關于對模態概念的理解

陳立群

(上海大學力學與工程科學學院力學系，上海200444)

17 世紀，人們開始對模態有所認識。1733 年丹尼爾·伯努利 (Daniel Bernoulli) 在研究垂直懸掛細線振動時發現存在不同的模態，1742 年對振動桿的實驗中發現振動為不同模態的疊加[1]。1747 年，歐拉 (L. Euler) 研究相同彈簧水平連接相同n個質點的縱向振動時，不僅精確地求出了n個模態，而且證明每個質點的振動是這些模態振動的疊加[2]。經過拉格朗日(J.L.Lagrange)[3]、瑞利(J.W.S.Rayleigh)[4]、開爾文 (T.W. Kelvin) 和臺特 (P.G. Tait)[5]的發展和應用，模態概念成熟完善，成為多自由度振動分析的基礎，也是國內外振動教材中[6-10]的重要內容。雖然模態概念是解耦多自由度系統或連續系統的基礎，但在教學中往往著重介紹模態分析法，對模態概念沒有重點闡述，因此學生缺乏對模態概念的透徹理解。這樣，面對模態概念的進一步發展，如復模態和非線性模態，尤其覺得困惑。本文較為詳細地解釋了模態概念的基本屬性，分析了模態概念發展為復模態概念和非線性模態概念時保留或舍棄了模態的哪些屬性。這將有助于模態概念的教學，教師可以從更廣泛的角度深入理解模態，從而幫助學生全面掌握模態概念。以下討論主要是針對離散振動系統，連續振動系統基本上也有平行的結論。

1 固有模態

模態是系統的一種特征振動性態，系統中各廣義坐標以相同的頻率振動。因此，模態由模態頻率和模態振型兩個基本量刻畫，模態頻率為系統呈現單頻振動時的頻率，模態振型為各廣義坐標同頻振動時最大位移的相對關系。模態振型簡稱為振型，也稱為主振型，有些文獻中稱為模態或主模態。線性離散振動系統存在的模態個數為其自由度數，線性連續振動系統存在著無窮多個模態。模態是線性系統的固有特性，取決于系統的質量、剛度和阻尼等因素，與激勵無關，可以在實驗中進行測量和辨識。

最初對模態的研究，不僅局限于線性系統，而且忽略了阻尼因素，即為無阻尼線性振動系統。振動系統的特性由質量矩陣M和剛度矩陣K決定。對于n自由度系統，振動方程為

其中x為廣義坐標構成的n×1 列陣，n×n質量矩陣M和剛度矩陣K為對稱矩陣。模態可以由廣義特征值問題求解。特征值為實數，就是固有頻率，而特征向量就是模態振型。這種振型不隨時間變化，在所討論的離散振動系統可以用常向量表示。從能量角度考慮，每個模態上機械能守恒，模態之間沒有能量交換。這個物理事實的數學表述就是模態振型關于質量和剛度矩陣的正交性。

系統各廣義坐標以相同的頻率振動，意味著運動具有一致性或同頻性。模態的出現依賴于激勵，特定初值條件符合某個模態振型時，自由振動就以該模態頻率振動。這意味著初值在某個模態上時后續的運動都在該模態上，即模態上的運動具有不變性。如前所述，模態之間彼此獨立，不發生能量轉移，模態振型彼此正交。在一般初值激勵下，線性系統的自由振動是各模態振動的疊加。這種同頻性、不變性、正交性和疊加性是模態的基本屬性。

2 從實模態到復模態

當系統存在大范圍整體運動對局部振動影響時，有陀螺效應，振動方程中含有相應的陀螺項。n自由度離散陀螺系統的振動方程為

其中x為廣義坐標構成的n×1 列陣，n×n質量矩陣M和剛度矩陣K為對稱矩陣，陀螺矩陣G為反對稱矩陣。陀螺矩陣與廣義速度列陣的乘積為陀螺項。在連續振動系統情形，陀螺項是對時間一階和對空間坐標奇數階的混合偏導數項。Meirovitch[11]發展了陀螺系統的模態分析方法。由廣義速度和廣義坐標構成狀態變量，把方程(2) 改寫為狀態空間的形式

由此求解廣義特征值問題。所得到的特征值為成對出現的2n個純虛數，n個虛部系數即是振動系統的頻率；特征向量為2n×1 復數列陣。對應于廣義坐標的特征向量中第n+1 行到2n行構成的n×1 復數列陣稱為陀螺模態振型。陀螺模態振型為復數。陀螺振動系統仍存在模態頻率，系統自由振動為各模態頻率振動的疊加，模態頻率振動仍是簡諧振動。但由于陀螺效應，沒有前述經典模態意義上獨立于時間的振型。

需要考慮阻尼時，振動方程中增加了阻尼項。n自由度離散阻尼系統的振動方程為

其中x為廣義坐標構成的n×1 列陣，n×n質量矩陣M、阻尼矩陣C和剛度矩陣K為對稱矩陣。阻尼矩陣與廣義速度列陣的乘積為阻尼項。在連續振動系統情形，陀螺項是對時間一階和對空間坐標偶數階的混合偏導數項。Foss[12]給出一般黏性阻尼系統解耦的方法。由廣義速度和廣義坐標構成狀態變量，把方程(4) 改寫為狀態空間的形式

