激勵力幅值對非線性能量阱系統全局分岔特性的影響研究

李 爽，樓京俊，柴 凱，劉樹勇

（海軍工程大學a.動力工程學院；b.艦船與海洋學院，武漢430033）

0 引 言

線性吸振器具有吸振頻率固定且帶寬極窄的特點,對于潛艇液壓泵、輔冷泵這一類激勵特性隨直流幅壓電機蓄電池電壓變化的機械設備而言,線性吸振器吸振效果有所退化,往往達不到工程要求[1]。在線性吸振器中加入非線性因素理論上能夠拓寬吸振頻帶[2],從而解決潛艇機械設備激勵特性變化時的振動控制難題。非線性能量阱（Nonlinear Energy Sink,NES）正是一種引入本質非線性剛度的動力吸振裝置[3],其能夠通過共振俘獲等非線性動力學行為在寬頻范圍內靶向吸收和耗散主結構的振動能量,從而達到抑制主結構瞬態或穩態振動的目的。正是由于這一特質,非線性能量阱技術近年來引起了國內外學者的廣泛關注[4-8]。

最初,有關NES的研究工作主要集中于對瞬態振動的抑制,在此類系統中,關于靶能量傳遞、瞬態共振俘獲等原理研究已經比較透徹。直至Starosvetsky、Gendelman 等[9-10]發現在耦合NES 子系統的穩態振動系統中,同樣存在一種類似于靶能量傳遞的響應形式,并將其稱為強調制響應（strongly modu?lated response,SMR）,國外學者Gourc[11]、Kerschen 等[12],以及國內學者孔憲仁等[13]、Zhang 等[14]也相繼開展了該領域的研究工作。強調制響應本質上屬于非線性松弛振蕩運動[15-17]（relaxation-type motion）,系統響應存在快慢變化過程,同時與系統初始能量存在密切的關系。研究該響應需要首先研究清楚系統平衡點類型,而折奇點這一類型平衡點通過局部分岔分析是觀察不到的[18]。這對研究NES 這一類高維非線性系統造成了很大的難度。

國內劉良坤等[19]開展了NES 吸振系統受基底簡諧激勵時產生SMR 的充要條件研究,本文在此基礎上著重分析主系統受簡諧激勵力作用時,激勵力幅值對NES吸振系統全局分岔特性的影響,并用相軌跡法驗證了周期吸引子與折奇點隨激勵力幅值的演變過程,不僅是對文獻[19]的拓展與創新,更是對后續研究NES吸振系統的全局性態奠定了一定的理論基礎。

1 系統模型

本文所研究系統模型如圖1 所示。其中單自由度線性主系統受外界簡諧激勵作用,下端安裝在剛性基座上,上端與單自由度非線性能量阱耦合相連,且非線性能量阱滿足本質非線性剛度特性。

根據牛頓第二定律,系統運動學方程為

圖1 非線性能量阱吸振系統動力學模型Fig.1 Dynamic model of the coupled NES absorption system

主要考慮激勵頻率接近主系統固有頻率時的1:1:1主共振情形,令ω = 1 + εσ,這里σ為激勵頻率失調參數。作坐標變換u = z1+ εz2、v= z1- z2,并對系統進行降維,引入復變量參數

式中j 為虛數單位,ψi是關于變量u、v 的慢變調制幅值,i=1,2。在不考慮主系統阻尼情況下,將式（3）代入式（2）中,通過平均化過程消除快變響應部分,可得方程

2 系統全局分岔特性分析

引入新的時間尺度τk= εkt,k = 0,1,…,并令φ2= φ2( τ0,τ0,…),采用多尺度法展開

將式（7）代入到式（6）中,忽略高階項,可得到關于ε的不同階次方程

首先考慮φ2在慢變時間τ1上的近似解,φ2關于快變時間τ0積分可得第一個積分方程

式中,R 是關于τ1的任意函數。令?φ2/?τ0= 0,由式（9）可知,系統平衡點Φ( τ1)只與慢變時間τ1有關,滿足方程

圖2 不同阻尼系數下f ( Z )曲線Fig.2 Curves of f ( Z )under different damping ratios

圖3 系統慢不變流形Fig.3 Slow invariant manifold of the system

將式（16）寫成函數形式

由數學知識易知,式（17）具有兩類平衡點,第一類是普通吸引子,對應系統周期解；第二類是折奇點。其中普通吸引子滿足條件

而折奇點滿足條件

對于第一類平衡點,由于g( N )≠0,可得α11α22- α12α21≠0,系數矩陣為滿秩矩陣,因此式（20）具有唯一解,且滿足如下表達式

由于N1≤N2,可得f1c≤f2c。由上述分析可知,當激勵力幅值f ≤f1c,無折奇點出現；當f1c≤f ≤f2c,僅有下折奇點出現；當f ≥f2c上下奇點才能同時出現。

3 激勵力幅值對全局分岔特性的影響

參考文獻[19],選取系統參數C = 4/3,ξ2= 0.2,σ = 0,系統周期吸引子分岔情況如圖4所示。從圖中可知,激勵力幅值增加時,系統只存在一個周期解,其中黑色實線為穩定周期解,黑色虛線為不穩定周期解,不穩定解區域位于折疊線N1、N2之間。另外,通過式（21）可求得折疊線N1、N2對應的分岔點激勵力大小分別為fb1= 0.241 9,fb2= 0.989 2。

