基于新型趨近律的永磁同步電機積分滑模控制

陳 才, 王志亮, 徐 瀟, 張言溪, 王 猛

北京機電工程研究所，北京 100074)

0 引 言

永磁同步電機(PMSM)結(jié)構(gòu)簡單、功率密度高、效率高[1]，是眾多飛行器電動舵機和燃油系統(tǒng)電動燃油泵的關(guān)鍵部件。目前PMSM調(diào)速系統(tǒng)普遍采用算法簡單、可靠性高和參數(shù)調(diào)整方便的比例-積分-微分(PID)控制，但PMSM是多變量耦合的復(fù)雜非線性系統(tǒng)，傳統(tǒng)PID控制難以滿足在系統(tǒng)參數(shù)擾動和外界不確定因素影響狀況下的高性能控制要求[2]。隨著現(xiàn)代控制理論的發(fā)展，預(yù)測控制[3-4]、模糊控制[5-6]、模型參考自適應(yīng)控制[7-8]、滑模控制(SMC)[9-11]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[12-13]等先進控制技術(shù)逐步被應(yīng)用于高性能PMSM調(diào)速系統(tǒng)的設(shè)計。滑模控制通過控制量的切換迫使系統(tǒng)狀態(tài)沿設(shè)計的滑模面滑動，使得系統(tǒng)在受到參數(shù)攝動和外部干擾時具有不變性，魯棒性好、實現(xiàn)簡單的滑模控制在復(fù)雜非線性系統(tǒng)的控制中已有廣泛應(yīng)用[14-15]。

文獻[16]提出了一種基于改進冪次指數(shù)趨近律的模糊自適應(yīng)滑模控制器設(shè)計方法，研究表明可提高PMSM控制系統(tǒng)在參數(shù)變化和外部擾動時的動靜態(tài)性能和魯棒性。文獻[17]提出的新型滑模控制器采取變帶寬趨近方式，并引進反雙曲正弦函數(shù)特征，可有效抑制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)矩脈動。文獻[18]對基于變指數(shù)快速冪次趨近律的滑模控制器開展了研究，所設(shè)計的控制器響應(yīng)速度快、魯棒性強。文獻[19]對滑模切換面進行優(yōu)化設(shè)計，結(jié)合了提出的變指數(shù)趨近律，可有效削弱系統(tǒng)抖振。文獻[20]提出一種切換增益可隨系統(tǒng)偏差自適應(yīng)調(diào)整的非線性變速趨近律，有效抑制了抖振，控制品質(zhì)較好。

本文基于上述文獻思想，提出一種基于新型混合趨近律的PMSM積分滑模控制器設(shè)計方法，并進行了仿真分析。

1 PMSM數(shù)學(xué)模型

為了簡化分析，在建立表貼式PMSM數(shù)學(xué)模型時，假設(shè)：(1)轉(zhuǎn)子永磁磁場在氣隙空間分布為正弦波，定子電樞繞組中的感應(yīng)電動勢也為正弦波；(2)忽略定子鐵心飽和，認為磁路線性，電感參數(shù)不變；(3)不計鐵心渦流和磁滯損耗；(4)轉(zhuǎn)子上無阻尼繞組。則兩相旋轉(zhuǎn)d-q坐標系下PMSM的電壓方程為

(1)

式中：ud、uq分別為d、q軸的電壓分量；id、iq分別為d、q軸的電流分量；Ld、Lq分別為d、q軸的電感，在表貼式PMSM中一般認為Ld=Lq；R為定子電樞繞組電阻；ωe為電機的電角速度；ψ為永磁體與定子交鏈磁鏈。

轉(zhuǎn)矩方程為

(2)

式中：Te為電磁轉(zhuǎn)矩；pn為極對數(shù)。

運動方程為

(3)

式中：TL為負載轉(zhuǎn)矩；ω為機械角速度，且ωe=pω；B為摩擦系數(shù)，一般很小，在控制器設(shè)計時可不考慮；J為轉(zhuǎn)動慣量。

2 新型滑模控制器設(shè)計

利用趨近律設(shè)計滑模控制器的基本步驟是首先設(shè)計合適的滑模切換面，然后在滑模趨近律基礎(chǔ)上設(shè)計滑模控制輸出，使得系統(tǒng)軌跡在控制輸出作用下快速沿著滑模面運動。

