下降，不斷重復(fù)。

師：也就是說(shuō)，隨著時(shí)間不斷增加，座艙高度就會(huì)“升高—下降”不斷循環(huán)往復(fù)進(jìn)行，圖象也會(huì)這樣“升高—下降”不斷循環(huán)往復(fù)出現(xiàn)。

師：座艙高度隨時(shí)間發(fā)生的這種變化叫什么變化？

生：周期。

師：對(duì)，叫“周期性”變化。在這里，摩天輪轉(zhuǎn)一圈的周期是多長(zhǎng)時(shí)間呢？

生：12 分鐘。

三、豐富素材，再度尋索描述變量及變化關(guān)系

1.回應(yīng)前測(cè)，關(guān)聯(lián)描述變量。

師：剛剛我們通過(guò)“淘氣打字”和“摩天輪轉(zhuǎn)動(dòng)”兩個(gè)情境發(fā)現(xiàn)了其中存在的相關(guān)聯(lián)的變化的量以及兩個(gè)變量之間的變化關(guān)系。在課前，有很多同學(xué)也找到了生活中存在的一些變化的量，我們來(lái)一起看一看。

出示：

師：有人認(rèn)為“身高”是變化的量，同意嗎？

生：同意。

師：你能想到身高是隨著哪個(gè)量在發(fā)生變化嗎？

生：年齡，隨著年齡的增長(zhǎng)，身高也會(huì)增加。

師：身高會(huì)隨著年齡的增長(zhǎng)而一直增加下去嗎？

生：不會(huì)，當(dāng)一個(gè)人的身高長(zhǎng)到一定高度的時(shí)候，隨著年齡的增長(zhǎng)，身高就不再長(zhǎng)了，會(huì)保持那個(gè)高度不再變化。

師：也就是說(shuō)，人的身高隨著年齡增長(zhǎng)而增加這件事只發(fā)生在某個(gè)階段，超過(guò)特定年齡段這個(gè)規(guī)律就不存在了。

出示：

師：也有人認(rèn)為“溫度”是變化的量，同意嗎？

生：同意。

師：那么溫度是隨著哪個(gè)量在發(fā)生變化呢？

生：時(shí)間，一天中從早到晚，溫度會(huì)隨著時(shí)間的變化而變化。

生：季節(jié)，隨著季節(jié)的更替變換，溫度也會(huì)發(fā)生變化。

生：環(huán)境，環(huán)境發(fā)生變化，溫度也會(huì)發(fā)生變化。

生：緯度，從赤道到北極，溫度會(huì)隨著緯度的變化而變化。

生：海拔，隨著海拔的升高，溫度會(huì)逐漸下降。

師：真是太棒了！你們僅僅從看到“溫度”這個(gè)變量，就能聯(lián)想到這么多與它相關(guān)聯(lián)的其他變量。

2.補(bǔ)充素材，尋找描述變量。

出示：

出示小組活動(dòng)要求：

a.找出每個(gè)情境中有哪些相關(guān)聯(lián)的變化的量？

b.描述清楚一個(gè)量隨著另一個(gè)量的變化而發(fā)生了怎樣的變化？

組1：

生：我選擇①號(hào)情境，變化的量是平行四邊形的底和高，隨著高的不斷增加，底在不斷減少。大家有什么問(wèn)題嗎？

生：我的想法和你一樣，我補(bǔ)充一點(diǎn)，平行四邊形的高增加，底就減少，方向是反著的，但這個(gè)過(guò)程中，平行四邊形的面積一直是24cm2，保持不變。

師：你還看到了變化中不變的東西，好眼力！

生：我選擇③號(hào)情境，變化的量是圓的周長(zhǎng)C 和直徑d，隨著d的不斷增加，C 也在不斷增加。

組2：

生：我選擇②號(hào)情境，變化的量是股票的價(jià)格和時(shí)間，隨著時(shí)間的增加，股票的價(jià)格先下跌再升高、升高，再下跌，再升高，又下跌、又升高……股票的價(jià)格隨著時(shí)間的增加呈現(xiàn)波動(dòng)變化。

師：“波動(dòng)”這個(gè)詞形容得好！

生：股票價(jià)格隨著時(shí)間的增加一會(huì)兒升一會(huì)兒降，好像沒(méi)有什么規(guī)律。

生：我還找到一組變化的量是股票的價(jià)格和均線(xiàn)，股票的價(jià)格隨著均線(xiàn)的變化而變化。

生：我有不同意見(jiàn)，我認(rèn)為均線(xiàn)是隨著股票的價(jià)格的變化而發(fā)生變化，而不是股票的價(jià)格隨著均線(xiàn)的變化而變化。

生：應(yīng)該是股票的價(jià)格隨著均線(xiàn)的變化而變化吧？

生：什么是均線(xiàn)？我認(rèn)為均線(xiàn)應(yīng)該是這只股票的平均價(jià)格，應(yīng)該是股票在這段時(shí)間的價(jià)格變化引起平均價(jià)格的變化，而不是平均價(jià)格引起股票價(jià)格的變化。

師：理不辯不明，你們理解得很深刻。

四、全課小結(jié)（略）