軌道力學(xué)問題導(dǎo)向式教學(xué)培養(yǎng)軌道設(shè)計(jì)能力的實(shí)踐1)

楊洪偉 李 爽

(南京航空航天大學(xué)航天學(xué)院，南京210016)

軌道力學(xué)是高等學(xué)校航天類專業(yè)一門必修的重要專業(yè)基礎(chǔ)課程。我校軌道力學(xué)相關(guān)課程包括本科生必修課“航天器動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)”和研究生學(xué)位課“航天器軌道基礎(chǔ)” (主要面向本科非航天類專業(yè)的學(xué)生)。培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用軌道力學(xué)知識(shí)進(jìn)行軌道設(shè)計(jì)的能力是軌道力學(xué)的重要教學(xué)目標(biāo)之一。但是軌道力學(xué)教材[1-2]涉及大量的數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)，如果僅采用以課堂講授為主的傳統(tǒng)教學(xué)方式，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中難免會(huì)感到枯燥乏味，并且難以將離散、抽象的知識(shí)點(diǎn)與軌道設(shè)計(jì)建立起有機(jī)聯(lián)系。在教學(xué)過程中適當(dāng)引入前沿?zé)狳c(diǎn)問題[3]，加強(qiáng)教學(xué)互動(dòng)[4]，則非常有利于改善教學(xué)效果。

問題導(dǎo)向式教學(xué)是一種以學(xué)生為中心的教學(xué)方式，通過解決實(shí)際問題，提升學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力[5]。軌道力學(xué)是一門與航天任務(wù)設(shè)計(jì)聯(lián)系十分緊密的課程，基于問題導(dǎo)向式教學(xué)的思路，在教學(xué)過程中適當(dāng)引入具有熱點(diǎn)航天任務(wù)背景的軌道任務(wù)設(shè)計(jì)問題，讓學(xué)生以主動(dòng)學(xué)習(xí)的方式通過動(dòng)手實(shí)踐解決問題，可以幫助學(xué)生直觀地理解與掌握軌道力學(xué)知識(shí)，建立與航天任務(wù)軌道設(shè)計(jì)的聯(lián)系，是培養(yǎng)學(xué)生軌道設(shè)計(jì)能力的有效途徑。近十年的全國空間軌道設(shè)計(jì)競(jìng)賽發(fā)展歷程[6]也反映出通過軌道設(shè)計(jì)實(shí)踐可以有效地促進(jìn)軌道設(shè)計(jì)水平的提升。近年來，國內(nèi)外各種類型航天任務(wù)的不斷發(fā)展，為軌道力學(xué)教學(xué)中構(gòu)建的軌道設(shè)計(jì)問題提供了豐富的背景素材。教材《軌道力學(xué)》[2]配套的軌道力學(xué)Matlab 程序包也為軌道設(shè)計(jì)實(shí)踐的教學(xué)提供了良好的條件。本文將介紹作者對(duì)教學(xué)措施的思考，以及在教學(xué)探索實(shí)踐中采用的案例問題和教學(xué)效果。

1 軌道力學(xué)問題導(dǎo)向式教學(xué)措施的思考

為了實(shí)現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生軌道設(shè)計(jì)能力的目標(biāo)，在軌道力學(xué)問題導(dǎo)向式教學(xué)中需要采取一些必要的措施，下面給出對(duì)相關(guān)教學(xué)措施的思考。

1.1 優(yōu)化教學(xué)問題的設(shè)計(jì)

問題設(shè)計(jì)是能否成功實(shí)現(xiàn)問題導(dǎo)向式教學(xué)的關(guān)鍵[5]。為了調(diào)用學(xué)生的積極性，提升學(xué)生的參與度，讓學(xué)生能夠通過動(dòng)手實(shí)踐理解和掌握軌道力學(xué)知識(shí)點(diǎn)在軌道設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，有必要對(duì)教學(xué)問題的設(shè)計(jì)進(jìn)行優(yōu)化。一方面，引入的軌道設(shè)計(jì)問題可以結(jié)合前沿?zé)狳c(diǎn)的航天任務(wù)并適當(dāng)簡(jiǎn)化，不僅可以增強(qiáng)軌道設(shè)計(jì)的趣味性、激發(fā)學(xué)生的興趣，而且可以幫助學(xué)生建立軌道力學(xué)理論知識(shí)與工程實(shí)際任務(wù)的聯(lián)系。另一方面，給出的軌道設(shè)計(jì)問題應(yīng)該充分考慮學(xué)生的知識(shí)和能力范圍，保障學(xué)生動(dòng)手參與的可行性。對(duì)于軌道設(shè)計(jì)問題涉及的知識(shí)點(diǎn)應(yīng)與教材內(nèi)容聯(lián)系較為緊密，讓學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐時(shí)已經(jīng)學(xué)習(xí)過軌道設(shè)計(jì)所需的主要知識(shí)點(diǎn)；對(duì)于多個(gè)軌道設(shè)計(jì)問題應(yīng)該循序漸進(jìn)，由淺到深，引導(dǎo)學(xué)生逐步掌握復(fù)雜軌道設(shè)計(jì)的能力。

