彈性壁擴張式消聲器傳遞損失特性研究

侯九霄，朱海潮，毛榮富，袁蘇偉

（海軍工程大學船舶振動噪聲重點實驗室，武漢430033）

0 引 言

擴張式消聲器廣泛應用于船舶管路系統(tǒng)，實際工程中受空間尺寸限制，其低頻吸聲效果有待提高。撓性接管具有較大的位移補償能力和優(yōu)良的隔振性能，前期研究主要集中在平衡性能[1-2]和振動傳遞特性[3-4]。張維等[5]試驗研究發(fā)現(xiàn)，撓性接管在中低頻段對線譜和寬頻帶噪聲都有一定的消聲效果。陳剛等[6]推導了撓性接管對管內聲傳播速度的影響。對鼓型消聲器[7-8]和板式消聲器[9-11]的研究表明，利用聲波和彈性管壁的耦合作用，使管路內的聲阻抗不連續(xù)而發(fā)生反射和散射作用，能夠降低下游的透射聲能。因此，將撓性接管和管路消聲器相結合，研究彈性壁擴張式消聲器傳遞損失特性，對于抑制船舶管路系統(tǒng)噪聲的傳播具有重要意義。

為此，本文提出彈性壁擴張式消聲器結構模型，利用傳遞矩陣法將其劃分為三個聲學單元，基于模態(tài)疊加法和Kirchhoff-Helmholtz 積分公式建立彈性壁管段的結構-聲耦合模型，利用Fourier-Galer?kin 方法進行耦合方程的求解，推導出彈性壁擴張式消聲器的傳遞損失特性，并與傳統(tǒng)剛性壁擴張式消聲器進行比較，進一步地分析管壁參數(shù)對消聲性能的影響，并利用有限元法對理論結果進行驗證。此外，本文還提出彈性壁擴張式消聲器的等效流體模型，簡化了傳遞損失特性的求解方法。

1 彈性壁擴張式消聲器理論

1.1 傳遞矩陣模型

彈性壁擴張式消聲器的模型如圖1（a）所示，撓性接管構成了消聲器的腔壁。上下游管道的半徑為a，擴張腔的半徑為b，長度為L。在入射平面波pi作用下，反射聲波為pr，透射聲波為pt。考慮到模型為軸對稱結構，在入射平面波作用下，彈性管壁的響應和內部聲場成軸對稱分布。此時，三維模型可以簡化為二維軸對稱結構如圖1（b）所示。

圖1 彈性壁擴張式消聲器結構示意圖Fig.1 Geometry of the expansion muffler with flexible walls

利用傳遞矩陣法將彈性壁擴張式消聲器劃分為I、II和III三個聲學單元。設聲學單元I和III的傳遞矩陣分別為T1和T3，

式中，

1.2 彈性管壁的振動響應

圓柱形的彈性管壁在入射聲場p2i激勵作用下產生動態(tài)響應，由于結構和入射聲場具有軸對稱性，因此彈性管壁的響應也成軸對稱分布。為書寫簡便，下文中統(tǒng)一省略時間項ejωt。

依據(jù)Donnell-Mushtari薄殼理論，彈性管壁的軸對稱運動微分方程為

彈性管壁的兩端為簡支邊界條件，利用模態(tài)疊加法，彈性管壁的速度響應可表示為

利用Fourier-Galerkin方法求解彈性壁的運動微分方程，還需要求解彈性管段內部的輻射聲壓p2。

1.3 輻射阻抗

對于聲學單元II，管道內部的Green函數(shù)為

式中，( r,z )為觀察點坐標，( r',z' )為源點坐標，Φn( r )、Λn和kzn分別為第n 階特征函數(shù)、模態(tài)質量和軸向波數(shù)，