由此求解廣義特征值問題。與陀螺系統不同，所得到的特征值為成對出現的2n個復數。n個虛部系數為振動系統的阻尼頻率，n個實部系數為振動系統的衰減系數。阻尼頻率不是數學意義上的頻率，即振動在單位時間重復發生的次數，而是振動在單位時間通過平衡點或達到最大值次數，因為模態振動在數學意義上已經不是周期運動，但仍是具有等時性的往復運動。與陀螺系統類似，特征向量為2n×1 復數列陣。對應于廣義坐標的特征向量中第n+1 行到2n行構成的n×1 復數列陣稱為阻尼模態振型。阻尼模態振型為復數。阻尼振動系統仍存在模態頻率，系統自由振動為各模態振動的疊加，模態振動不再是簡諧振動而是衰減振動。除了比例阻尼等特殊情形[13]，阻尼模態振型不是前述經典模態意義上獨立于時間的振型。

陀螺模態和阻尼模態的共同之處是模態振型為復數，兩者統稱為復模態。復模態仍有頻率的等時性，系統以單一頻率運動，即作模態振動；正交性和疊加性都需要在狀態空間中建立；一般不具有不變性。陀螺或阻尼振動系統的復模態仍有模態頻率的概念，但沒有保守振動系統那種具有不變性的模態振型。復模態頻率和復模態振型都是阻尼或陀螺系統客觀的固有振動性質，取決于系統的質量、剛度和阻尼等因素，可以由實驗進行測量和識別。

復模態振型與實模態振型既有相似之處，也有不同之處。兩者都具有正交性，但復模態振型的正交性需要在狀態空間中定義，不存在實模態振型那種在位形空間中定義的正交性。因此，應用復模態正交性進行解耦時，要在狀態空間中進行。不論是復模態還是實模態，系統響應均為模態振動的疊加，但復模態分析中的疊加要在狀態空間中進行。有一般阻尼或陀螺效應時，系統各廣義坐標的模態振動同頻但存在相位差，通常不同時取極值，也不同時通過平衡位置。因此，復模態沒有反映各廣義坐標上取極值時的相對大小意義上的振型，一般也沒有固定不變的節點。在連續系統的情形，振動由行波而不是駐波所產生。

復模態保持了實模態的同頻性，但不具有實模態的不變性，正交性和疊加性都需要在狀態空間中建立。因此，復模態并非經典意義上的模態，是獨立的概念，不能望文生義地理解為用復數表示的模態。

3 從線性模態到非線性模態

非線性模態是推廣模態概念到非線性振動系統的嘗試。描述在特定條件下，系統響應所包含的單頻成分。為突出區別，線性振動系統的模態稱為線性模態。早期的非線性模態著重刻畫系統各廣義坐標同頻運動的同頻性，本質上是固有模態對非線性系統的推廣。隨后的非線性模態定義為狀態空間中的不變流形。非線性系統仍保留著同頻性或不變性，但通常沒有正交性和疊加性。

非線性模態的概念最初由Rosenberg 在1966 年提出[14]。針對無阻尼非線性振動系統，他將非線性模態定義為系統的同頻或一致運動，系統各廣義坐標同時達到極值和同時通過平衡位置；若各廣義位移之間存在線性關系，則稱之為相似非線性模態；否則即為非相似非線性模態。這種定義有內在局限性，僅限于無阻尼系統，而且在有內共振情形系統可能出現快慢運動破壞了非線性模態所要求的一致性。1991年，Shaw 等[15]提出了阻尼非線性系統的非線性模態，把相空間的不變流形定義為非線性模態，這樣初始位移和速度符合某一非線性模態或在該其吸引盆內，隨后系統就按該非線性模態運動。

非線性模態具有若干基本性質。第一，振動頻率依賴于激勵幅值。即使系統做同頻周期運動，其頻率也與初始激勵或初始能量有關。第二，在線性派生系統的固有頻率有理通約時，非線性模態間仍可能存在內共振使得模態間有能量交換。第三，非線性模態的數目和穩定性可能隨著系統參數變化，也可能隨著系統能量變化，即與運動幅值有關。非線性模態的數目可能多于系統自由度數，存在不穩定的非線性模態。從這些性質可見，非線性模態與線性模態有顯著的差別。因此，非線性模態不是經典意義上的模態，是獨立的概念，不能簡單理解為是非線性系統中的模態。

與實模態和復模態都由線性代數的廣義特征值問題導出不同，非線性模態需要用解析方法或近似解析方法確定[16]。解析方法有基于能量分析的方法，但應用過程中需要某種對稱性，目前只適用于奇數階非線性項的情形；還有不變流形方法，其中用到冪級數展開，通常只適用于運動幅值較小的情形。近似解析方法有多尺度法，適用于非線性較弱的情形；還有諧波平衡法，可應用于強非線性的情形，但盡管可以進行符號運算，分析自由度數較大的系統仍很復雜。非線性模態也可以用數值方法進行計算。

雖然非線性模態的應用因疊加原理不成立而受到限制，非線性模態仍可望成為分析特定非線性振動系統的一種工具[17-18]。

4 總結

經典的模態(也稱實模態或線性模態)具有模態振動的各自由度同頻性、對初始條件的不變性、模態間不傳遞能量的正交性和系統響應為模態振動的疊加性。復模態仍具有模態振動的各自由度同頻性，但不具備對初始條件的不變性，在狀態空間中才具有模態間不傳遞能量的正交性和系統響應為模態振動的疊加性。非線性模態通常不具有正交性和疊加性，最初的無阻尼非線性模態保留同頻性而不要求不變性，后來的阻尼非線性模態保留不變性而不要求同頻性。

致謝：北京理工大學胡海巖院士對本文提出修改建議，在此致謝！