淺析一類切線題目中的證直角問題
2021-04-25 15:29:38姜良站
廣東教學報·教育綜合 2021年32期
姜良站
【摘要】證明切線問題是初中幾何難點問題，證切線有兩類題型：第一類有切點連半徑證垂直，第二類無切點作垂直證等徑。其中，第一類題型的解決策略是將證明切點問題，轉化成證明兩線垂直問題，進一步轉化成證明直角問題。本文梳理了證明直角的兩大方法，直接證明法和間接證明法，間接證明方法又細化為證明直角轉化成證明另外兩個角互余或轉化成證明特殊的線和特殊的圖形。
【關鍵詞】切線;直角;直接證法;間接證法
證明切線問題，是中考壓軸題目圓中綜合題的熱點問題。若有切點，連接半徑證明垂直，是證明切線問題中的一類。此類型題目，將證切線問題轉換成證半徑和過半徑的末端的直線垂直的問題，即證明切線問題轉換成證明垂直問題，進一步轉化成證明直角問題。很多學生對于證明直角問題的掌握不是很好，不知道如何入手，本文通過一道中考原題，概括出證明直角問題的兩種方法：直接證法和間接證明。具體內容如下：
一、中考題目再現
（2018年廣東省中考數學題）如圖，四邊形ABCD中，AB=AD=CD，以AB為直徑的⊙O經過點C，連接AC，OD交于點E.
（1）證明：OD∥BC;
（2）若tan∠ABC=2，證明：DA與⊙O相切;
（3）在（2）條件下，連接BD交于⊙O于點F，連接EF，若BC=1，求EF的長。
二、方法呈現
（一）直接證明法：直接證明要證明角與一個已知直角相等。
本方法以第二小問中的證明進行展示。
法一：證明：∠DAO=∠ACB=90O
∵AB是⊙O的直徑
∴∠ACB=90O
∵tan∠ABC=2
∴AC=2BC
∵OD∥BC
∴∠OEA=90O，∠AOD=∠ABC
∴OD⊥AC
∴AC=2AE
設BC=a，則AC=2a，AE=a，AB=，AO=a
∴AD=
∴DE=2a
∴OE=BC=
∴OD=OE+ED
∴
∴△OAD∽△BCA
∴∠DAO=∠ACB=90O
∴DA與⊙O相切
本題還可以直接證明：∠DAO=
∠OEA=90O或者∠DAO=∠DEA=90O，具體過程略。
（二）間接證明法：本證明方法分為兩種解題策略：第一，把要證明的直角問題轉換成證明另兩個角的和是90O，進一步轉化成證明兩個角相等。第二，把證明直角問題，間接轉化成證明含有直角的特殊的線，例如，高線、中垂線等;或者轉化成含有直角的特殊的圖形，例如，直角三角形、菱形、矩形、正方形，相交圓等。
1.要證明的直角問題轉換成證明另兩個角的和是90O
本方法以第二小問中的證明進行展示。
法二：證明∠BAD=90O轉化成證明∠BAC+∠CAD=90O
∵AB是⊙O的直徑
∴∠ACB=90O
∵tan∠ABC=2
∴AC=2BC
∵OD∥BC
∴∠OEA=∠AED=90O
∴OD⊥AC
∴AC=2AE
設BC=a，則，AC=2a，AE=a，
∴BC=AE
∵AD=AB
∴△ADE≌△BAC
∴∠DAE=∠ABC
∵∠BAC+∠ABC=90O
∴∠BAC+∠CAD=90O
∴∠BAD=90O
∴DA與⊙O相切
2.證明直角問題，轉化成證明含有直角的特殊線或者特殊的圖形
（1）證明直角問題，轉化成證明含有直角的特殊線問題
本方法以第一小問中的證明進行展示。
法三：要證∠AEO=90O，轉化成證OD是中垂線
證明：連接OC
∵OA=OC
∴點O在AC的中垂線上
∵AD=CD
∴點D在AC的中垂線上
∴OD所在的直線是AC的中垂線
∴OD⊥AC
∴∠AED=90O
∵AB是⊙O的直徑
∴∠ACB=90O
∴∠ACB=∠AED
∴OD∥BC
（2）證明直角問題轉化成證明含有直角的特殊圖形
本方法以第二小問中的證明進行展示。
法四：證明∠BAD=90O轉化成證明△OAD是直角三角形
證明：∵AB是⊙O的直徑
∴∠ACB=90O
∵tan∠ABC=2
∴AC=2BC
∵OD∥BC
∴∠OEA=90O
∴OD⊥AC
∴AC=2AE
設BC=a，則AC=2a，AE=a，AB=，AO=a
總之，在圓中證明直線與圓相切問題，轉化成證明切線與過切點的半徑垂直，進一步轉化成證明直角問題。本文從直接證明法和間接證明法兩個方向概括了證明直角問題，為學生們今后證明切線問題給出了方法性指引。
參考文獻：
[1]朱定符.證明直線垂直的方法[J].中學生數理化，2002（C2）：42-43.
[2]范圣源.如何證明兩異面直線垂直[J].中學生數理化（學習研究），2018（9）：31.
[3]張虎.兩直線垂直斜率關系的五種證明方法[J].新課程（下），2013（4）.
[4]程長賓.證明兩直線互相垂直的常用方法[J].初中數學教與學，2011（21）：17-19.
[5]溫明，朱春紅.教你十招：證明兩直線垂直[J].初中數學教與學，2009（3）：16-18.