式中，Ji( krnr )為i階柱貝塞爾函數(shù)；krn為徑向模態(tài)波數(shù)，滿足J1( krnb )= 0。

利用Kirchhoff-Helmholtz積分公式，可得II空間的聲壓分布為

式中，n為彈性管壁的外法線方向。

將式（7）、（13）代入式（17），得

令r=b，求得彈性管壁位置的聲壓為

1.4 耦合方程求解和管內聲場

將公式（22）代入式（9），得

求得彈性管壁的響應為

可得管內流體的質點振速uII為

1.5 傳遞損失

則聲學單元II的傳遞矩陣T2為

式（28）包含四個未知量和兩個方程，還需要另外兩個條件才能求解。由于聲學單元II 具有結構對稱性，依據(jù)互易原理可得

聯(lián)立式（28）～（29）可得聲學單元II的傳遞矩陣為

進一步地，得到彈性壁擴張式消聲器入口到出口的傳遞矩陣T為

求得彈性壁擴張式消聲器的傳遞損失為

2 理論模型的驗證

2.1 模態(tài)數(shù)目截斷收斂性驗證

利用模態(tài)疊加法求解彈性壁擴張式消聲器傳遞損失，在實際計算過程中，分別截取前M階的結構模態(tài)和前N階的管道聲模態(tài)。為確保求解結果的精確性，需要對模態(tài)數(shù)目截斷收斂性進行驗證。設置彈性壁擴張式消聲器的幾何參數(shù)與材料屬性如表1所示。

以前50 階結構模態(tài)和管道模態(tài)計算結果為準，構建模態(tài)截斷誤差函數(shù)為

表1 彈性壁擴張式消聲器的幾何參數(shù)與材料屬性Tab.1 Structural parameters and material properties of flexible expansion muffler

式中，[ f1,f2]為頻率范圍，本文主要關注[ 20,2 000 ]Hz 頻率范圍內的彈性壁擴張式消聲器的傳遞損失特性。取M=N，得到模態(tài)截取誤差隨截斷模態(tài)階數(shù)的曲線如圖2 所示，隨著模態(tài)數(shù)目的增加，模態(tài)疊加法求解結果趨近一致。當模態(tài)階數(shù)大于8 時，所得結果誤差已經(jīng)小于1%。綜合考慮計算成本，本文在計算彈性壁擴張式消聲器傳遞損失時均選取前10階模態(tài)疊加的結果。

2.2 有限元驗證

為驗證本文理論的準確性，利用有限元方法對理論結果進行驗證，選用COMSOL Multiphysics 中聲-殼耦合模塊，在結構和聲場耦合面上滿足壓力連續(xù)和法向振速連續(xù)條件。求得彈性壁擴張式消聲器的傳遞損失曲線的理論結果與有限元結果如圖3所示。對比發(fā)現(xiàn)，在中低頻范圍內，理論結果和有限元結果吻合良好；在高于1 500 Hz頻率范圍內理論結果與有限元仿真結果在幅值上有些許偏差，原因在于前文所使用傳遞矩陣法為平面波假設條件，在高頻范圍內彈性壁擴張式管路消聲器中產生高次波，因而基于平面波假設的求解結果會帶來一定的偏差。

圖2 模態(tài)數(shù)目截斷誤差曲線Fig.2 Convergence of transmission loss with different numbers of modes

圖3 理論結果與有限元計算結果的對比Fig.3 Comparison of transmission loss between theoretical results and FEM results

圖4 為采用有限元方法計算得到的在1 400 Hz 彈性壁擴張式消聲器內聲場的切片圖，此時，管道內出現(xiàn)高次波的傳播形式。

2.3 與剛性擴張式消聲器的對比

在相同尺寸條件下，對比彈性壁擴張式消聲器與現(xiàn)有的剛性擴張式消聲器消聲特性，設置彈性壁擴張式消聲器的幾何參數(shù)與材料屬性如表1所示。對比彈性壁擴張式消聲器與現(xiàn)有的剛性擴張式消聲器的傳遞損失曲線如圖5所示。

圖4 1 400 Hz彈性壁擴張式消聲器內部聲壓云圖Fig.4 Sound pressure in expansion muffler with flexible walls at 1 400 Hz

圖5 彈性壁擴張式消聲器與剛性擴張式消聲器的對比Fig.5 Comparison of TL between flexible and rigid expansion mufflers

可以發(fā)現(xiàn)，相較剛性壁擴張式消聲器，彈性壁擴張式消聲器的傳遞損失曲線的峰值得到了提高。同時，通過頻率向低頻移動，低頻消聲性能得到了提升。

3 彈性管壁參數(shù)的影響

3.1 彈性模量

選取管壁材料的彈性模量分別為E1=10 GPa、E2=30 GPa 和E3=210 GPa，密度為ρ=1 200 kg/m3，得到不同彈性模量對彈性壁擴張式消聲器傳遞損失的影響如圖6 所示。可以發(fā)現(xiàn)，隨著彈性模量的降低，彈性壁擴張式消聲器的傳遞損失曲線進一步地向低頻移動。由此可見，管壁采用撓性接管以后，并且選用較小的彈性模量，對于提高擴張式消聲器的低頻消聲器性能有利。