2.1 積分滑模面的選取

傳統(tǒng)的線性滑模面函數(shù)中含有電機速度跟蹤誤差的微分項，易導(dǎo)致高頻噪聲，造成系統(tǒng)抖振。積分滑模面函數(shù)具有平滑輸出轉(zhuǎn)矩、削弱抖振、增強穩(wěn)定性和減小穩(wěn)態(tài)誤差等優(yōu)點。為此，定義PMSM系統(tǒng)狀態(tài)變量為速度跟蹤誤差：

e=ωref-ω

(4)

式中：ωref為電機的參考轉(zhuǎn)速。

選取的積分滑模切換面如下：

(5)

式中：k>0。

對積分滑模切換面求微分,可得：

(6)

由PMSM的運動方程和轉(zhuǎn)矩方程可知：

(7)

將式(7)代入式(6)可得：

(8)

(9)

求解式(9)可得：

e=c·exp(-kt)

(10)

式中:c為正常數(shù)。

顯然，當選擇合適的k時，PMSM速度跟蹤誤差會逐步趨于零。k的取值影響速度誤差趨于零的速度，k越大，穩(wěn)定時間越短，但k太大會導(dǎo)致抖振。

2.2 新型趨近律的提出

滑模控制的優(yōu)勢在于其結(jié)構(gòu)可以根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)變化而實時調(diào)整，進而使系統(tǒng)狀態(tài)變量進入預(yù)先設(shè)定好的滑模面，直至運行到原點。系統(tǒng)狀態(tài)變量在滑模控制下的運動包括趨近滑模面的趨近運動和沿著滑模面的滑模運動。傳統(tǒng)的滑模控制可達性條件僅能保證系統(tǒng)狀態(tài)可到達滑模面的要求，并未對趨近運動具體軌跡做出限制。基于趨近律的方法不僅能滿足可達性條件，還可有效改善趨近運動階段的動態(tài)品質(zhì)和抖振抑制效果。傳統(tǒng)趨近律有等速趨近律、指數(shù)趨近律和冪次趨近律，可通過調(diào)整相應(yīng)的參數(shù)改變系統(tǒng)狀態(tài)趨近速度。基于傳統(tǒng)趨近律的滑模控制結(jié)構(gòu)相對簡單、易實現(xiàn)，但是不能解決趨近速度與抖振水平之間的矛盾。本文為了平衡這種本質(zhì)矛盾，在傳統(tǒng)趨近律基礎(chǔ)上，引入雙曲正切函數(shù)、終端吸引子和基于系統(tǒng)狀態(tài)變量冪函數(shù)的自適應(yīng)因子，提出一種新型的趨近律：

(11)

新型趨近律中的F(e,s)是自適應(yīng)因子。當|s|較大即系統(tǒng)狀態(tài)遠離滑模面時，e-δ|s|將趨于零，F(xiàn)(e,s)趨于常數(shù)N/α；當|s|趨于零即系統(tǒng)狀態(tài)變量靠近或在滑模面上運動時，e-δ|s|將趨于1，F(xiàn)(e,s)將趨于如下值：

(12)

系統(tǒng)狀態(tài)在沿著滑模面逐步收斂至原點的過程中，|e|將趨于零，即：

(13)

說明F(e,s)將根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)及其與滑模面的位置關(guān)系進行自動調(diào)整，進而改變趨近速度，實現(xiàn)滑模控制器結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)調(diào)整。

新型趨近律中的M(e,s)可看作由均含自適應(yīng)系數(shù)的變形后等速趨近律項、指數(shù)趨近律項與終端吸引子項構(gòu)成。其中，變速趨近律部分A|e|atanh(s/ε)采用雙曲正切函數(shù)替換傳統(tǒng)等速趨近律中的符號函數(shù)，并結(jié)合系統(tǒng)狀態(tài)誤差變量|e|的冪函數(shù)從而構(gòu)成變速趨近方式；變指數(shù)趨近部分B|e|bs和變終端吸引子部分C|e|csq/p同樣是在傳統(tǒng)指數(shù)趨近方式和終端吸引子的基礎(chǔ)上結(jié)合系統(tǒng)狀態(tài)誤差變量的冪函數(shù)從而形成變指數(shù)趨近方式和變終端吸引趨近方式。系統(tǒng)狀態(tài)誤差變量冪函數(shù)的引入使新型趨近律趨近速度與系統(tǒng)狀態(tài)相關(guān)聯(lián)，從而實現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)遠離滑模面時趨近速度大，但靠近或進入滑模面時沖擊速度小的目的，平衡了趨近速度與抖振之間的矛盾。F(e,s)項增強了這種平衡效果。

