Neumann 邊界條件的半空間調和方程基于廣義函數的求解1)

趙福垚

(長治醫學院生物醫學工程系，山西長治046000)

彈性力學是固體力學最基本的分支[1]，其中的應力分析和應變分析事實上可被視作一切固體力學分支的基本范式。此外它是一個非常優美的學科：在理論上，數學彈性力學已經建立了一個比較完整的公理體系；在工程上，土木、材料、機械、航空航天乃至生物醫學等工程領域都有著彈性力學的大量應用[2-4]。因為彈性力學基本方程在偏微分方程的分類中屬于二階常系數橢圓型偏微分方程，與調和方程相似，所以兩者有很大的聯系。在數學彈性力學中，比較常見的一種求解手段就是將某些彈性力學問題轉化為調和方程的問題，半空間問題便是其中比較經典的問題之一。傳統的彈性半空間(z0)的位移邊值問題的提法為(可參見圖1)

其中?為向量微分算子，ν為泊松比，u為位移矢量，是z= 0 處的位移邊界條件。求解時可假定式 (1) 的解 (可類比文獻 [1] 第十一章§4) 為

圖1 彈性半空間邊值問題示意圖

其中k為z方向單位矢量，f為假設的調和矢量。即

其中?為調和算子。將式(2)代入式(1)，方程自動滿足，z=0 處的邊界條件變為

至此，問題(1)就變成了半空間調和方程(3)在Neumann 邊界條件(4) 下的求解，也就是本文要討論的問題。

1 問題的解

考慮到式 (3) 和式 (4) 中的待求量是矢量還是標量并無原則性區別，故這里將待求量和邊界條件的寫法稍作改動，問題變為

此問題(5) 的解為 (參見文獻 [5] 第一章§8)

定理：給定只在有限域上非零的非奇異函數(x,y)，則對于式(6) 成立以下兩個命題：

命題 1：當r →+∞時，f →0；且對于z >0，?f=0 成立。

此定理一般的證明是利用勢論[6]，但相關內容需要較多的預備知識，無論對科研、教學還是工程應用都有較大難度，故本文提供一個基于廣義函數的簡潔證明。此外為了簡化證明過程，對非奇異函數(x,y) 做了一個一般而言并不過分的“只在有限域上非零” 的限制。但需請讀者注意此限制可能導致的與原問題不適定的情況，感興趣的讀者可參見文獻[6] 中在不依賴此限制下給出的證明。

2 對定理的證明

首先證明命題1。當r →+∞時，f →0 顯然成立，下面證明對于z >0 成立?f= 0。已知有等式成立[7]

其中δ在本文中表示 Dirac 函數。對f作用調和算子?

其次證明命題 2。首先引入一個引理，取輔助函數

引理：g(x,y)=δ(x,y)。

下面證明函數g(x,y) 具有與函數δ(x,y) 相同的三條基本性質。

性質 1：x=y=0 顯然是g(x,y) 的奇點。

性質2：在奇點以外的地方，有

性質 3：計算g(x,y) 在邊界為x2+y2=M2的圓域內的積分(M需要足夠大，以至于可以包住(x,y) 的非零域)。根據性質2，此積分等價于全平面的積分

以上過程中 “求積分” 和 “令z= 0” 這兩步的換序可從廣義函數的角度來理解[7]。

由性質 1 到性質 3 可知函數g(x,y) 與函數δ(x,y) 的基本性質完全一致，故g(x,y) =δ(x,y)，引理得證。將引理改寫為

下面證明命題 2。在?f/?z中令z=0，并利用式 (12) 可得

故命題 2 得證。至此原定理得證。以上定理主要針對彈性靜力學。對于彈性動力學相關問題[8-9]，由于慣性力的影響，相關結論不再成立。

3 相關應用

半空間問題在工程領域中有著非常廣闊的應用。本文前面探討的雖然是位移邊值問題，但對應力邊值問題的處理方法是類似的(可參見文獻[1]第十一章§4 和文獻[5] 第一章§8)。如令半空間表面在原點處承受集中載荷，則式(2) 變為經典的Boussinesq 解。此解答可用于基礎工程中附加應力作用下的地基變形量的計算[10]，具體的方法被稱為“分層總和法”。

此外，材料微觀測試的納米壓痕/劃痕技術的原理是接觸力學，但其具體形式亦與半空間問題相關。其物理圖景是將探針尖端假設為微小的球面，將被測試材料假設為半無窮大介質空間，利用接觸擠壓的變形量反分析材料力學性質。具體公式可參見文獻 [5] 第一章§9。

4 對二維問題的退化

前文針對的是三維問題，但當某一個維度對問題不產生影響時，三維問題實際上可以退化為二維問題。例如半平面表面受豎向集中載荷的Melan 問題實際上可以被視作半空間表面受豎向集中載荷的Boussinesq 問題在某一方向上的積分。對應地，如果將式(9)對變量y從?∞到+∞進行積分，可在形式上得到一維的 Dirac 函數，從而用于分析半平面問題。

5 關于空間連續性的說明

前一節的討論得以成立的基礎是二維空間和三維空間的變換過程中，空間本身具有某種連續/連通性。一旦這種空間上的連續性被破壞，則相應結論并不能成立。這一論述表面上看起來似乎是顯然的，但在實際分析問題的時候 (尤其從二維問題推廣到三維問題時)，這一點很容易被忽略。例如，文獻[1] 第七章§1 給出了如下引理：若fx(x,y) 和fy(x,y) 為某平面連通區域G上給定的函數，則存在φ(x,y)和F(x,y)，使

表面看來，這一結論對三維問題的推廣似乎并不困難，但其中的注又指出：有反例表明，對三維問題此引理一般不成立。這是因為，對于三維問題，原定理證明中的二維平面實際上變成了某個三維區域G的二維平截面Gz。倘若三維區域G是一個實心的汽車輪胎，那么Gz可能是兩個分離的圓，也可能是有一個交點的兩個圓，等等。還有可能是更復雜的情況。本反例源于參考文獻[1]第一作者的郵件。本節的說明在Radon 變換應用于彈性力學[11]或計算機斷層掃描(CT) 等情況時需特別注意。

6 結論

基于廣義函數，本文針對經典彈性力學的半空間邊值問題的求解給出了一個簡潔的證明以利相關問題的學習探討，并簡單介紹了此問題在工程中的應用。為了簡化證明過程，本文使用了一個大多數情況下并不過分的限制，但并不影響結論的成立。更進一步的分析可以參見文獻 [6] 等數學物理方程領域的相關文獻。

致謝

作者誠摯地感謝太原科技大學李毅偉副教授對文稿有益的建議。