細節重建，讓數學思維可視化

瞿芬

[摘? 要] 當代數學家R.柯朗認為數學是對思想及方法的基本研究，需要學習者通過數學猜想、演繹操作、思辨交流等形式呈現數學事實。但小學階段的孩子們，受自身數學思維水平的高低所制，學生學習的結果往往產生了很大偏差。為緩解這樣的差距產生，在課堂教學中，設想借以細節重建的方式，突破芥蒂讓學生將自己在問題解決時看不見的思維路徑、方法及相關的規律用圖示或文字描述等形式呈現。文章以“三角形面積的計算練習課”為例，從問題解決的思路、方法兩個角度展開論述，闡明了讓數學思維可視化、顯現化對學生數學思維培養的必要性。

[關鍵詞] 細節重建;小學數學;思維可視化

知識的傳授是一個復雜、持續的過程，學生學習的結果往往受到自身數學思維水平的高低所制，產生很大的偏差。數學思維是看不清、摸不著的身體機能的反映，很難讓教師對學生學習的掌握程度做出一個明確的評判?；诖?，將思維可視化的理念引入小學數學教學中，無疑是一個及有意義的實踐嘗試。何為“數學思維可視化”？讓學生將自己在問題解決時看不見思維路徑、方法及相關的規律用圖示或文字描述等形式呈現。思維可視化并非簡單的形式操作，它必須建立在教師對教材文本的精準研讀、對課堂環節的精心設計、對教學重難點的細節處理，只有在課堂教學中能發現和優化教學細節，適度地捕捉和利用一些輔助的課堂資源，讓學生在生動的場景中呈現自己學習的全過程，才能讓這樣的學習理念落地開花。

■一、改弦易轍，讓隱性的解題思路顯現化

當代數學家R.柯朗認為數學是對思想及方法的基本研究，需要學習者通過數學猜想、演繹操作、思辨交流等形式呈現數學事實。因此，讓學生掌握知識內在的邏輯形式和意義領域的相連點，必須在深度挖掘知識的豐富內涵的基礎上，跨越知識表層的學習，建立數學思維活動新模式，進而凸顯最高級的學習價值，使常態下的數學課堂教學具備可期、動態、延續等特性。為此，教師對教學細節進行重建、對學習媒介進行充分的運用，能在很大程度上讓學生數學的思維“動”起來、“說”出來，突破轄制的空間將問題解決的思維路徑、規律呈現出來。

1. 設計“靜”到“動”的路徑，突破變與不變的局限

數學概念是小學數學知識的基本要素，是一種靜態的資源呈現，為了能引導學生建構知識意義，主動探索、發現知識的聯系，必須讓其經歷從不平衡到平衡、變與不變中不斷反復應變的過程，才能理解概念并加以靈活地運用。特別是在小學數學高段的學習中，更應注重學生綜合應用多個概念的融合處解決問題能力的培養。因此，設計好從“靜”到“動”的路徑，無疑能使概念的形成達到“水到渠成”之境，更能讓學生在“畫面感”中得到意向的同化。