2.3 PMSM滑模速度控制器的設(shè)計

將新型混合趨近律代入式(8)便可得PMSM的滑模速度控制器：

(14)

式(14)中通過選擇適當?shù)目蛇x參數(shù)值，即可使系統(tǒng)擁有優(yōu)良的控制品質(zhì)。

2.4 穩(wěn)定性分析

為驗證基于新型混合趨近律的PMSM積分滑模控制器穩(wěn)定性，定義Lyapunov函數(shù)：

(15)

求導(dǎo)可得：

(16)

將式(11)代入式(16)，得到：

(17)

3 系統(tǒng)仿真與結(jié)果分析

為了驗證本文提出的新型趨近律積分滑模控制策略的正確性和有效性，基于矢量控制結(jié)構(gòu)在MATLAB中對轉(zhuǎn)速環(huán)分別采用新型滑模控制器與PI控制器進行仿真對比分析，仿真時電流環(huán)均為PI控制且PI控制參數(shù)相同。仿真采用的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)原理圖如圖1所示。

圖1 仿真用的控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

仿真時，電機參數(shù)為:極對數(shù)2，定子電感0.9 mH，定子內(nèi)阻0.576 Ω，磁鏈0.054 33 Wb，轉(zhuǎn)動慣量4.094 5×10-5kg·m2。采取SVPWM調(diào)制方式，開關(guān)頻率為10 kHz，直流側(cè)母線電壓為270 V，采樣周期為10-6s，仿真時間為0.3 s。額定轉(zhuǎn)速ω=6 700 r/min，0～0.1 s時電機為空載狀態(tài)，0.1～0.2 s負載轉(zhuǎn)矩為0.8 N·m，0.2～0.3 s為空載狀態(tài)，即0.1 s突加負載，0.2 s突卸負載。q軸電流PI控制參數(shù)為kp=4.7，ki=1 920。d軸電流PI控制參數(shù)為kp=4.7，ki=1 920。轉(zhuǎn)速環(huán)PI控制參數(shù)為kp=0.05，ki=0.008。轉(zhuǎn)速環(huán)新型趨近律積分滑模控制參數(shù)為A=B=C=0.1，a=b=c=0.2，p=7，q=5，k=600，α=0.1，δ=10，ε=10，N=1。

圖2是電機轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線，圖3是轉(zhuǎn)速穩(wěn)定后的局部放大曲線。從圖2可以看出，新型趨近律積分滑模控制的轉(zhuǎn)速響應(yīng)速度與PI控制差不多，2種控制方式下的轉(zhuǎn)速響應(yīng)均無明顯超調(diào)，且均能使電機轉(zhuǎn)速在0.02 s之后達到穩(wěn)定狀態(tài)。但是從圖3可以看出，當電機轉(zhuǎn)速達到穩(wěn)定狀態(tài)以后，PI控制下的轉(zhuǎn)速在6 701～6 705.5 r/min之間波動，最大轉(zhuǎn)速波動幅值為4.5 r/min左右，最大轉(zhuǎn)速與給定轉(zhuǎn)速6 700 r/min相比存在最大約5.5 r/min的偏差；平均轉(zhuǎn)速約為6 703 r/min，比給定轉(zhuǎn)速大了3 r/min左右。與PI控制相比，新型趨近律積分滑模控制下的轉(zhuǎn)速在6 698～6 701.5 r/min之間波動，最大轉(zhuǎn)速波動幅值為3.5 r/min左右，與給定轉(zhuǎn)速6 700 r/min相比存在最大約2 r/min的偏差；平均轉(zhuǎn)速約為6 700 r/min,與給定轉(zhuǎn)速相符。總的來說，新型趨近律積分滑模控制的轉(zhuǎn)速響應(yīng)速度快，無明顯超調(diào)，轉(zhuǎn)速波動和抖振量小，速度跟蹤精度高。

圖2 額定轉(zhuǎn)速6 700 r/min時的轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線

圖3 轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線(局部放大)

