小問題2021-2

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2021-2如圖1 所示，一船(可以看作一點) 在北半球以勻速度v并始終與經線成θ角的方向向南偏東航行，已知地球半徑為R，船所在地的緯度為φ。試用剛體定點運動知識求船相對于地球的加速度。

(選自上海交通大學吳鎮編《理論力學》上冊 11-24 題，江蘇大學張孝祖改編)

圖1

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*《小問題》2021-1 解答*

問題：如圖1 所示，已知平面上質點A和B的運動rA(t),rB(t)。C點為A和B速度(速度大小不為零，方向不平行)方向延線的交點。

圖1

(1) 求點C的運動方程和速度。

(2) 已知點A的運動為rA(t)=ti+t2j/2，質點B點質量為m，作用在B上的作用力為f。若將隨點A運動的自然坐標系作為動系，求點B的相對運動動力學方程。

(3) 已知點A的運動為rA(t) =ti+t2j/2，點B的運動為rB(t) = 2ti+t2j/2， 求點C的加速度。(問題及以下答案供稿：寶音賀西，清華大學航天航空學院)

解答：

(1) 若設垂直于平面的單位矢量為n，并設存在比例系數k滿足r=rB+kvB。則計算

進一步可以解得

即點C的運動方程為

點C的速度為

(2) 由rA可得點A運動的速度和加速度為

因此點A運動的自然坐標系的角速度和角加速度為

設動系中點B的位置矢量為r，由加速度合成定理得點B的相對運動動力學方程為

進一步整理得

(3) 將點A和B的運動方程代入點C的運動方程，可得

即