再談“PT 對稱的非厄米體系的能譜性質”

閆茂玉，陳 兵

(山東科技大學 電子信息工程學院應用物理系，山東 青島 266590)

眾所周知, 量子力學的出發點是5個基本假設,即波函數公設、微觀粒子動力學公設、算符公設、測量公設、全同粒子公設. 其中, 算符公設提出量子力學中的力學量必須用厄米算符表示, 這是因為厄米算符的本征值為實數, 是可觀測量. 而且量子態在厄米哈密頓量中隨時間的演化是幺正變換, 保證幾率守恒律[1], 然而對于PT對稱(宇稱-時間反演對稱)的非厄米系統也可以具有實數本征譜[2]. 文獻[3]基于PT對稱的一維緊束縛模型討論了體系虛數勢能對其能譜的影響, 但文章只討論了偶數格點系統能譜變化的特點. 本文在文獻[3]的基礎上, 對PT 對稱的非厄米體系的能譜性質重新進行了討論.

1 PT對稱的非厄米模型

為了文章的完整性, 我們從文獻[3]建立的一維緊束縛模型出發重新進行問題的討論. 系統的哈密頓量為

(1)

其中γ為虛數勢的強度,t為相鄰格點間的耦合強度的大小,N為系統格點的總數.

(3)

(4)

對應的本征值為

λk=-2tcosk

(5)

式中k=mπ/(N+1),m∈[1,N]表示系統的波矢.

下面討論γ≠0時對系統能譜的影響. 設本征態的形式解為

(6)

將其代入哈密頓(1)的本征方程不難發現, 系統的本征值λk在形式上仍然保持式(5)的形式, 但波矢k則由下式確定

γ2sin [k(N-1)]+t2sin [k(N+1)]=0

(7)

2 PT對稱系統能譜的討論

如文獻[2]所指出的,PT對稱系統的能譜受虛數勢γ的取值的影響. 主要表現為|γ|的取值存在臨界值|γc|, 當|γ|<|γc|時系統的本征值存在N個純實數解; 當γ=γc時系統的本征值出現合并; 當|γ|>|γc|時, 系統PT對稱性出現破缺, 反映出來的結果是系統的本征值存在N-2個純實數解,另外2個以共軛復數對的形式存在. 因此, 臨界值|γc|是非厄米相變發生的臨界點, 也稱例外點. |γc|的取值與N的奇偶性有關：

(8)

接下來我們詳細討論當|γ|=|γc|=t時, 系統能譜的性質. 由于|γc|的取值與N奇偶性有關, 所以我們將分成兩個方面分別進行討論.

2.1 N為偶數

取|γ|=|γc|=t, 式(7)可簡化為

sin (kN)cosk=0

(9)

不難得出方程的解為k=π/2或k=mπ/N,m∈[1,N-1]. 因為N為偶數, 所以當m=N/2時,系統存在兩個完全相同的波矢:k=π/2. 該波矢值對應的本征態和本征值完全相同, 這一點與厄米系統所反映出來的性質有很大的不同(在厄米系統中，簡并能級的本征態是正交的).

為了清楚的展示γ取值對能譜的影響, 圖1展示了N= 4系統的本征能量與γ的函數關系, 其中圖1(a)展示了本征值的實數部分, 圖1(b) 展示了本征值的虛數部分. 可以發現, 當|γ|

本征能量的實數部分 本征能量的虛數部分圖1 N=4系統的本征能量與虛數在位勢γ的函數關系

2.2 N為奇數

Nsin (kN)cosk-cos (kN)sink=0

(10)

上式為超越方程, 波矢k沒有明確的表達形式. 因為N為奇數, 不難發現k=π/2仍是方程(7)式的解, 此波矢對應能量為零的本征值. 圖2展示了N=5系統的本征能量與γ的函數關系. 可以發現, 當系統處在精確PT對稱相時, 5個本征值均為純實數. 當系統處在PT對稱破缺相時, 系統3個本征值為純實數, 2個為純虛數解; 在例外點, 系統有3個本征態出現合并. 這一點與N為偶數的情況有所不同, 其原因在于當N為奇數時始終存在一個與γ取值無關的能量為零的本征值.

通過對比圖1和圖2的結果我們發現，在該模型中無論格點數的奇偶，只有兩個能級經歷實數到虛數的轉換.

圖2 N=5系統的本征能量與虛數在位勢γ的函數關系

3 結論

本文在文獻[3]的基礎上詳細討論了PT對稱的一維緊束縛系統中虛勢對其能譜的影響, 補充了當系統維度為奇數時, 虛數在位勢對能譜影響的討論. 結果表明系統的能譜性質受虛數在位勢的取值的影響: 當|γ|取值小于臨界值|γc|時, 系統的本征值全部為實數解; 在例外點, 系統的本征值出現合并; 當|γ|取值大于|γc|時, 系統有兩個能量本征值由實數轉變為虛數, PT對稱發生自發破缺. 此外, 臨界值|γc|的取值還與系統維度的奇偶性有關, 在熱力學極限下,N→∞,γc的取值將趨于一致.

上述現象出現的原因是γ的取值雖然不影響哈密頓量的PT對稱性, 但會對哈密頓量本征態的PT對稱性產生影響. 當|γ|取值小于臨界值|γc|時, 系統的所有本征態都具有PT對稱性, 此時所有的本征值為實數. 當|γ|取值大于臨界值|γc|時, 部分本征態的PT對稱性發生破缺(即該本征態不再具有PT對稱性), 這些對稱性破缺的本征態對應的本征值轉變為純虛數, 其余保持PT對稱性的本征態對應的本征值仍為實數.