3.2 密度

選取管壁材料的密度分別為ρ1=1 200 kg/m3、ρ2=2 700 kg/m3和ρ3=7 800 kg/m3，彈性模量為E=30 GPa，得到密度對彈性壁擴張式消聲器傳遞損失的影響如圖7 所示。可以發(fā)現(xiàn)，增大管壁材料的密度會使彈性壁擴張式消聲器傳遞損失曲線向低頻方向移動，然而，對低頻消聲性能影響不大。

圖6 管壁彈性模量對消聲器傳遞損失的影響Fig.6 Influence of elastic modulus of the flexible pipe on transmission loss

圖7 管壁密度對消聲器傳遞損失的影響Fig.7 Influence of density of the flexible pipe on transmission loss

3.3 阻尼

實際中彈性管壁為有阻尼結構，此時，用Lηs2替代原有的背腔結構特征參數(shù)Ls2，

選取管壁材料的彈性模量為E=30 GPa，密度為ρ=1 200 kg/m3，對比不同阻尼系數(shù)對彈性壁擴張式消聲器傳遞損失的影響如圖8 所示。可以發(fā)現(xiàn)，隨著阻尼系數(shù)的增加，彈性壁擴張式消聲器在通過頻率處的傳遞損失得到了提高，對于提高消聲器寬頻范圍的消聲性能有利。

圖8管壁阻尼對消聲器傳遞損失的影響Fig.8 Influence of damping factor of the flexible pipe on transmission loss

4 等效流體模型

前文基于Green 函數(shù)和Kirchhoff-Helmholtz 積分公式，得到彈性壁擴張式消聲器的傳遞損失。為簡化計算，根據(jù)文獻[6]對撓性接管內等效聲速的計算方法，忽略管壁的振動，將聲學單元II近似為內部充有聲速為ce的等效流體介質的直管段。依據(jù)Korteweg波速公式，聲學單元II的流體等效聲速為

式中：c0為自由空間水介質中的聲速；K=2.06×109Pa 為水介質的體積彈性系數(shù)；C 為修正系數(shù)，在兩端均為彈性支撐條件下，C=1。此時，聲學單元II的等效傳遞矩陣為

圖9 等效流體法與有限元計算結果的對比Fig.9 Comparison of TL between equivalent fluid method and FEM results

式中，ke= ω/ce。將式（37）代入式（32）得到整個彈性壁擴張式消聲器的傳遞矩陣，聯(lián)立式（33）可以得到采用等效流體模型法彈性壁擴張式消聲器的傳遞損失。

同樣選用表1 所示的幾何參數(shù)與材料屬性，采用等效流體模型法得到彈性壁擴張式消聲器與有限元仿真結果如圖9所示。可以發(fā)現(xiàn)，在低頻范圍內，等效流體模型法和有限元法結果吻合良好；在800 Hz以上范圍內等效流體模型結果偏差較大，原因在于等效流體法雖然考慮了管壁彈性對管內介質聲速的影響，卻沒包含有限長管壁結構振動的影響。不過，在低頻范圍分析時等效流體法在取得滿意精度的同時，極大簡化了求解過程。

5 結 論

本文提出了彈性壁擴張式消聲器結構模型，采用傳遞矩陣法將圓形管道彈性壁擴張式消聲器分為三個聲學單元，基于Green 函數(shù)和Kirchhoff-Helmholtz 積分公式建立其聲學理論模型，并研究了管壁參數(shù)的影響。基于等效流體模型，得到彈性壁擴張式消聲器傳遞損失的近似解法。利用有限元法對理論結果進行了驗證，得到以下結論：

（1）相較傳統(tǒng)剛性壁擴張式消聲器，彈性壁擴張式消聲器傳遞損失曲線的峰值得到了提高，同時向低頻移動，低頻消聲性能得到了提升。采用本文給出的彈性管壁參數(shù)條件，擴張式消聲器的最大消聲量從13 dB提高至18 dB，共振頻率從600 Hz降低至350 Hz。

（2）隨著彈性模量的降低，彈性壁擴張式消聲器的傳遞損失曲線進一步地向低頻移動；增大管壁材料的密度使彈性壁擴張式消聲器傳遞損失曲線向低頻方向移動，然而，對低頻消聲性能影響不大；阻尼系數(shù)的增加，彈性壁擴張式消聲器在通過頻率處的傳遞損失得到了提高，對于提高消聲器寬頻范圍的消聲性能有利。

（3）采用等效流體模型法近似求解彈性壁擴張式消聲器的傳遞損失特性，在0～900 Hz 范圍內能夠取得滿意的精度，同時簡化了求解過程。