1.2 充分發(fā)揮教師輔助指導(dǎo)作用

雖然問題導(dǎo)向式教學(xué)是以學(xué)生為中心的教學(xué)方式，但是教師在學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的過程中依然十分關(guān)鍵。應(yīng)當(dāng)充分發(fā)揮教師輔助指導(dǎo)作用，幫助學(xué)生推進(jìn)軌道設(shè)計(jì)問題的解決并建立軌道設(shè)計(jì)的知識(shí)。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)該對(duì)學(xué)生進(jìn)行必要的知識(shí)引導(dǎo)。雖然給出的軌道設(shè)計(jì)問題已經(jīng)過簡(jiǎn)化處理，但是難免仍會(huì)涉及教材之外的知識(shí)難點(diǎn)，應(yīng)當(dāng)給予必要的講解或者提示，避免學(xué)生因?yàn)閭€(gè)別難以理解的知識(shí)點(diǎn)而無法推進(jìn)軌道設(shè)計(jì)。對(duì)于本科生教學(xué)，也需要了解學(xué)生對(duì)Matlab 軟件使用的能力程度。如果學(xué)生對(duì)Matlab 了解很少，可以在課堂上花少量時(shí)間對(duì)基本的功能進(jìn)行簡(jiǎn)要介紹，幫助學(xué)生克服使用新軟件時(shí)的心理困難。另一方面，應(yīng)該建立信息反饋機(jī)制。完成軌道設(shè)計(jì)問題需要學(xué)生在課堂之外投入時(shí)間。對(duì)于學(xué)生課外學(xué)習(xí)遇到的問題，鼓勵(lì)學(xué)生以學(xué)習(xí)小組的形式互相幫助解決，對(duì)于不易解決的問題可以通過郵件、微信等方式反饋給教師，教師整理后可以將學(xué)生反饋的普遍問題通過微信群、課堂等途徑進(jìn)行及時(shí)答疑。此外，教師可以通過設(shè)計(jì)報(bào)告及課堂演示等方式對(duì)學(xué)生完成情況進(jìn)行評(píng)估。

2 軌道力學(xué)教學(xué)中的實(shí)踐

根據(jù)軌道力學(xué)教學(xué)順序，在教學(xué)實(shí)踐中依次引入了具有我國航天任務(wù)背景的軌道設(shè)計(jì)問題。下面給出教學(xué)案例來詳細(xì)介紹并進(jìn)行教學(xué)效果分析。

2.1 引入階段性軌道設(shè)計(jì)問題，培養(yǎng)軌道設(shè)計(jì)基礎(chǔ)能力

2.1.1 航天器運(yùn)行軌道設(shè)計(jì)問題——軌道預(yù)報(bào)

航天器軌道預(yù)報(bào)是軌道力學(xué)主要目的之一。在二體問題下進(jìn)行軌道預(yù)報(bào)計(jì)算，本質(zhì)是求解二體問題運(yùn)動(dòng)微分方程的解。教材《軌道力學(xué)》[2]用了第2至4 章共3 章內(nèi)容介紹相關(guān)知識(shí)，是軌道力學(xué)課程的基礎(chǔ)核心。在二體問題解的推導(dǎo)過程中，會(huì)涉及大量的數(shù)學(xué)運(yùn)算和知識(shí)點(diǎn)。學(xué)生在聽講過程中容易陷入對(duì)枯燥的數(shù)學(xué)推導(dǎo)的困惑之中，并且不容易清晰地把握各知識(shí)點(diǎn)之間的邏輯關(guān)系。在實(shí)際的教學(xué)過程中，可以通過一個(gè)地球航天器的運(yùn)行軌道仿真設(shè)計(jì)問題幫助同學(xué)們從宏觀的層面將這些知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來，梳理章節(jié)知識(shí)點(diǎn)背后的邏輯關(guān)系，讓學(xué)生更直觀地了解這部分知識(shí)在航天任務(wù)設(shè)計(jì)中的作用。作者選取了“天宮二號(hào)”作為目標(biāo)航天器，通過網(wǎng)絡(luò)查詢給出了軌道六根數(shù)的值，要求學(xué)生基于教材配套的 Matlab 代碼編寫設(shè)計(jì)程序繪制三維空間軌道及軌道狀態(tài)量隨時(shí)間的變化關(guān)系圖(部分結(jié)果如圖1)。在此運(yùn)行軌道設(shè)計(jì)問題中，需要綜合應(yīng)用前五個(gè)軌道根數(shù)守恒與平近點(diǎn)角隨時(shí)間線性變化的特性、開普勒方程和牛頓迭代法、坐標(biāo)變換、以及軌道根數(shù)與位置速度轉(zhuǎn)換等知識(shí)點(diǎn)。在教學(xué)實(shí)踐中可以在課堂上引導(dǎo)學(xué)生思考討論算法的主要流程和涉及的知識(shí)點(diǎn)，初步形成正確的算法方案；在課后讓學(xué)生進(jìn)行Matlab 仿真實(shí)踐。由于配套的 Matlab 程序包含有主要的基本軌道函數(shù)，學(xué)生在編程實(shí)現(xiàn)時(shí)較為容易，動(dòng)手繪制出軌道也可以激發(fā)他們的學(xué)習(xí)熱情。通過本問題的鍛煉，學(xué)生可以掌握已知軌道根數(shù)的二體軌道設(shè)計(jì)方法。

