托馬斯效應的簡單詮釋

楊 一，李秀玲，羅成林

(南京師范大學 物理科學與技術學院，江蘇 南京 210023)

為解釋堿金屬光譜的精細結構和反常塞曼效應，烏倫貝克和哥德斯密特提出了電子自旋的假設，盡管與觀察結果定性相符，但在數值上，根據電子自旋和軌道相互作用公式計算的堿金屬原子光譜的精細結構卻比實驗值大了一倍，因此這種假設受到了許多人的質疑.直到托馬斯指出原子實繞價電子轉動的價電子參考系中的自旋軌道相互作用轉換到價電子繞原子實運動的原子實參考系時需考慮相對論效應引起的坐標系的進動[1,2]，即托馬斯進動，才真正確認了電子自旋的概念，并得到計算出了與實驗值相一致的精細結構數值.但對于托馬斯進動角速度的推導，常用的微分角度利用連續二次洛倫茲變換的方法過于繁瑣，也不易理解，本文采用積分的角度，從電子繞行原子實一周時，在原子實參考系和電子隨動參考系中的角度差出發，使計算過程簡潔明了，并呈現出清晰易懂的托馬斯進動圖像.

1 問題的引入

在原子物理教學中，自旋-軌道相互作用是理解原子精細結構的核心物理概念. 按照電磁學理論， 電子自旋-軌道相互作用的能量U=-μs·B′(μs是與自旋相聯系的磁矩，B′是電子感受到的由自身軌道運動而產生的磁場).在主流教科書上[3,4]，該磁場的計算方法如下：原子的價電子繞著原子實做軌道運動，根據運動的相對性，在相對于價電子靜止的坐標系中，帶正電荷的原子實則以相同大小的速度繞電子運動(見圖1)，從而使電子感受到一個磁場,且該磁場的方向與電子軌道運動角動量的方向一致.因此，由畢奧-薩法爾定律可以很容易地算出[4]

(1)

式中，Z*是原子實的有效電荷數，r是電子軌道運動的半徑，v是電子繞原子實運動的速度，E是原子實作用于電子的靜電場.但是用這個磁場計算出來的能量與實驗光譜不符， 且正好比觀測值大一倍，也就是說，電子感受到的磁場應是上式計算值的1/2. 歷史上，這個結果曾對電子自旋概念的確認帶來很大困擾.

O系觀察 e系觀察圖1 電子在軌道運動中感受磁場示意圖[3]

1926年，托馬斯[1,2]發現了理論與實驗不符的關鍵. 原來，靜止的原子實參考系(簡稱O系)與做加速運動的電子參考系并不等價. 在整個原子系統中，由于原子實質量遠大于電子質量，故可以認為原子實保持靜止而僅有電子在運動, 因此，O系是慣性系. 然而，電子受與其速度垂直的電場力作用下作圓周運動，存在向心加速度，電子本身則是一個非慣性轉動參考系.起初， 經典物理理論忽略了原子實參考系和電子參考系的差別，認為它們是等價的， 故將在電子參考系中計算得到的電子自旋-軌道相互作用能量等同于O系中的自旋-軌道相互作用能量，致使理論值比實驗值大1倍. 托馬斯考慮了原子實參考系和電子參考系的非等價性,此外，他還注意到，由于電子自旋概念的引入，意味著電子有一個自旋軸，此自旋軸的方向即是電子自旋角動量ps方向，如圖2(a)所示. 所以，電子參考系是一個包含自旋軸的參考系(簡稱e系, 其自旋軸記為z′軸).需要強調的是，畢奧-薩法爾定律只在慣性系中成立. 在e系中，由于電子做圓周運動，為了確保e系為慣性參考系， 只能假設它瞬時相對于電子靜止. 電子運動到下一時刻，e系將與電子脫離，于是，必須重新選一個e系，使之與電子保持瞬時靜止. 這就導致e系相對于O系有一個轉動角速度(在教科書及參考書中，此物理圖像并不是一目了然的)，稱之為托馬斯進動. 但光譜精細結構實驗值是在O系中測量得出，其理論值應該用O系中的實際進動頻率進行計算，這個進動效應的凈效果恰好使電子感受到的磁場強度為式(1)計算值的一半，這就是由式(1)求得的磁場強度需乘以1/2因子的來源.

托馬斯進動的發現，使電子自旋假說與實驗完美符合，從而確認了自旋概念，在物理學發展史上具有重要意義. 遺憾的是，托馬斯進動角速度的理論推導很繁雜[2]，難以在課堂上予以明晰的演算. 為了能讓學生理解托馬斯進動效應，許多教師付出了艱苦努力，其基本方式仍是沿用Thomas的思路：從微分學的角度進行連續旋轉運動的二次洛倫茲時空變換[5,6]，以導出e系相對于O系的托馬斯進動角速度，進而求出O系中，電子所感受到的由于其軌道運動形成的磁場.雖然簡化了一些步驟，但其推演過程仍然復雜易錯，物理圖像比較晦澀，不適于在教學過程中應用.為此，H Kroemer[7]曾提出一個描述托馬斯進動效應的新思路: 在靜止O系中預先引入一個垂直于電子軌道運動方向的磁場，使電子受到新引入磁場的洛侖茲力與電子和原子實之間的庫侖力平衡，讓電子所受合力為零而作勻速直線運動. 此時，電子可作為慣性參考系予以考慮. 這種方式回避了托馬斯進動角速度的概念和計算，直接求出電子自旋感受的磁場，但卻需要學生對較為復雜的相對論電磁學有很好的知識儲備，仍然不夠簡單，并且缺乏對托馬斯進動物理圖像的描述.