圖4是存在負載轉(zhuǎn)矩干擾時的轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線，圖5、圖6分別是圖4在突加負載和突卸負載時的轉(zhuǎn)速響應(yīng)局部放大曲線。從圖4可以看出，當存在負載轉(zhuǎn)矩干擾時，新型趨近律積分滑模控制下的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速均值約為6 685 r/min，與給定轉(zhuǎn)速相比存在15 r/min的偏差；PI控制下的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速均值約為6 584 r/min，與給定轉(zhuǎn)速相比存在116 r/min左右的偏差，轉(zhuǎn)速偏差值是新型趨近律積分滑模控制下的7.73倍。從圖5可以看出，當突加負載時，在PI控制下轉(zhuǎn)速能在0.05 s內(nèi)實現(xiàn)穩(wěn)定，但在新型趨近律積分滑模控制下僅需0.01 s轉(zhuǎn)速便能穩(wěn)定。在圖6中，當突卸負載時，2種控制方式均能使轉(zhuǎn)速在0.02 s內(nèi)達到穩(wěn)定狀態(tài)，新型趨近律積分滑模控制下的轉(zhuǎn)速存在13 r/min的小超調(diào)并能快速收斂，穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速相對于給定轉(zhuǎn)速幾乎無偏差；PI控制下的轉(zhuǎn)速響應(yīng)速度稍慢，雖然無明顯超調(diào)，但卻存在約5 r/min的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速偏差。綜合來說，新型趨近律積分滑模控制的抗干擾性能更好，存在負載擾動時能實現(xiàn)更小的轉(zhuǎn)速波動，突加負載和突卸負載時可以快速達到轉(zhuǎn)速穩(wěn)定狀態(tài)。

圖4 存在負載轉(zhuǎn)矩干擾時的轉(zhuǎn)速響應(yīng)

圖5 突加負載干擾時的轉(zhuǎn)速響應(yīng)

圖6 突卸負載干擾時的轉(zhuǎn)速響應(yīng)

為驗證新型趨近律積分滑模控制的寬范圍調(diào)速性能，針對600、1 500、3 000、5 000 r/min等給定轉(zhuǎn)速進行仿真。仿真時所有參數(shù)除給定轉(zhuǎn)速外均與前文一致。運行仿真程序，得到不同給定轉(zhuǎn)速情況下的電機轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線分別如圖7～圖10所示。從仿真結(jié)果可以看出，當給定較寬范圍的不同轉(zhuǎn)速時，新型趨近律積分滑模控制下的電機轉(zhuǎn)速響應(yīng)速度快于PI控制，且穩(wěn)態(tài)誤差小、無明顯超調(diào)、抗干擾性能好，與額定轉(zhuǎn)速6 700 r/min時的轉(zhuǎn)速響應(yīng)類似。顯然，新型趨近律積分滑模控制能夠滿足對寬范圍的高精度調(diào)速需求，不同轉(zhuǎn)速情況下均具有較好的控制品質(zhì)。

圖7 給定轉(zhuǎn)速600 r/min時的轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線

圖8 給定轉(zhuǎn)速1 500 r/min時的轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線

圖9 給定轉(zhuǎn)速3 000 r/min時的轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線

圖10 給定轉(zhuǎn)速5 000 r/min時的轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線

綜上所述，在新型趨近律積分滑模控制下，電機輸出轉(zhuǎn)速能快速無明顯超調(diào)地跟蹤不同的給定轉(zhuǎn)速，穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速偏差小，突加突卸負載時轉(zhuǎn)速僅有較小波動，可有效抑制負載變化對輸出轉(zhuǎn)速的影響，抖振現(xiàn)象得到明顯削弱。

4 結(jié) 語

本文在傳統(tǒng)指數(shù)趨近律的基礎(chǔ)上引入了系統(tǒng)狀態(tài)變量自適應(yīng)加權(quán)因子和終端吸引子，提出了一種新型的混合趨近律，并結(jié)合積分滑模面，獲得了新型混合趨近律積分滑模控制器構(gòu)建方案。并針對PMSM設(shè)計了PI和新型趨近律積分滑模速度控制器，通過仿真方式對2種控制方法進行了對比分析。仿真結(jié)果表明，所設(shè)計的PMSM新型趨近律積分滑模速度控制器有效地抑制了抖振，系統(tǒng)動靜態(tài)特性良好，能有效提高系統(tǒng)控制品質(zhì)，為PMSM實際控制器提供了新的設(shè)計方法。