圖1 “天宮二號(hào)” 運(yùn)行軌道設(shè)計(jì)問題結(jié)果示意圖

2.1.2 火星探測(cè)最優(yōu)發(fā)射窗口設(shè)計(jì)問題?軌道機(jī)動(dòng)

軌道機(jī)動(dòng)是軌道力學(xué)課程又一核心重點(diǎn)內(nèi)容。教材《軌道力學(xué)》第6 至8 章均涉及軌道機(jī)動(dòng)。學(xué)生在學(xué)完行星際軌道這一章后，已經(jīng)初步具備了蘭伯特轉(zhuǎn)移和行星星歷計(jì)算等理論知識(shí)。以2020 年我國火星探測(cè)任務(wù)為背景，作者在教學(xué)中引入了火星探測(cè)最優(yōu)發(fā)射窗口設(shè)計(jì)問題。要求學(xué)生基于教材配套Matlab 代碼中的蘭伯特求解器、大行星的星歷計(jì)算函數(shù)及時(shí)間系統(tǒng)轉(zhuǎn)換函數(shù)，通過離散發(fā)射時(shí)間和飛行時(shí)間并計(jì)算不同轉(zhuǎn)移軌道所需速度增量等高線圖(如圖2) 的方式，編寫Matlab 仿真程序，找出2020年的火星探測(cè)最優(yōu)發(fā)射窗口。在本案例問題中，由于考慮了星歷計(jì)算，軌道設(shè)計(jì)與時(shí)間系統(tǒng)建立了聯(lián)系。另外，在軌道設(shè)計(jì)中并未限制于理想的共面霍曼轉(zhuǎn)移，比教材中霍曼轉(zhuǎn)移的例子更接近于真實(shí)情況。在教學(xué)實(shí)踐中仍然可以先引導(dǎo)學(xué)生思考和討論初步的解決方案，再讓學(xué)生通過Matlab 仿真實(shí)踐。學(xué)生通過該設(shè)計(jì)問題可以獲得 2020 年 7 月的最優(yōu)發(fā)射窗口，并可以發(fā)現(xiàn)與網(wǎng)絡(luò)搜索到的國內(nèi)外2020 火星發(fā)射日期基本吻合。通過本設(shè)計(jì)問題可以幫助學(xué)生將課堂所學(xué)知識(shí)與實(shí)際的航天任務(wù)建立起聯(lián)系，體會(huì)軌道力學(xué)在航天任務(wù)中的重要性，也可以增強(qiáng)軌道力學(xué)學(xué)習(xí)的趣味性。此外，通過本問題的鍛煉，學(xué)生可以初步掌握雙脈沖機(jī)動(dòng)轉(zhuǎn)移軌道的設(shè)計(jì)方法。