【教學片段回放一】

任務驅動，感知“等底等高、面積相等”。

出示任務一：以BC為底，畫出與△ABC面積相等的三角形（見圖1）。

學生獨立完成任務一。

出示學生的作品（略）并反饋交流。

師：這些三角形的面積都相等嗎？為什么？

生1：這些三角形的面積都相等，因為平行線之間的距離處處相等，高就相等，再加上都是以BC為底，所以面積都相等。

師：像這樣的三角形還有嗎？

生2：有，很多。

（教師借用幾何畫板，在平行線上移動點“A”得出多個面積相等的三角形）

師：我們可以移動點A在這里，還可以在這里，還可以在哪里？想象一下，這里可以嗎？

師：如果這個A點移動到右邊呢，想象一下，會是怎么樣的？

師：依照這樣的移動軌跡，你覺得A點要符合什么條件？

生3：一定要在平行線上就可以。

師：同學們想象一下這樣的三角形你可以怎么畫，畫出的圖可能會怎么樣？

……

師：同學們，剛才我們在頭腦里畫了這么多面積相等的三角形，你有什么體會？

生4：可以畫出無數個形狀完全不同，但面積相等的三角形。

生5：這些三角形的底和高相等，面積也相等。

小結：形狀各異的三角形只要等底等高，面積就相等。

……

學生頭腦中的圖像基本上是片段式、靜態存在的，受自身學習經驗的限制對一些幾何形體的理解就愈發覺得困難。在本課的這個環節回放中我們可以清晰地感受到教師并不拘于單純表象的建立，將學習的任務就簡單地停滯在判斷三個三角形的面積是不是相等。而是善于捕捉住課堂教學的每個細節，通過設計一系列的數學問題展示學習的路徑，借用幾何畫板的動態演示促使學生頭腦中的片段融會貫通，讓點A成為一個“動點”，通過移一移、想一想、議一議有意識地讓比較抽象、靜態、不易理解的“等底等高，形狀不同，面積卻相等的三角形”這個知識點在“靜動融合、數形聯系”的方式下，尋找到數學知識“變”與“不變”的立意之處，即兼顧學生的體會，又能在頭腦中很鮮明地構建這樣的一個空間感，讓學生的思維動起來、活起來，在想象中成形，真正做到從小入手，見微知著。

2. 確立“分”到“合”的路徑，感悟同與不同的縝密

數學學習是一個獲取數學思想、掌握學習方法、歸結方法步驟的過程，學生在經歷大量的實踐活動中，不斷積累學習經驗，突破認知的轄制進而獲得新知。但在實際的課堂教學中教師會以最后的學習結論為依據，忽視學生對數學思想的建立。如何將無形的數學思想得以完整地構建，感悟到解數學思想的精髓，進行知識的有效遷移，就需要教師舒展教學細節，關注動態建構，讓學生在同與不同的辨析中感悟所學。

【教學片段回放二】

運用“等積變形”，化“未知”為“已知”。

出示任務二：求出△ABD的面積（見圖2）。

反饋交流：

師：你遇到了什么困難？

生1：△ABD的底和高不知道，沒辦法求出它的面積。

師：誰有好建議嗎？

生2：我覺得△ABD的面積可以通過△ABC求得。

師：說說你是怎樣想的。

生3：從圖上可以看出，△ABD和△ABC是等底等高的。

師：你們同意他的想法嗎？誰看出來了，能上來在圖上指一指，為什么等底、為什么等高？

生4：△ABD和△ABC有一條共同的底AB，且點C和D都在同一條平行線上，如果移動C到D，他們就完全重合了，如果移動D到C，他們也完全重合，所以△ABD和△ABC的面積相等，如果利用△ABC的已知條件求出面積，那么△ABD的面積也就知道啦。

師：你覺得他的想法有道理嗎？我們也來移一移。

（教師利用幾何畫板動態演示）

師：我們剛才是怎么求出底和高都不知道的兩個三角形的面積的？

師：是的，利用“等底等高的三角形的面積相等”這個規律，我們可以把未知的問題轉化成已知的問題。

……

把未知的問題轉化成已知的問題，是學生所要理解和掌握的一個學習方法。在本環節教學中，當學生的學習“盲區”出現的時候，教師既不是置之不理，也不是簡單化處理——將答案直接告訴學生，而是敏銳地捕捉學生解題思路的價值，根據學生的學習實際，巧妙地利用媒介，將知識和技能的“學”提升到思想與方法的“悟”。抓住教育時機，教師引導學生利用“等底等高的三角形的面積相等”這個規律，通過幾何畫板進行新知的巧妙引導，將學生的數學思維暴露在眾人的面前，通過相互的交流、爭辯，將問題解決的思路清晰顯現、引向深入，讓整個數學學習、探究的路徑清晰明朗，讓學生感受三角形形狀之“不同”與計算方法“同”之間的聯系，達到內化提升之效。

■二、優化序列，讓顯性的解題方法系統化

因為缺乏足夠的表象為支撐，小學生在解決數學問題時往往會呈現出一種很茫然的狀態，特別對于一些有一定學習困難的孩子，他們更渴望能有一個學習的支撐點，幫助他們在抽象與形象的知識間做一個簡單的搭建，處理好問題想象、數學思維展開的特殊關系?；谶@樣的考量就需要教師有一種優化序列的解題意識，讓學生的思維相互碰撞，讓解題方法呈現系統化，映襯古人所說的“聚沙成堆，匯水成淵”之理。

1. 架構“難”到“易”的路徑，建立具象與抽象的鏈接

將“雙基”延伸至“四基”，“雙能”拓展到“四能”，是2013年數學課程標準的一個重大變革，這一個變革也讓每位教師更理性地審視自己的課堂教學，用全新的教育教學理念去設計教學，做一個學生學習之路真正的“引路人”。只有尊重和遵循學生的認知規律，以展示思維全過程為目標，將實際問題抽象成數學模型，做好“難”到“易”的自然過渡，才能讓學生的數學思維在具象和抽象中自由穿梭，并獲得數學思考與情感態度的不同體驗與拓展。

