剛體一般運動的描述

邵瀚雍

(北京師范大學 物理學系，北京 100875)

一般運動是剛體運動學中最復雜的問題，因此國內的理論力學教材大多對此介紹較少. 且由于剛體運動學教學難度大，課時少，故多數同學跳過了剛體一般運動的內容，但這恰是將剛體運動轉化成代數知識的極佳機會，不得不說是一種遺憾.

事實上，剛體的一般運動總能分解成基點的運動和繞過該點某軸線的定軸轉動，國外教材對此用代數語言給出了證明，但也沒有就代數理論和剛體運動的關聯進行深入的探討.

本文從正交矩陣講起，力圖用清晰簡明的語言，論證使用矩陣描述剛體運動的合理性和優越性，并借用代數思想，將剛體運動和線性代數的知識聯系起來，希望能對理論力學的相關教學和學生的學習起到一定的補充和幫助作用.

1 參考系

實驗室參考系，即觀者所在的慣性參考系；本體參考系，即固連在剛體上，并與之共同運動的參考系，一般是非慣性系.

固連在兩種參考系上的坐標系各有利弊. 在實驗室坐標系中，基矢對時間的微商為零，便于建立動力學方程，但許多力學量在該系中較復雜并不斷變動；在本體坐標系中，這些力學量雖然直觀簡單，恒定不變，但其坐標軸的基矢處在變動之中.

在研究剛體定點轉動的問題時，我們需要尋找這兩種系之間的關聯，恰當使用它們描述剛體的運動[1].

2 剛體的一般運動

剛體在空間不受約束自由運動時，其自由度s=6. 一般選定廣義坐標(xc,yc,zc,φ,θ,ψ)描述剛體的狀態，其中xc、yc、zc為剛體質心在實驗室系中的笛卡爾坐標，φ、θ、ψ為剛體的本體系和實驗室系坐標變換對應的歐拉角.

剛體一般運動有4類特殊情況：平動、定軸轉動、平面平行運動、定點轉動. 雖然它們形式各異，但可以證明如下兩點[2]：

1) 定點轉動總可以等效于繞過該定點某一軸線的定軸轉動.

2) 剛體一般運動總可以分解為某點的運動和繞過該點某軸線的旋轉.

換言之，總可以將復雜的一般運動，分解成過一點的定軸轉動(或由多個定軸轉動合成)與該點的運動.

第1點所談到的內容，正是剛體運動歐拉定理. 該定理指出，對于基點固定的剛體，其運動可以分解為繞某個或多個轉軸的轉動. 根據歐拉運動定理，我們可以將之推廣，即第2點，沙勒定理. 該定理指出，剛體的最廣義位移等價于一個平移和一次旋轉. 它們是本文的重點，在證明前，需要先通過代數的語言，合理描述剛體的運動，以便于后續的證明.

3 正交矩陣

在線性代數理論中，正交矩陣A被定義為行向量、列向量皆正交且值為1的方陣[3]，即滿足如下的性質(E為單位陣)：

ATA=AAT=E

(1)

矩陣乘法等價于一次線性變換，換句話說，在數學里這種特殊的變換(正交變換)可以保持空間中任意兩點的歐式距離不變. 這意味著若將某向量v乘上正交矩陣A，得到的新向量長度不變，且空間的原點不變. 我們通常將這種變換稱為歐拉變換[4].

此外，由于正交矩陣滿足：

ATA=A-1A=E

(2)

正交變換一定存在逆變換，而且該逆變換很容易寫出：A-1=AT. 正交矩陣的這些特殊性質在描述剛體運動時展現出極大的優越性，因此，我們常用它描述剛體運動.

4 剛體運動的代數表達[2]

從物理上講，根據沙勒定理，剛體的運動可以分為兩種：定點轉動和點的運動. 也就是第2節中提到的6個廣義坐標. 而上一節中提到的正交變換——歐氏距離不變的線性變換，恰好可以準確反映剛體的定點轉動. 換言之，剛體的定點旋轉過程可以由一次歐拉變換來描述. 容易得知，這種變換對應的正交矩陣R應是一個含時矩陣，即R(t).

僅僅描述旋轉過程是不夠的，還需要描述點的運動. 易知，描述該運動只需在旋轉后添上一個簡單的平移矢量p即可.

從數學上講，剛體的運動，可以反過來看作是坐標軸的運動. 因此，假設兩組正交基分別為[e1,e2,e3] 和 [e′1,e′2,e′3]. 在這兩組基下，某向量v在這兩組基下的值分別為[a1,a2,a3]T和[a′1,a′2,a′3]T.

因此有

(3)

于是，得到

(4)

已知a=[a1,a2,a3]T，a′=[a′1,a′2,a′3]T且定義如下：

(5)

則可以將上式寫為

a=Ra′

(6)

稱R是旋轉矩陣. 可以看到，R矩陣是由兩個標準正交基相乘而來，在線性代數中可以很容易證明，這樣得到的矩陣R是正交矩陣，或者反過來說，任何正交矩陣都可以拆分為兩個標準正交基的矩陣乘積.