圖2 2020 年火星探測(cè)最優(yōu)發(fā)射窗口搜索示意圖

2.2 引入軌道優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，提升軌道設(shè)計(jì)能力

考慮到實(shí)際的軌道設(shè)計(jì)中往往需要求解多變量的非線性優(yōu)化問題，在軌道力學(xué)理論課結(jié)束后的課程設(shè)計(jì)中可以進(jìn)一步引入更具挑戰(zhàn)性的軌道優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。作者結(jié)合我國未來深空探測(cè)的發(fā)展方向和自身在深空探測(cè)方面的研究經(jīng)歷，在2018 年和2019年教學(xué)中分別布置了近地小行星采樣返回的軌道初步優(yōu)化設(shè)計(jì)問題和火星引力輔助探測(cè)木星[7]軌道初步優(yōu)化設(shè)計(jì)問題。圖3 給出了其中的木星探測(cè)問題設(shè)計(jì)結(jié)果。通過兩個(gè)軌道設(shè)計(jì)問題引導(dǎo)學(xué)生綜合使用軌道遞推、軌道機(jī)動(dòng)、蘭伯特方法等知識(shí)對(duì)軌道進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)并繪制出軌道。為了提升學(xué)生完成軌道設(shè)計(jì)問題的可行性，作者首先對(duì)問題進(jìn)行簡(jiǎn)化以降低難度，其中包括小行星采樣返回軌道設(shè)計(jì)中，將采樣段簡(jiǎn)化為探測(cè)器交會(huì)小行星之后固定時(shí)長之內(nèi)保持與小行星相同的軌道狀態(tài)量；對(duì)于三維的火星引力輔助計(jì)算，提供了引力輔助模型[7]的Matlab 計(jì)算程序。學(xué)生在設(shè)計(jì)軌道時(shí)只需編寫求解以時(shí)間節(jié)點(diǎn)為優(yōu)化變量的速度增量優(yōu)化問題。其次，由于軌道力學(xué)教材并未涉及數(shù)值優(yōu)化知識(shí)，作者在學(xué)生開始課程設(shè)計(jì)之前補(bǔ)充演示了 Matlab 中非線性優(yōu)化函數(shù)“fmincon”的基本使用方法。通過深空探測(cè)軌道優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的鍛煉，學(xué)生可以初步掌握軌道優(yōu)化設(shè)計(jì)的方法，進(jìn)一步提升軌道設(shè)計(jì)的能力。

圖3 火星引力輔助探測(cè)木星的軌道設(shè)計(jì)問題結(jié)果示意圖

2.3 效果評(píng)價(jià)與討論

經(jīng)過近兩年在軌道力學(xué)教學(xué)中的初步探索和實(shí)踐發(fā)現(xiàn)，多數(shù)學(xué)生能夠積極地參與到解決軌道設(shè)計(jì)問題之中。除了在教室中的交流討論，很多學(xué)生在課后通過微信、郵件等方式與作者進(jìn)行較多的互動(dòng)交流和討論。其中 2019—2020 學(xué)年就有 15 名學(xué)生通過微信方式交流了軌道設(shè)計(jì)問題。大部分大三學(xué)生之前尚未用 Matlab 解決過課程中的問題，通過Matlab 編程解決軌道設(shè)計(jì)問題，不僅加深了對(duì)軌道的理解，同時(shí)也鍛煉了Matlab 動(dòng)手編程的能力。通過學(xué)生隨設(shè)計(jì)結(jié)果一同提交的心得體會(huì)中也可以看到，學(xué)生從對(duì)軌道設(shè)計(jì)問題比較迷茫到繪制出軌道時(shí)的喜悅。對(duì)于具有挑戰(zhàn)性的深空探測(cè)軌道優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，也有不少學(xué)生完成了較高質(zhì)量的軌道設(shè)計(jì)結(jié)果和報(bào)告。此外，軌道設(shè)計(jì)問題也激發(fā)了學(xué)生探索軌道設(shè)計(jì)方法的興趣。譬如，4 名學(xué)生在課程設(shè)計(jì)中自主探索了 “fmincon” 之外的優(yōu)化求解函數(shù)，并進(jìn)行了對(duì)比分析；課程結(jié)束后部分學(xué)生參與到了軌道設(shè)計(jì)相關(guān)的大學(xué)生科創(chuàng)項(xiàng)目之中，包括1 項(xiàng)國家級(jí)大學(xué)生創(chuàng)新訓(xùn)練項(xiàng)目。

作者近兩年軌道力學(xué)教學(xué)獲得的學(xué)生評(píng)價(jià)成績均為優(yōu)秀，一定程度上反映出學(xué)生對(duì)教學(xué)方法滿意度較好。另外，對(duì)比2018—2019 學(xué)年和2019—2020學(xué)年的教學(xué)實(shí)踐，后一學(xué)年選用的軌道設(shè)計(jì)問題更加符合循序漸進(jìn)的原則 (增加了軌道機(jī)動(dòng)方面的階段性問題)，故教學(xué)效果更佳，課程獲得優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)從7 名增加到了15 名，學(xué)生評(píng)教成績的全校課程百分比排名也提升了16%。

3 結(jié)束語

初步實(shí)踐表明，在軌道力學(xué)教學(xué)過程中引入適當(dāng)?shù)暮教燔壍涝O(shè)計(jì)問題，可以提升學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)軌道力學(xué)知識(shí)的理解，有效培養(yǎng)學(xué)生的軌道設(shè)計(jì)能力。當(dāng)然，軌道力學(xué)教育教學(xué)改革是需要長期探索和實(shí)踐的工作，需要保持軌道設(shè)計(jì)問題與前沿?zé)狳c(diǎn)航天任務(wù)的聯(lián)系，逐步完善以軌道設(shè)計(jì)問題為導(dǎo)向的教學(xué)法，從而在探索和實(shí)踐中不斷地提升教學(xué)質(zhì)量。