利用費曼路徑積分理論分析多光子干涉

王瑞敏,劉丹東,徐忠鋒

(西安交通大學 物理學院，陜西 西安 710049)

量子力學中，光子干涉是學習和理解光的波粒二象性的重要實驗依據.同時，由于它在量子信息處理方面的應用潛力，也是目前量子光學研究的熱點之一[1]. 狄拉克曾指出：每個光子只能和自己干涉，不同光子之間的干涉是不可能發生的.狄拉克的表述是對一階干涉來說的，而雙光子干涉是二階干涉現象.對二階干涉，乃至高階干涉的解釋，目前存在不同的理論[2].

量子力學有3種表述形式，波動力學、矩陣力學和費曼路徑積分[3].目前國內的量子力學教材都在沿用波動力學和矩陣力學兩種最早出現的表述形式，幾乎沒有介紹費曼路徑積分理論的.因為, 多數人認為對所有路徑求積分是將該理論引入教學的一個難點[4].然而，用費曼路徑積分處理微觀粒子的干涉，不用考慮狄拉克的表述，一階和高階干涉具有統一的理論解釋[5].它使得經典力學和量子力學之間的過渡不再有任何困難.我們在教學中指導學生利用費曼路徑積分理論，推導了雙光子二階干涉和三光子三階干涉，讓學生鑒賞到這種新方法的方便、直觀.同時，幫助學生進一步理解量子干涉現象,也了解了目前量子力學的前沿發展.

1 兩熱光源的二階時間干涉

雙光子二階干涉的理論和實驗研究有很多研究報道[2,6]，包括非經典光源和熱光源.我們首先介紹用費曼路徑積分理論得到的二階時間干涉的結果.圖1是雙光子干涉實驗裝置圖.兩個非簡并的準熱光源S1和S2，發出兩個光子A和B.光子通過分束器BS后被兩個單光子探測器D1和D2接收，并觸發雙光子符合計數系統. 實驗中測量分束器輸出端符合計數率，根據符合計數率的極值變化判斷是否發生干涉. 對于時間干涉，我們規定兩個光源到兩探測器的距離r相同，并設兩光源的強度相同，中心頻率分別為ω1和ω2，頻率帶寬都為Δω. 對于多光子干涉，光源和路徑的不可區分是產生干涉的關鍵.雖然中心頻率不完全相同，但當時間測量的不確定度小于1/|ω1-ω2|時，可以認為是不可區分的[7]. 此時，就會出現干涉現象，干涉規律可以用二階關聯函數，即雙光子波函數的模方表示. 對于所有可能的積分路徑，我們可以通過列表法來直觀展現.如表1，兩個光子A和B可以由同一個光源S1或S2產生，也可以分別由不同光源產生，存在4種情況. 在每種情況下，兩個光子到達兩個探測器又存在兩個不可區分的路徑. 第1種是光子A到達探測器D1，B到達D2.第2種是光子A到達D2，B到達D1. 根據費曼路徑積分疊加原理，總的概率波幅是所有可能路徑的概率波幅之和.二階關聯函數Φ(2)(t1,t2)包含上述4種產生光子情況下對概率分布的貢獻.

表1 二階干涉光源和路徑不可區分的各種情況

圖1 雙光子二階干涉光路圖

Φ(2)(t1,t2)=〈|Φ1j(t1,t2)+Φ2j(t1,t2)+

Φ3j(t1,t2)+Φ4j(t1,t2)|2〉

(1)

其中每一項又包含兩個不同路徑的貢獻，等于兩個路徑的概率分布之和. 如第1項兩光子都由光源S1發出，光子A到達探測器D1，B到達D2. 或者是光子A到達D2，B到達D1，則

(2)

第2項兩光子都由光源S2發出時，

(3)

在這里，觸發一次三光子符合計數的情況雖然多，但表現在公式里只是角標的輪換，其它項具有完全相同的形式，學生不難理解. 將費曼光傳播算子(4)式代入后可得三階關聯函數

(4)

將其代入式(1)后可得

(5)

在現場作業工作完成后，要對現場進行仔細清理，并且注意要恢復現場的有關安全防護措施，還原原有的設備定置，防止由于作業而給現場留下日后的安全隱患。

2 兩熱光源的三階時間干涉

{1+cos[(t1-t2)(ω1-ω2)]+

圖2 三階干涉光路圖

表2 兩光源三階干涉的所有可能路徑

(6)

每種產生光子的情況下，A、B、C三個光子到達3個探測器D1、D2、D3，又存在6種不可區分的路徑(如表2所示). 因此，式中每一項又等于6種路徑的概率幅之和，如

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式中前3項代表兩光子之間的二階干涉，最后1項代表三光子之間的三階干涉. 由此可見，三階干涉包含二階干涉的所有信息.

(7)

其它項有相同的形式，只是角標變化. 式中φi jA,B表示光子的初相位，當光子經BS反射時需要附加π/2的相位. 由于2個熱源是相互獨立的，式(1)中相位求統計平均后為零.Kαβ是光源Sα到探測器Dβ的費曼光傳播算子，它反映光子從Sα到Dβ的概率波幅. 對于熱光源

式中sinc(x)=sinx/x,sinc2[Δω(t1-t2)/2]表示光子聚束項，cos(t1-t2)(ω1-ω2)表示拍頻項.當兩個頻率相近的光子發生量子干涉時，會出現拍的現象，稱為量子拍.