因此，旋轉矩陣R恰好是正交矩陣，而正交矩陣對應的變換也恰好是兩組基之間的旋轉變換，也就是實驗室系和本體系的歐拉變換；并且，任意實正交矩陣都能看作為一個旋轉矩陣. 值得一提的是，旋轉矩陣的集合稱之為特殊正交群：

SO(n)={R∈n×n|RRT=E，detR=1}

這個正交群可以描述n維空間的旋轉變換，在此只考慮n=3的情況.

再考慮定點的運動，可以將剛體的運動在數學上表示為

a′=RTa+p

(7)

數學的正交矩陣(變換)，對應著歐式空間中距離不變的線性變換，而物理的旋轉矩陣(旋轉)，對應著剛體運動時的任意兩點保持相對距離不變的屬性. 這樣，在本節和上一節中已經論證了剛體運動的代數表達，這種代數的表達方式是相當合適且嚴謹的.

5 旋轉變換的本征問題

剛體的定點轉動定理指出，對于基點固定的剛體，其一般運動都可以分解為繞某個或多個軸的轉動.

根據定理，假設轉軸對應的空間列向量為p，由于轉軸并不會因為剛體轉動而發生任何變化(剛體本身就在繞軸轉動)，因此，當發生旋轉變換時，p應當保持不變. 這對應著數學中的不變子空間理論. 請看定理[4]：

設φ是線性空間V上的線性映射(變換)，而總能找到V的子空間U，使得

φ(U)?U

即子空間U的任意元素p在線性映射φ的像Imφ中依然是p本身，稱U為φ的不變子空間.易得，φ總有兩種特殊的不變子空間U，分別是零子空間和全空間V，并稱之為平凡子空間.

可以發現，在三維旋轉映射R下，有一個我們最關注的非平凡不變子空間，這個子空間恰好就是轉軸所處直線對應的子空間.

上述內容也可以在拓撲理論中理解成映射的不動點原理(Brouwer’s Fixed-point Theorem).

(8)

因此，由Rp=1p，得知p為旋轉變換φ的本征函數，λ為變換φ的本征值，這恰好就是線性代數中熟知的矩陣特征值問題：

Ap=λp

(9)

所以若要證明歐拉定理，可以將定理的證明等價于證明旋轉矩陣R的特征值組中必然有一特征值λ1=1.

本征值與本征函數對刻畫線性系統的普遍性質和演化規律有著重要意義. 它是所有線性體系中最根本的特點. 如果能得到線性體系對應的本征值與本征函數，就可以通過線性組合的方法描述或解釋這一體系更為普遍的規律.

6 歐拉運動定理的證明和推論

歐拉運動定理的論證過程在H.Goldstein所著的Classical Mechanics[6]和Beatty M.F. 所著的Principles of Engineering Mechanics: Kinematics中都有著詳細的描述. 兩本書巧妙利用矩陣和線性代數理論證明了歐拉定理，而我們的證明過程也借鑒了其中的思想.

設旋轉矩陣為R，歐拉定理中所描述的軸線為p，則有：Rp=p.

根據上一節中內容，若需要證明旋轉過程中存在始終不變的軸線p，則等價于證明矩陣R具有特征值λ1=+1.

容易證明旋轉矩陣R為正交矩陣，所以由RTR=RRT=E，可得：

(R-E)RT=E-RT

(10)

|R-E||RT|=|E-RT|

(11)

設旋轉前后兩組正交基的基點重合于剛體的定點，且初始基為標準正交基. 則可以得出初始旋轉矩陣為三階單位陣E.因此，根據矩陣乘法，后續的旋轉矩陣的行列式的值|R|和|RT|仍為+1.

由式(11)可得

|R-E|=|E-RT|=|E-RT|T=|E-R|

(12)

因此，有

|R-E|=|E-R|=|-1(R-E)|

(13)

而

|-1(R-E)|=(-1)n|R-E|

(14)

其中n為矩陣維數，也是空間維數. 所以得到

|R-E|=(-1)n|R-E|

(15)

剛體所處為三維空間，n=3，所以

|R-E|=-|R-E|=0

(16)

最終得出|R-E|=0，即矩陣R至少有一個特征值λ1=+1，歐拉運動定理得證.

需要多談兩個問題：

其一[1]，如果剛體所處空間不為奇數維度，而是偶數維度，則得不到|R-E|=0的結論，也就是說歐拉運動定理在二維、四維等偶數維空間失效. 所以，平面內不存在歐拉定理，因為當坐標系轉動時，任何位于平面內的矢量均會發生改變，唯有沿轉軸方向的矢量不發生改變，但此時它與平面垂直，并不在平面內.

這是一個相當有意思的推論，這意味著我們所處的三維空間并不是隨便確定的.