三維平面( N,θ,f )以及二維平面( N,θ )內系統全局分岔圖如圖5 所示。圖中‘rp’代表周期吸引子,‘fs1’、‘fs2’分別代表上、下折奇點,‘bp1’、‘bp2’為周期吸引子分岔點,此外,通過式（23）可求得折奇點對應的分岔點為fc1= 0.176 0、fc2= 0.984 4，因此有fc1＜fb1＜fc2＜fb2。從圖中可知，當激勵幅值f ＜fc1時，系統只存在一個穩定的周期吸引子；當f = fc1，系統平衡點出現亞臨界分岔，在折疊線N1處產生一對不穩定的下折奇點，在fc1＜f ＜fb1范圍內，系統存在一對不穩定的下折奇點以及一個穩定的周期吸引子；進一步增大f，當f = fb1時，周期吸引子由穩定解退化為不穩定解，同時下折奇點由不穩定解變為穩定解，在fb1＜f ＜fc2范圍內，此時系統存在一對穩定的下折奇點和一個不穩定的周期吸引子；當f = fc2時，系統平衡點再次出現亞臨界分岔，此時系統演變出一對穩定的上折奇點，在fc2＜f ＜fb2范圍內，此時系統存在一對穩定的下折奇點、一對穩定的上折奇點以及一個不穩定的周期吸引子；當f = fb2時，上折奇點由穩定解退化為不穩定解，同時周期吸引子再次發生Hopf分岔，由不穩定解變為穩定解，在f ＞fb2范圍內，此時系統存在一對穩定的下折奇點，一個穩定的周期吸引子以及一對不穩定的上折奇點。

從上述分析可知，激勵力幅值對所述系統平衡點個數以及吸引子類型影響都比較顯著,隨著激勵幅值的變化，在fc1、fb1、fc2、fb2等分岔點處，系統平衡點會出現亞臨界分岔、Hopf分岔等復雜的非線性動力學現象。需要說明的是，文中有關平衡點穩定性判斷可參考文獻[20]，這里不再贅述。

圖4 周期吸引子分岔情況Fig.4 Bifurcation diagram of the system periodic attractor

圖5 系統全局分岔圖Fig.5 The global bifurcation diagram of the system

4 相軌跡分析

保持參數C=4/3，ξ2= 0.2，σ = 0 不變，結合ode45 數值法與Matlab streamline 流形函數繪制不同激勵力幅值下系統響應的相軌跡，如圖6 所示。圖中縱坐標為響應幅值N，橫坐標為相位θ，θ ?( 0,2π )，藍色曲線為慢不變流形相軌跡，紅色曲線對應折疊線N1和N2，N1～N2之間為系統響應的不穩定區域，另外系統普通吸引子在圖中用紅色“□”標注，折奇點用紅色“·”標注。

從圖6（a）中可知，當f=0 時，從折疊線N2上方出發的相軌跡都可以回到N2，然而從N1出發的相軌跡不能返回至N1。這意味著相軌跡從上穩定分支出發時能跳躍至下穩定分支，而從下穩定分支出發的相軌跡不能跳躍至上穩定分支。這與實際系統也是相符合的，因為不存在外界激勵時，由于阻尼的存在，系統能量會逐漸被耗散，直至趨于穩定。

從圖6（b）中可知，當f=0.1 時，對應f ＜fc1，此時系統只存在一個穩定的周期吸引點，不存在折奇點，所有的相軌跡最終都流入至該吸引子。

從圖6（c）中可知,當f=0.18時,對應f略大于fc1,此時存在一個周期吸引子與一對下折奇點。另外通過相軌跡特性可知,左側下折奇點為結點,右側下折奇點為鞍點,從鞍點右邊出發的相軌跡都被吸引至周期吸引子,結點左邊以及折疊線N1右邊部分相軌跡吸引至結點,而結點與鞍點之間的相軌跡則有可能返回至折疊線N1。

從圖6（d）中可知,當f=0.5 時,對應fb1＜f ＜fc2,系統性態發生了非常顯著的變化。首先,和f=0.18相比,周期吸引子消失,同時鞍點與結點沿著下折疊線往兩側移動,其中結點往左移動,而鞍點往右側移動,導致兩者之間距離擴大,最終能夠回到N1的相軌跡區域也在增大。值得注意的是,在繪制相軌跡過程中,只取了一個周期（0,2π）,當結點運動超過最左側時,又重新在右端出現。另外,從相軌跡特征可知,折奇點性質已經由鞍結點通過碰撞演化成了穩定的焦點。

從圖6（e）中可知,當f=0.987 時,對應fc2＜f ＜fb2,此時在上折疊線N2上出現一對鞍結點,而下折疊線N1上的一對穩定焦點依然存在。進一步增大激勵幅值,當f=1時,對應f ＞fb2,如圖6（f）所示,折疊線N2上鞍結點演化成了一對不穩定的鞍點,同時在折疊線N2上部分出現了穩定的周期吸引子。

總結可得,激勵力幅值對系統全局分岔特性的影響規律如表1所示。

圖6 不同激勵力幅值下系統響應相軌跡Fig.6 Phase trajectory of the system response under different excitation force amplitudes

表1 系統分岔點及分岔現象Tab.1 Bifurcation points and phenomenon of the system

5 結 語

在質量比ε為小參數條件下,本文結合復變量平均法、多尺度法以及相軌跡法研究了激勵力幅值對單自由度非線性能量阱吸振系統的全局分岔特性的影響。由分析結果可知：激勵力幅值對所研究系統平衡點個數以及吸引子類型影響都比較顯著,除周期吸引子外,系統還可能存在折奇點這一類通過局部分岔觀察不到的平衡點類型；另外,隨著激勵力幅值的增加,系統將呈現亞臨界分岔、Hopf分岔等非常復雜的演變行為,系統相軌跡也會發生明顯的改變。這為后續全面研究非線性能量阱吸振系統的全局性態打下了理論基礎。