經過研究，我們發現完全可以從積分的角度對托馬斯進動進行理解和推導，E M Purcell曾給出過相似方法的建議[8]，借助飛機沿多邊形飛行的模型進行了托馬斯進動的推導，本文則采用更為直接的方法，從電子繞原子實運動時因參考系的差異而產生的角度差入手，展現生動的物理圖像，進行簡單的推演，易于學生掌握.

2 托馬斯進動物理圖像的簡單描述

在e系中，電子自旋將在磁場B′作用下繞電子自旋軸z′進行拉莫爾進動(如圖2(a)示)，根據旋磁比關系,并結合式(1)可知，該拉莫爾進動角速度為

(2)

其中，m是電子質量.但需注意的是，這是電子在e系中繞其自身的自旋軸的拉莫爾進動角速度，但自旋-軌道相互作用能量是在實驗室系中獲得的.為了一致性，我們應求出在O系中觀察到的電子自旋進動角速度.

電子自旋由于感受到B′而繞z′的拉莫爾進動

O系(xy)與e系(x′y′)隨電子運動的變化圖2 托馬斯進動物理圖像

由圖2(b)可見，在電子運動的起始點A處，e系在電子軌道運動平面的坐標軸 (x′,y′) 指向與O系坐標軸 (x,y) 指向一致. 對于O系而言，電子從A點出發，繞原子實運動一周,運動距離l0= 2πr，最后回到A點，e系旋轉2π角度，其坐標軸 (x′,y′) 回歸到出發時與O系坐標軸 (x,y) 方向一致的情形. 而在相對于電子保持瞬時靜止的e系觀測，因為電子運動速度始終沿圓周切向，根據狹義相對論運動方向長度縮短的結果，電子繞原子實運動“一周”的距離會收縮為

(3)

而電子速度方向始終垂直于半徑方向，半徑r保持不變，不會收縮. 所以，在e系看來，電子從A點出發，繞原子實“一周”，經過l′的距離，最后只能到達B點，其繞原子實運動所轉過的角度為

(4)

因為v?c，可得

(5)

這表明e系并沒有完成2π角度的旋轉. 因此，在點B處，e系的坐標軸指向與起始位置A處的坐標軸必然存在角度差。但是，從O系來看，電子繞行原子實一周，旋轉了2π角度， e系此時的坐標軸指向應該與起始點A處坐標軸指向相同，即與O系坐標軸指向一致，所以為了方便對比，我們可以將O系坐標指向平移至B點處，圖中B處紅色坐標系指向即是原子實O系的坐標指向，而藍色坐標系代表電子隨動e系. 顯而易見，e系與O系的坐標軸指向之間存在一個(φ′-2π)的角度差，這個角度差的出現說明在電子繞原子實運動的過程中，e系相對于O系會有相對轉動 ，也就意味著，O系(實驗室系)觀察到電子隨動的e系有一個相對于自己的進動角速度ωT. 這就是托馬斯進動效應的物理圖像.

設電子運行一周的時間為T,則有

(6)

(7)

式中a是電子的向心加速度. 上式寫成矢量式，即

(8)

與托馬斯的結果比較[5, 9]，發現這正是一級近似下托馬斯進動角速度的表示式. 由此可見，從原子實O坐標系和電子隨動e坐標系觀察電子繞原子實“一周”距離的相對性結果，可以很容易地求出非慣性e系相對于慣性原子實O系的托馬斯進動角速度. 與通常采用連續微分過程求托馬斯進動角速度的方式不同， 這里是通過電子繞行原子實一周時，O系和e系坐標軸指向形成的角度差的積分效應來導出托馬斯進動角速度. 該方法極致簡單且托馬斯進動的物理圖像也可得到更為清晰的描繪，而這正是從積分的角度將托馬斯進動角速度的推導簡單化和圖像的展現清晰化.顯然，托馬斯進動的起源是純相對論運動學的，只要有垂直于B′的加速度分量，那么就有一個托馬斯進動， 與自旋磁矩在磁場中的常規拉莫爾進動沒有關系. 因為電子軌道運動加速度

(9)

所以，Thomas進動的角速度為

(10)

綜合來看，在e系中只能觀察到B′作用下導致的電子繞其自旋軸z′的拉莫爾進動ω′；而在O系，則在觀察到電子繞e系自旋軸作拉莫爾進動的同時， 還會觀察到e系自旋軸相對于O系的托馬斯進動. 因此，在原子實O系中觀察到電子自旋磁矩作拉莫爾進動的實際角速度ωL應該等于電子自旋磁矩相對于e系的拉莫爾進動角速度與e系相對于O系的托馬斯進動角速度之和， 即

(11)

(12)

3 小結

托馬斯進動效應在物理學發展史上具有重要地位，正是它的發現才確立了電子自旋的概念并實現了堿金屬光譜精細結構的定量計算. 雖然，通過對電子軌道運動的微分過程進行連續洛倫茲坐標變換一直是求托馬斯進動角速度的基本方法，但是，該方法計算十分繁復，其物理圖像也并不是顯而易見的. 而本文從積分視角考察電子軌道運動在原子實參考系和電子隨動參考系中運動的相對差異性，可給出托馬斯進動效應簡潔清晰的物理圖像，計算過程簡單明了. 在教學過程中，我們應該盡可能秉承愛因斯坦的科學精神，那就是：As simple as possible, but not simpler.

致謝：作者感謝郭立波教授、平加侖教授的有益討論.