巧用定義 數(shù)形結(jié)合
——絕對(duì)值的幾何意義在最值問題中的應(yīng)用

賴 倩

（重慶南開兩江中學(xué)數(shù)學(xué)組 重慶 401135）

當(dāng)出現(xiàn)多個(gè)絕對(duì)值的時(shí)候，利用絕對(duì)值的代數(shù)定義去掉絕對(duì)值的“零點(diǎn)分段法”是解決此類問題的主要方法.零點(diǎn)分段法分為找零點(diǎn)，分區(qū)間，定符號(hào)，去絕對(duì)值符號(hào)這幾個(gè)基本步驟，注意有n個(gè)絕對(duì)值的式子就有n個(gè)零點(diǎn)，就會(huì)把數(shù)軸分成n+1，題目就會(huì)分n+1種情況來討論.

例如：求出滿足|2x-4|+|3x+1|=5的x的值.

我們接著來看以下的這個(gè)例子：

請(qǐng)回答

（1）若|x-2|+|x+1|=3，則x 能取到的最小值是__________，最大值是___________；

（2）滿足|x-2|+|x+1|=2的x有_____個(gè)；

（3）滿足|x-2|+|x+1|=6的x有_____個(gè)，值為_____；

（4）當(dāng)|x-2|+|x+1|+|x+3|取最小值時(shí)，則x的值為__________；

（5）|x-1|+|x-2|+…|x-1 9 9 7|的最小值為____________________.

此題考察的含有絕對(duì)值的代數(shù)式的最值問題，當(dāng)然可以用我們前文提到的“零點(diǎn)分段法”來解答，這里就不再贅述.

數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值，這既是絕對(duì)值的定義又是絕對(duì)值的幾何意義.數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與表示數(shù)b的點(diǎn)的距離記作|a-b|，例如|3-5|表示數(shù)軸上表示數(shù)3的點(diǎn)與表示數(shù)5的點(diǎn)的距離，|3+5|=|3-（-5）|表示數(shù)軸上表示數(shù)3的點(diǎn)與表示數(shù)-5的點(diǎn)的距離，|a-3|表示數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與表示數(shù)3的點(diǎn)的距離.接下來，我們將緊緊抓住絕對(duì)值的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合的思想，巧妙的解決這種最值問題.

如本題，當(dāng)兩個(gè)絕對(duì)值里面x的系數(shù)是±1或者說能同時(shí)調(diào)整為±1的時(shí)候，利用絕對(duì)值的幾何意義，單個(gè)絕對(duì)值|x-2|可以看做數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)到2的距離，|x+1|可以看做數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)到-1的距離，那么整個(gè)式子就可以翻譯為數(shù)軸上表示數(shù)x的點(diǎn)到2和到-1兩點(diǎn)的距離之和.

我們利用數(shù)軸把題目當(dāng)中涉及到的數(shù)表示出來，利用數(shù)形結(jié)合，可以看到當(dāng)點(diǎn)在-1和2之間（即點(diǎn)在圖中線段AB上，包含端點(diǎn)）的時(shí)候，到兩點(diǎn)的距離之和就是這兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離即為AB=|-1-2|=3；當(dāng)點(diǎn)在線段AB之外（即在-1的左邊或者2的右邊）的時(shí)候，到兩點(diǎn)的距離之和就會(huì)大于這兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離；并且離這兩個(gè)點(diǎn)的距離越遠(yuǎn)，這個(gè)值越大.用符號(hào)語言來描述上述的結(jié)論就是：|X-2|+|X+1|≥3（當(dāng)且僅當(dāng)-1≤x≤2時(shí)等號(hào)成立）.

則此題（1）答案為：若|x-2|+|x+1|=3，則x能取到的最小值是 -1 ，最大值是 2 .

拓展可解決以下問題：滿足|x-2|+|x+1|=2的x有_______個(gè)；

從前面的分析可以知道，數(shù)軸上的點(diǎn)到這兩個(gè)定點(diǎn)之和的最小值就是這兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離，而本題兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離為3，現(xiàn)在2＜3，∴在數(shù)軸上是找不到任何點(diǎn)使得該式子成立的，故答案為0個(gè).

（3）滿足|x-2|+|x+1|=6的 有_______個(gè)，值為_______；

同前分析，∵6＞3∴在數(shù)軸上是找得到這樣的點(diǎn)使得該式子成立的.那么這樣的點(diǎn)有幾個(gè)呢？易得，這樣的點(diǎn)一定在線段AB之外，我們不妨先來看看當(dāng)點(diǎn)在-1的左側(cè)的時(shí)候，如下圖1

圖1

圖2

∵2m+3=6 ∴m=1.5 ∴x=-1-1.5=-2.5

而且通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，如圖2，當(dāng)在線段之外與這兩個(gè)定點(diǎn)的距離相同的點(diǎn)呈現(xiàn)出對(duì)稱性的性質(zhì)，即CA=BD時(shí)，C、D兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)帶入這個(gè)式子，到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和是相等的.∴x=2+1.5=3.5

由此，滿足|x-2|+|x+1|=6的x有 2 個(gè)，值為 x=-2.5或x=3.5 .

本題的（4）問當(dāng)|x-2|+|x+1|+|x+3|取最小值時(shí)，則x的值為__________；

絕對(duì)值增加到了3個(gè)，根據(jù)前面的分析是數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到-3，-1，2這三個(gè)定點(diǎn)的距離之和.