如圖2，在雙光子二階干涉的實驗基礎上，增加一個分束器將光分為3束. 其中BS1為1:2，BS2為1:1，以保證3個探測器接收的光強度相同. 光源到3個探測器的距離都為r. 3個探測器的光觸發3光子符合計數系統. 此時光源發出3個光子存在8種不可區分的情況，如表2所示. A、B、C三個光子可能由同一個光源S1或S2產生，也可能光源S1產生兩個，S2產生一個，或者S1產生一個，S2產生兩個. 總的概率波幅是這8種情況的概率波幅之和.三階關聯函數等于8項相加

cos[(t2-t3)(ω1-ω2)]+cos[(t3-t1)(ω1-ω2)]}}

對所有患者開展腫瘤組織間碘-125放射性粒子植入術治療。首先,為患者開展經皮穿刺植入法治療。針對肝癌,頸部癌癥,口腔癌,腎癌等患者,于局麻下采用放射性離子穿刺植入針開展手術。患者于CT定位下按照所需間距及粒子數經皮穿刺植入病灶內部,保證粒子縱橫間距在1-2cm之間。針對食道癌患者,可根據患者食道病變長度和狹窄程度,選擇合適的放射性離子食管覆膜支架,開展植入。方法與普通食管支架方法相同,植入放射性離子為碘-125離子。

(8)

目前,澳大利亞職前體育教師采取階段性的教育實習方式,即各個階段的教育實習并非連續整體的一個周期, 而是貫穿于本科的四年時間之中，使職前體育教師每年都有機會到合作的中小學進行專業體驗。以悉尼大學體育教育專業為例，從大學第一年起，學院每學期都會安排學生到中小學進行實習(總共80天)，實習的時長將隨著學生教學水平的提高而逐漸增加(表5)。

3 三熱光源的三階時間干涉

我們還可以進一步在圖2中增加光源S3，中心頻率為ω3， A、B、C三個光子由3個光源發出，就可以得到3熱光源的三階時間干涉.用同樣的方法列表統計3個光源發出3個光子的所有可能情況，如表3所示，此時共存在27種光源不可區分的情況. 3熱光源的三階關聯函數包含這27種情況下被探測到的3光子概率分布的貢獻，即

表3 三光源三階干涉中光源不可區分的各種情況

Φ(3)(t1,t2,t3)=〈|Φ1j(t1,t2,t3)+Φ2j(t1,t2,t3)+

…+Φ27j(t1,t2,t3)|2〉

(9)

每種情況下，A、B、C三個光子到達3個探測器D1、D2、D3仍然存在6種不可區分的路徑，與表2中完全相同. 因此，上式中每一項概率分布表達式的形式與式(7)相同，是6項相加，只是做角標的變化. 將費曼光傳播算子代入后就可得三光子三階關聯函數. 由此可見，從雙光子的二階干涉到三光子的三階干涉，乃至更高階的干涉，分析思路相同，具有完全統一的理論解釋. 通過這種方法可以讓學生接觸到高階光子干涉. 對于多個積分路徑的難點，利用列表法更容易使學生理解. 隨著干涉階次增加，關聯函數包含的項數增多，會變得比較復雜. 對于多光子干涉比較復雜的關聯函數，我們可以利用計算機模擬來給學生直觀地展現干涉結果.

根據不同的分類標準，研究方法有不同的分類方式。以研究的目標或目的為標準，可分為“基礎研究”和“應用研究”；以研究方法為標準，可分為“定性研究”和“定量研究”；以研究方式為標準，可分為“理論研究”“實驗研究”“調查研究”等。借鑒這些分類，本文將英語詞匯學習研究方法分類兩大類，一類是以實驗為基礎的實證研究，另一類是以理論分析為基礎的理論研究。

4 干涉結果的模擬

圖3是利用Mathematica軟件對二階和三階時間干涉結果進行的理論模擬.在圖3(a)雙光子二階干涉的結果中，可以看到在sinc2函數曲線的包絡中存在很多干涉峰，它是光子聚束和拍頻項共同作用的結果.圖3(b)是三光子的三階時間干涉的結果.可以看到，在中間主峰兩側出現了次峰，它是兩光子和三光子聚束之間量子路徑干涉的結果.我們可以說，多光子干涉是光子聚束和量子拍效應共同疊加的結果. 利用模擬結果可以讓學生清楚地觀察到多光子干涉和拍的現象. 圖中改變頻率和相對時間延遲，還可以得到更多干涉規律[8].

圖3 (a)非簡并雙光子二階干涉模擬， (b)非簡并三光子三階干涉模擬 (設定t3=0，t12=t1-t2為相對時間延遲)

5 總結

我們利用費曼路徑積分理論推導了雙光子和三光子干涉的關聯函數，并且探討了將費曼路徑積分理論引入本科量子力學教學的可能性.費曼路徑積分對一階和高階干涉具有統一的理論解釋，利用這種方法可以讓學生比較容易接觸和理解高階干涉.對于多個積分路徑的難點，可以通過列表法來分析統計. 對于干涉結果，可以利用計算機模擬來直觀展現.通過上述分析，使學生在其知識水平可以理解的范圍內，對光子干涉和量子拍的現象有了深入的認識. 同時，也接觸到了當前量子光學的前沿研究問題. 這是我們教學內容前沿性改革的一次嘗試.