借助幾何直觀 剖析算理本質

鐘圓照

在一次以計算為主題的教研活動中，教師剛上完“兩位數(shù)乘兩位數(shù)——筆算乘法”，為檢測效果，當場發(fā)下A、B兩份測試卷各52份，共收回104份。（A、B測試卷見圖1和圖2）A問卷學生答題正確率約96%;而問卷B正確率卻只有47%。

從問卷的結果可了解學生的學情盲區(qū)。其一，不知“算理”為何物。在計算過程中，學生只知道怎樣將算式算對，而對于算理的理解卻少人能清楚知道。調查問卷B中的第①題為例，學生知道如何列出豎式計算（過程），卻不知道每一個步驟背后的含義。41的1是進位的1，這個1應該表示10，而不是簡單的“1”，學生只看表面，卻不知內含的算理為何物。其二，不懂“算理”有何用。（見圖3）多數(shù)學生（甚至部分教師）都認為計算只要會算就行了，算理根本用不上，故此不用理會。殊不知這種沒有算理只有算法的計算往往只是停留于表面，只知其一，不知其二，使得計算的學習變得膚淺。當遇到真正要用到算理去解決問題時，比如，B問卷中的第③題，很多學生便難以將題目情景與式子每一步有效結合。

到底師生的“病根”何在？筆者認為，從數(shù)據(jù)中至少暴露出以下三大“病因”：第一，教學理念沒及時更新。因只關注算法和題量的訓練，卻忽視算理的理解與理法的結合。而中段小學生由于理解和認知能力有限，最終導致“知其然而不知其所以然”的現(xiàn)象屢見不鮮。第二，急功近利，忽略算理。學生到了中段，隨著計算步驟增加，往往只重視算法的掌握，然后機械重復地訓練，忽視了每步計算步驟背后的含義和對算理的深入理解，從而造成對知識一知半解。第三，形式單一，思維狹窄。平時計算練習往往是以“口算+筆算”的形式來檢測學生計算能力，導致計算教學只注重計算技能形成，而不關注計算素養(yǎng)的提高，久而久之造成學生思維狹窄，學生運算思維降低。

筆者針對上述問題，借助“幾何直觀”為藥引，以“理根絡”“定起點”“凸本質”為三貼“處方診治”，效果明顯，僅供一線教師商榷。

一、對比教材，理清“根絡”

（一）對比教學內容，尋找兩位數(shù)乘兩位數(shù)的“絡”

在實驗版教材一般按“口算——估算——筆算”的順序編排，把解決問題與計算整合在一起，目的是培養(yǎng)學生能運用所學知識解決生活中的問題，但在實施過程中教師卻很難把握結合的“度”，容易忽略算理的教學，反而造成學生運算能力降低。而新教材則調整為“口算——筆算——解決問題”，把估算穿插在解決問題中。計算和解決問題分開，教師在教學中容易找到側重點。同時，將實驗版“口算乘法”換成“兩位數(shù)、幾百幾十乘一位數(shù)”和“兩位數(shù)乘整十數(shù)”，這樣編排更利于學生在探究筆算乘法時想到“拆分法”。

（二）對比呈現(xiàn)方式，突顯兩位數(shù)乘兩位數(shù)的“根”

“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”這一單元，無論是實驗教材還是新教材都非常注重讓學生經歷知識的形成過程，掌握計算的方法。但同時新教材在教學目標上增加了“借助幾何直觀理解算理”。而在教學內容的呈現(xiàn)方式上，更注重利用圖形表征、實物表征來幫助學生理解算理。顯然，編者用意是想突出幾何直觀的作用。在“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”這節(jié)課中借助點子圖與算式一一對應，放手讓學生去探究算法，引導學生親歷乘法豎式的建模過程，這樣給抽象的算理賦予了形象，有利于學生理解算理，也使學生逐步學會借助幾何直觀解決問題、表達交流，提升數(shù)學思維水平。而實驗版教材雖有“拆分法”的呈現(xiàn)，卻少了“點子圖”的輔助，造成算理教學的缺失。

二、透析學情，定準“起點”

“新課標”明確指出，“數(shù)學活動必須建立在學生認知發(fā)展水平和已有知識經驗基礎上?！睘榱诉M一步分析幾何直觀在“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”中發(fā)揮的作用，充分了解學生學情和教材實際，筆者對三年級某班（50名學生）進行前測。題目如下：14×12，請用你喜歡的方法進行計算。調查結果如（表1）。通過前測結果的統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)學生的主要問題：有12名學生用豎式計算，其中有5位學生出現(xiàn)以下錯誤（圖4）。

從能正確列出豎式的學生訪問中得知，他們是通過預習或父母教而能正確列出的。學生對筆算方法只知道如何書寫，但問及每一步是怎么算出來，學生們不會表達。特別是對如何書寫第二步乘積的結果感到困惑，他們的方法只是停留在機械記憶層面上。另外，36名學生用了拆分法，其中“把一個乘數(shù)拆分成整十數(shù)與一位數(shù)”的人數(shù)居多。這顯然是受到上節(jié)課“口算乘法”知識遷移的影響，而恰恰這種方法與豎式計算有著密切聯(lián)系。學生掌握了這種拆分法能很好貫穿前后知識的內在聯(lián)系，幫助學生更好地理解筆算乘法的算理。另外也有個別學生出現(xiàn)以下錯誤（圖5）。

通過以上的調查與分析，發(fā)現(xiàn)學生對兩位數(shù)乘兩位數(shù)的知識并非一片空白，大部分學生能利用已有的知識及經驗解決，只是在拆分的過程與豎式計算聯(lián)系較困難。因此，本課的關鍵應在于教師根據(jù)學生的已有知識與經驗，借助有效的直觀手段，幫助學生經歷算法的抽象建構過程，充分理解算理，進而有效掌握算法，為運算能力的提高奠定扎實的基礎。而幾何直觀就是學生從具體向抽象過渡的重要“腳手架”。故此，要給學生搭建充分的動手操作、合作交流的平臺，提高學生的運算能力和思維深度。

三、踐行研究，凸顯“本質”

筆者將教學擬定為體現(xiàn)學生思維所要經歷形成的四步曲：“以形想式”——“以形明理”——“以形懂法”——“用形轉化”。巧用幾何直觀，讓學生經歷計算過程，揭示算理的本質，感悟算法的實質。

（一）以形想式，初感豎式模型

創(chuàng)設教學情境，激發(fā)學生強烈的探索欲望，為進一步理解算理。

層次一：

（出示問題（圖6））

師：誰能解決這個問題？

追問：這個算式表示什么意思？

生：表示12個14的和是多少。

師：結果是幾？（學生表示不知道）

師：看來口算有點難度，我們還可以用什么方法？（生一下就想到用豎式計算）