我們知道，x要放在定點(diǎn)的中間，這個(gè)距離之和的值就最小，但是此時(shí)還有與第三個(gè)定點(diǎn)的距離，那放到哪兩個(gè)定點(diǎn)的中間就需要思考和取舍了，經(jīng)分析，x要放在最外面的兩個(gè)定點(diǎn)的中間，即當(dāng)-3≤x≤2時(shí)，x到-3，2這兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和就是這兩個(gè)定點(diǎn)的距離即為|-3-2|=5，此時(shí)還需要考慮|x+1|即與-1的距離，也要盡可能小才行，此時(shí)x恰好可以取到-1，使得|x+1|=0，而這個(gè)值恰好是絕對(duì)值的最小值，兩個(gè)部分都取到了最小值，而且最小值成立的條件是可以同時(shí)成立的，問題得到解決，即|x-2|+|x+1|+|x+3|≥5+0=5（當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立）.

可能有同學(xué)會(huì)思考，x為什么不能放在-3與-1之間或者-1與2之間呢？其實(shí)也是可以的，我們不妨以在-3與-1之間為例，當(dāng)-3≤x≤-1時(shí)，|x+1|+|x+3|≥2，那么剩下的第三個(gè)絕對(duì)值|x-2|在x=-1時(shí)，與2最近，|x-2|≥+-1-2+=3，∴|x-2|+|x+1|+|x+3|≥2+3＝5（當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí)等號(hào)成立）.

兩種方法得到的答案和最小值成立的點(diǎn)都是相同的，但是當(dāng)絕對(duì)值的數(shù)量進(jìn)一步增大的時(shí)候，第一種思路會(huì)更加方便.

即當(dāng)|x-2|+|x+1|+|x+3|取最小值時(shí)，則x的值為 x=-1 ；

（5）|x-1|+|x-2|+…+|x-1 9 9 7|的最小值為____________________.

這一問的難度就非常大了，一下子拓展到了1997個(gè)絕對(duì)值的和，乍一看到，很多學(xué)生是會(huì)無從下手的，需要學(xué)生很強(qiáng)的綜合能力.但如果學(xué)生能充分理解絕對(duì)值的幾何意義，掌握好前面幾個(gè)小問的處理方法之后，這個(gè)題目也是可以變得相對(duì)簡(jiǎn)單的.整個(gè)題目可以翻譯為數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到1，2，…，1997這1997個(gè)距離之和.最根本的想法就是讓點(diǎn)越往中間走值越小，這1997個(gè)數(shù)字，有正中間的一個(gè)數(shù)999，那么當(dāng)x=999時(shí)，整個(gè)式子的值最小，最小值為2×（1+2+3+…+998）=997002.

即|x-1|+|x-2|+…+|x-1997|的最小值為 997002 .

這里可以給大家留下幾個(gè)思考題，參考以上的方法和思路可以得到極大的簡(jiǎn)化.

補(bǔ)充1：若|b+2|+|a-5|=4-|a-3|-|b+1|，求ab的最大值.

補(bǔ)充2：求|x-2|+2|x+1|+3|x+3|的最小值.

補(bǔ)充3：一條直街上有5棟樓，按從左至右順序編號(hào)為1、2、3、4、5，第k號(hào)樓恰好有k（k＝1、2、3、4、5）個(gè)A廠的職工，相鄰兩樓之間的距離為50米.A廠打算在直街上建一車站，為使這5棟樓所有A廠職工去車站所走的路程之和最小，車站應(yīng)建在距1號(hào)樓____米處.

補(bǔ)充4：已知（|x+1|+|x-2|）（|y-2|+|y+1|）（|z-3|+|z+1|）=36，求x+2y+3z的最大值和最小值.

補(bǔ)充5：如圖，點(diǎn)O為數(shù)軸上的原點(diǎn)，點(diǎn)A、B分別為數(shù)軸上兩點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為a、b，已知a＝10，AB＝3AO.

（1）若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度沿?cái)?shù)軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以v個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度沿?cái)?shù)軸負(fù)方向勻速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過8秒時(shí)，PQ＝16.求v的值；

當(dāng)然，我們利用絕對(duì)值的來表示距離的應(yīng)用，不僅可以處理距離之和的最值問題，也可以處理距離之差的最值問題，例如：當(dāng)|x-2|-|x+1|取最大值時(shí)，則x的取值范圍是____________.

到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差和到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和這兩種題型之間既有區(qū)別又有聯(lián)系，大家可以利用上述思路去體會(huì)一下，同樣是可以巧用絕對(duì)值的幾何意義，數(shù)形結(jié)合，簡(jiǎn)化難度，解決題目的.

上文所提到的幾個(gè)例子由淺入深，層層遞進(jìn)，讓我們可以通過這些例子充分體會(huì)到絕對(duì)值的幾何意義在此類最值問題中的重要運(yùn)用，使用得當(dāng)可以極大的降低這些最值問題的難度，會(huì)讓這類學(xué)生看起來復(fù)雜且無從下手的絕對(duì)值相關(guān)的最值題目變得簡(jiǎn)單，希望大家可以在日常教學(xué)中充分的講解絕對(duì)值的幾何意義，滲透這種數(shù)形結(jié)合的思想，讓學(xué)生能夠突破難點(diǎn)，掌握此類問題的解題技巧，也能在此過程中體會(huì)到定義學(xué)習(xí)的重要性.