其二，是旋轉矩陣R是否還存在別的特征值？答案是肯定的. 利用矩陣的久期方程：

|R-λE|=0

(17)

可以發現，這是一個關于λ的三次方程. 高斯的代數基本定理指出，該一元三次方程在復數域中必然存在三個根. 在文獻[7]中，我們可以根據矩陣的跡tr(R)求得另外兩個特征值分別為

λ2,3=e±iΩ

(18)

也就是說，旋轉矩陣的另外兩個復特征值的輻角，恰好為歐拉定理中繞固定軸線p的旋轉角Ω.

這里給出兩個特殊情況：

1)λ1,2,3=+1：此時Ω=0，意味著剛體保持了初始時刻的狀態，為平凡解.

2)λ1=+1;λ2,3=-1：此時Ω=π，意味著剛體繞軸轉過了180°，剛體任意兩點之間的矢量p′都做了關于p的空間坐標反演操作.

而沙勒定理是歐拉定理的一個直接推論. 該定理的證明如下.

剛體的一般運動可以分解為剛體中某一點的運動并疊加上剛體對該點的定點運動. 而根據歐拉運動定理，后一運動可以認為是繞過該點的某一軸線的轉動. 因此，剛體的一般運動可以分解為某點的運動和繞過該點某軸線的旋轉. 沙勒定理得證.

至此，我們完成了剛體一般運動中沙勒定理的證明，論證了剛體的任意運動都可以分解為某點運動和定軸轉動.

矩陣語言雖然簡練，但不能直觀反映物理實質. 這里需要尋找一種物理的描述辦法刻畫剛體的運動，這就是所謂的歐拉角，也是前面所述的3個廣義坐標φ、θ、ψ.

7 歐拉角

在天體和力學領域里，為了完備、清晰地刻畫剛體運動，分別用了章動角θ、進動角φ和自轉角ψ來描述.這些稱呼來自陀螺的定點運動，如圖1所示.

圖1 陀螺定點運動示意圖

為了便于描述歐拉角的具體意義，可將剛體的定點轉動通過坐標軸的旋轉，依次分成3個步驟，如圖2—圖4，這里在每個步驟后面都寫上了對應的旋轉矩陣R. 每一次的旋轉并不是任意的，它們都可以在圖1的陀螺運動中找到對應，轉動順序是進動、章動、自轉，如下所示.

1) 繞Oz0軸進動φ：圖2(a)→(b)

圖2 進動示意圖

從Ox0y0z0到Ox′y′z′的旋轉矩陣為

(19)

2) 繞Ox′軸(節線ON)章動θ：圖3(a)→(b)

圖3 章動示意圖

從Ox′y′z′到Ox″y″z″的旋轉矩陣為

(20)

3) 繞Oz″軸自轉ψ：圖4(a)→(b)

圖4 自動示意圖

從Ox″y″z″到Oxyz的旋轉矩陣為

(21)

經過上面的三次旋轉變換，可以得到描述剛體的任意旋轉的總變換矩陣：

R*=RψRθRφ

(22)

由前面的結論可知，所有的變換矩陣都是正交矩陣，均由變換前后的兩組基底相乘而來(此處為一組基的轉置和另一組基之間的矩陣乘法).

(23)

將不同的角速度對應的基矢利用旋轉矩陣得到的函數關系展開化簡，可以得到如下的結論：

ω在實驗室系的坐標軸投影為

(24)

ω在本體系的坐標軸投影為

(25)

這樣，我們得到了剛體定點轉動中繞某一軸線旋轉的角速度ω的實際物理意義，即可以把這一定軸轉動對應的轉角Ω分解到3個有意義的歐拉角(也就是φ、θ、ψ)上去.

不過，需要強調的是，在導出歐拉角的時候，所經歷的三次連續旋轉的轉軸的選取順序其實存在著隨意性. 只要每次選定的旋轉軸不與上一次相同，便可以任意選取. 因此，在右手系中我們有3×2×2=12種不同的旋轉方法，這稱為歐拉角的順規.

大多數的理論力學教材所采用的是x順規，即第二次旋轉繞x軸(前文中的節線ON)，而多數的量子物理、核物理的教材所采用的是y順規，即第二次旋轉繞y軸.

在工程中，為了彌補前兩種順規在變換前后的坐標系區分程度低的缺點，常采用第三種常見順規：xyz順規[2]，這樣得到的3個角就分別是飛機的偏航角(Yaw)、俯仰角(Pitch)和滾動角(Roll).

8 總結

在本文中，我們介紹了正交矩陣在描述剛體運動的優越性，并將之應用到剛體的旋轉運動中，隨后利用旋轉矩陣證明了剛體運動的沙勒定理，這意味著復雜的剛體一般運動可以由定軸轉動和點的運動來描述. 之后，我們從物理給出了剛體定點運動的圖像，并用歐拉角來描述這樣的運動. 剛體的運動學在數學上和物理上都全部得以描述.