再談拔河比賽中的力學分析1)

張偉偉 杜秀麗 趙子龍

(太原科技大學力學系，太原030024)

據《墨子·魯問》記載[1]，在楚越戰爭期間，由于越國位于楚國下游河流，越國失利可順流而退。魯班為幫助楚國發明了 “鉤強”，以 “鉤” 住逃跑的越國船只。后來，為了訓練這一戰術而形成了一種稱之為“牽鉤”的游戲。世界上許多國家都流行拔河，只是規則不同。1900—1920 年之間，拔河曾是奧運會比賽項目，但因缺乏統一規則于1920 年被取消[2]。1960 年，由英國、瑞典等國正式成立國際拔河聯合會(Tug of War International Federation, TWIF)，1965 年開始舉辦歐洲錦標賽，1975 年開始舉辦世界錦標賽。此后歐洲錦標賽和世界錦標賽每年交替進行。由牛頓第三定律知道，拔河雙方所受的拉繩拉力始終相同，但同樣的力施加于雙方卻產生出了不同的效果。李林等[3]對拔河中隊員運動分為平動和轉動，通過受力分析比較了摩擦力與重力矩在拔河過程中的重要作用，但該分析沒能對拔河運動的訓練提出建議。本文仍將拔河隊員運動分為平動和轉動，補充討論運動員身體傾角和拉繩傾角，以及手臂、腿部彎曲等因素對拔河比賽的影響，為拔河訓練提供一些理論參考。

1 拔河模型及受力分析

如圖1 所示為一對一拔河中一方的受力模型，為了簡化，當人的姿態確定后將其視為剛體模型，受力包括：拉繩的拉力FL，地面對運動員的支撐力FN，重力G，摩擦力Ff。并引入下列參數：拉繩與水平線的夾角γ，人體向后傾角θ，人體重心O，繩拉力在人體上的作用點D，且L0=|OD|，L=|OE|。

圖1 拔河運動員姿態及受力分析圖

拔河過程可分為僵持階段和運動階段，運動階段又可以分為平動和轉動兩種形式[3]。考慮處于僵持階段，列出平衡方程

水平方向

豎直方向

對E點的矩平衡

當雙方用力拉動對方時，繩拉力由0 逐漸增加，摩擦力也隨之增加，當一方的摩擦力先達到最大靜摩擦力時，也將先達到由僵持轉向平動的臨界狀態，即

這里，Ffmax表示最大靜摩擦力，以μ表示靜摩擦因數，有Ffmax=μFN=μ(G ?FLsinγ)。一般情況下，γ取值很小，大約在 (?10?,10?) 之間，該區間內Ffmax為減函數，意味著γ越小越有利于增加最大靜摩擦力。從受力上看，當γ <0 時，拉力FL使得正壓力增加，也就增加了最大靜摩擦力Ffmax；相反，當γ >0 時，拉力FL會減小正壓力，從而減小最大靜摩擦力Ffmax。綜合式 (1)、式 (2) 和式 (4)，可知不被拉動時γ應滿足條件

式 (5) 取等號時為臨界狀態。為了直觀地觀察γ的臨界值，假定G=700 N，μ=0.7，畫出不同拉力作用下摩擦力隨γ的變化曲線，如圖2(a)～圖2(c) 所示。可見，當拉力較小時無論γ取何值都不會被拉動，如圖2(a)所示。當拉力FL=500 N 時，γ=?2?為臨界狀態，如圖 2(b) 所示。當拉力FL= 550 N時，γ=?8?為臨界狀態，如圖2(c) 所示。

圖2 不同拉力作用下摩擦力隨拉繩傾角的變化關系

拔河中的拉繩要么水平、要么傾斜。當拉繩水平時，雙方的γ角均為0，此時FL=μG，如果雙方體重和摩擦因數完全相同，將同時達到臨界狀態。當拉繩傾斜時，雙方的γ角必然為一正一負、且大小相等。可以證明 cosγ+μsinγ在 (?10?,10?) 之間為增函數，因此，在一定的拉力作用下，若我方γ取負，對方γ取正，對方將率先超出條件(5)，我方獲勝機會增加。比賽中，一方隊員一旦坐在地上就很容易被拉動，正是因為坐在地上時γ角較大，影響效果明顯。

當最大靜摩擦力足夠大時，雖然拉力不能使運動員滑動卻有可能拉動身體前傾，人為了確保身體平衡，會向前挪動腳步從而輸掉比賽。身體前傾就是身體發生了轉動，這一過程可以看作是繩拉力矩和重力矩的較量，將其分別記為

繩拉力矩

重力矩

當ML>MG時就有可能輸掉比賽。根據文獻[3]，θ的取值范圍大致在 (30?,90?)，該范圍內ML為增函數 (γ取值很小)，MG為減函數。身體后傾可使θ取較小值，達到減小拉力矩、增大重力矩的目的。由式(3) 可知，當拉繩傾角γ和拉力FL確定后，可求出身體發生轉動的臨界傾角，記為θc。當θ小于θc時，拉力矩小于重力矩，將不會被拉動。設隊員身高為1.78 m 時，因重心大概位于人體高度的56%左右，近似有L=1 m，L0=0.2 m，因γ很小，令其為0，拉力取值設定在350 N～700 N 之間，求解不同拉力下的θc，如圖3 所示。顯然，在該取值范圍內，θc隨拉力FL近似線性遞減，這說明拉力越大，保持平衡所需的θ就越小。不過，也應注意到身體傾角越小，有可能導致γ為正，從而減小最大靜摩擦力。因此，需要綜合考慮θ和γ的取值。

最后，在拔河中彎曲手臂肘部緊貼腰部，拉力作用點位于腰部，而將手臂展開拉力沿著手臂作用，作用點在肩部，這說明L0可以通過彎曲和伸展手臂調整。同時L也可以通過微彎腿部來調整。由式(6)和式(7) 可以看出，減小L0也就減小了繩拉力矩的力臂，從而減小拉力矩。微彎腿部減小L雖然同時減小了拉力矩和重力矩，不過腿部微彎后再蹬地，由于身體后傾，可將腿部力量轉換為拉繩的拉力，這相比于手臂拉力可大大增加FL的值，因此微彎腿部雖然會損失重力矩，但有利于蹬地發力，可將腿部力量轉化為拉力從而增加對抗力量。

圖3 身體臨界傾角與繩拉力之間的關系

2 結論

本文通過建立一對一的拔河模型，分析了拉繩傾角γ，身體傾角θ，以及身體姿態對拔河比賽的影響規律。結果表明抬高拉繩，使我方拉力斜向下時有利于增大我方最大靜摩擦力，并減小對方最大靜摩擦力；較小的身體傾角有利于減小拉繩拉力矩、增加重力矩，但需要綜合考慮拉繩傾角的影響；從運動員的姿態考慮，手臂應彎曲后緊貼腰部以減小拉力矩；腿部微彎雖然會導致拉力矩和重力矩同時減小，但通過腳蹬地，可將腿部力量轉化為拉力FL，間接影響比賽結果。在實際比賽中，雖然上述各量的可調整范圍都非常小，但如果力量相當時，適時地根據對方的姿態和狀況做出有利于我方的調整，恰當的運用力學原理，微弱的優勢也會成為取勝的關鍵。