【教學片段回放三】

運用“等積變形”，化“復雜”為“簡單”。

出示任務三（見圖3）：

（1）求梯形ABCD中涂色部分的面積。

（2）求四邊形ABCD的面積。

學生獨立完成，分析交流。

分析第一題：

方法①：7×4÷2+3×4÷2=20（cm2）。

方法②：（7+3）×4÷2=20（cm2）。

師：你能讀懂第二種方法的解題思路嗎？

生1：我明白了，大家可以想象一下，如果把A點移至D點，也就是連接B、D兩點，那么就會得到一個大的△BCD。同理，如果把D點移至A點，就是連接A、C兩點，那么就會得到一個大的△ABC，這樣就能簡單算出這個圖像涂色部分的面積了。

師：你知道他解題的依據是什么嗎？

生2：等底等高的三角形的面積相等。

分析第二題：4×10÷2=20（cm2）。

師：你看懂了嗎？

生3：很簡單，延長CD這條邊，將A點沿著平行的方向移動，相交到延長的這條直線上得到新的一個點E，那么就把△ABD轉化成新的△ABE，根據等底等高的三角形的面積相等，就能算出啦。

師：通過這兩個問題的解決，你有什么想和大家分享的？

生4：任何一個復雜的圖形都可以利用等積變形的數學思想變得簡單。

生5：等底等高的三角形的面積相等的規律，可以讓復雜問題變得簡單。

……

在本環節的教學中，我們可以感受到當學生的學習觸角已經突破教材的邊界，并匯聚了足夠的學習驅動力時，教師就可以順勢而為，在知識、方法、思想與觀念上進行向外拓延，突破思維的局限，將學生從單一的思維中解放出來。透過多種解題方法的展示、分析、比較，學生就能真正地感悟“等積變形”的這種數學思想在實際的問題解決中的重要作用。在整個教學環節中，學生的思維經歷從具象到抽象的回歸，抽象到具象的模式建立，讓學生的思維得以真正地打開，并能靈活運用相應的方法解決問題。

2. 把控“度”到“渡”的路徑，拓展回顧與反思的邊界

數學學習是一個不斷發現問題、辨析跟進，不斷提煉歸納的過程。小學階段的學生到中高年級都具備一定的歸納、概括和策略反思的能力，并能運用這樣的學習經驗轉化為一種解題策略為自己所用。為了能讓學生進一步加深學習印象，形成較為完整的知識鏈，使思維得到進一步的發展，就要讓每個孩子經歷回顧與探討、分析與總結的階段。問題解決的最后階段不應該是簡單的結果呈現，而應該是對思路的梳理、方法的提煉。因為這樣一來能在很大程度上讓教師觸碰到學生思維的最深處，也影響到學生后期方法的運用和知識的積累。

在本課的最后回顧溝通階段，教師有目的地出示了這樣兩個問題：求這三個圖形的面積，解決過程中有什么相同的地方？回憶一下，我們研究這些復雜的圖形都是怎么做的？

學生通過比較再次對解題的策略和方法進行了一個縱向、橫向的聯系與歸結，得出了“等底等高的三角形的面積相等”這一個特定的知識點，讓學生真正認識到等底等高的三角形，雖然形狀不一定相同，但面積一定相等的本質關聯。同時通過回顧、辨析、討論，讓學生認識到當我們需要解決一些不規則的平面圖形的面積時，可以利用“等積變形”的數學思想將未知轉化成已知。根據“等底等高的三角形的面積相等”這一規律，通過想一想、畫一畫等方式打破自己的定式思維，選求最便捷的問題解決方式讓難題迎刃而解。

思維的破冰，才能帶來學生學習行動的破局。數學教學是一個需要教師不斷做出專業判斷與相應構思的過程，它不僅建立在教師對教材的深度研讀，更需要教師對學生的知識起點、認知規律有一個完整的認識。只要我們“立足于教材，對話于教材”“走近教材，理解教材”，通過細節重構的方式，突破自己教學的“瓶頸”，就能幫助學生在比較和活動參與之中獲得數學感受，與新知深層地交流、對話，到達思維可視化之境。