考慮配電網級聯故障的分布式電源選址方法研究

徐曉春，王棟，李佑偉，嚴晗，趙鳳青 ，譚志海

（1.國網江蘇省電力有限公司淮安供電分公司，江蘇 淮安 223002；2.北京四方繼保自動化股份有限公司，北京 100085）

配電網的安全穩定運行關系著經濟和社會的發展，而現代配電網的智能化發展趨勢和多網互聯應用需求帶來的安全問題不可忽視。配電網復雜性的不斷增強，使得一次微小的局部擾動都可能帶來大面積的級聯故障[1]。近年來，國內外大規模連鎖停電事件時有發生。例如，2019年7月13日傍晚，美國紐約曼哈頓中城和上西區出現大面積停電，導致美國能源公司大約40 000用戶被迫斷電，超過42 000用戶受影響。2019年2月7日下午5點，委內瑞拉全國23個州中的21個州發生了停電，原因是向全國提供80%電力的古里水電站遭到蓄意破壞。2015年3月27日，荷蘭一所變電站發生技術故障，進而引起連鎖故障，導致荷蘭大面積停電，對北荷蘭等地區造成嚴重威脅。電網級聯故障已成為未來智能電網安全的重大挑戰。

近年來，已有許多學者利用復雜網絡理論對電網級聯故障現象進行了深入研究[1-3]，主要分為兩大類。一類是基于電網拓撲結構分析級聯故障產生的宏觀機理。早在2004年，Crucitti[4]等人就研究發現電網級聯故障的發生程度與網絡拓撲結構有著必然聯系。文獻[5]基于復雜網絡結構理論，研究了如何合理關閉一組傳輸鏈路以提高電網在級聯故障下的魯棒性。文獻[6]運用模擬退火算法優化配電網的拓撲，并找尋級聯故障下的最佳網絡結構。這類僅僅考慮電網拓撲結構的研究工作，建立的模型雖然較為粗糙，但能夠較好地從宏觀角度解釋相繼故障產生的原因。另一類是基于電力潮流特性的級聯故障精細建模和優化。該類工作更加關注電網的物理特性，以基爾霍夫定律為基礎，結合線路的阻抗或者電抗，對配電網中的各個元件進行詳細的潮流和負荷計算。例如，文獻[7]根據電網中線路的有功潮流將電網抽象為加權網絡，在不同邊移除策略下模擬級聯故障的發生過程。文獻[8]構建隱形故障仿真模型，從斷路器和繼電保護設備的拒動或誤動角度研究級聯故障的發生原因。

分布式電源的選址是配電網建設和維護中的一項關鍵工作，其對配電網甚至整個電網的穩健運行具有重要影響[9-12]。在此之前，學者們在研究配電網電源選址問題時，主要考慮的是電網損耗等因素。例如文獻[10]討論了用于最優分布式發電規劃問題的粒子群優化算法的應用模型和方法。文獻[11]為改善配電系統中的電壓分布，減少實際功率損耗提出了分布式發電存在情況下解決網絡重構的方法。文獻[12]則借助于模糊專家系統優化電源選址以進一步降低電網損耗。如何合理選擇電源位置以抑制級聯故障問題仍然是一個懸而未決的重要問題。事實上，配電網中節點具有不同的屬性。例如，不同節點的度值或者中心性通常也不同。因此，對于級聯故障而言，依據度值或中心性選擇電源節點的位置必然會有不同的影響。此外，可以通過智能算法搜索級聯故障條件下電源節點的最優位置。

本文結合配電網的網絡拓撲結構和電力潮流特性建立了級聯故障模型。基于該模型定義了級聯故障條件下配電網穩健性的度量指標。提出了基于節點度和節點介數的電源節點選址方法，并通過仿真對比實驗驗證所提方法的有效性。進一步，使用粒子群智能算法優化發電節點的位置提高電網的魯棒性，并從節點負荷均衡的角度給出了一種受限粒子群算法，提高了優化算法的計算效率。最后基于Price網絡模型[13]，探究網絡結構的異質性對電源選址問題的影響。

1 級聯故障模型

本文用的電力系統模型是基于Grainger和Stevenson[14]提出的導納模型。利用圖論的方法構造網絡二元組模型G=( )V,E，其中V為節點集，E為鏈路集。節點的總數用N表示，鏈路的總數用H表示，網絡中的發電節點的個數用Ng表示。如文獻[15]中所述，電網模型考慮四種節點：1）節點i是作為電壓源的發電節點；2）節點j是消耗功率的消費者節點；3）節點k是發送電力的分配節點；4）節點h是變壓器節點。電網中的基爾霍夫定律方程寫成：

式中：vi,vj,vh,vk為四類節點的電壓；Ij為消費節點j對應的電流；Y為鏈路的節點導納矩陣，若節點i和節點 j之間有連接，Yij=1，否則 Yij=0，Yii=-∑i≠jYij。

從網絡科學的角度研究發電節點的選址問題。為簡單起見，在文中只考慮發電節點和消費節點，發電節點i對應的方程為

式中：yi=1；U為節點的電壓集合；ui為節點i的電壓。

消費節點j對應的方程為

通過式（1）可以求出節點的電壓，線路上的電流可以用Iij=(ui-uj)·Yij求出。節點的負荷定義為Lp(i)=uiIoi，Ioi為流出節點i的總電流。傳輸線路的負荷被定義為流過該傳輸線路的電流，即Iij。節點負荷上界定義為Cp(i)=(1+α)ui(0)·Ioi(0)，線路的最大負荷則定義為Cij=(1+β)Iij(0)。其中參數α和β分別為節點和鏈路的安全裕度[15]。

級聯故障過程的仿真實驗步驟如下：

1）根據Y確定初始網絡的節點導納矩陣，根據式（1）可以求出每個節點對應的初始電壓和各條鏈路的電流。

2）根據上文給出的負荷公式求出網絡中各組件的初始負荷和最大負荷。

3）隨機移除一條邊。

4）電網的拓撲結構發生改變，重新求各組件對應的負荷。若組件（節點或者鏈路）超過其最大允許負荷則判定為失效件。

5）移除失效組件后，網絡將分裂成若干個小的子圖，如果某子圖中不含發電節點，則這個子圖中所有的節點都判定為失效節點。

6）重復步驟4）和步驟5），直到所有組件都在最大允許負荷范圍內，網絡達到穩定。

仿真過程中初始時刻移除的一條邊具有一定的隨機性，通常需要進行多次級聯故障實驗，并對觀測值取平均。

2 魯棒性度量指標

電力系統中，停電規模通常用失效節點的數量來度量。我們定義失效節點的比例PUN為

式中：Nunserved(i)為由組件i失效造成網絡發生級聯故障后總的失效節點數量。

由上文可知，失效節點是由兩部分組成的，是故障過程中過載的節點和不含發電節點的子網中所有節點之和。因此，將電網的魯棒性進一步定義為

該式表明電網的魯棒性為，由一條邊的移除引起的級聯故障結束后剩余的正常節點所占比例的平均值。

3 基于度值、介數的發電節點選址

智能電網中，如果發電節點遭受攻擊將給整個網絡帶來巨大的損失。因此，發電節點位置的選擇將影響網絡的魯棒性和抗毀性。復雜網絡理論中，度量節點的中心性的指標有許多，如節點的度值、緊密度、介數等，其中介數和度值是應用最廣泛的兩個指標，分別度量了節點在全局和局部拓撲結構中的影響力和重要性。節點的度是指與節點相關聯的邊的條數。節點的介數是指網絡中所有最短路徑中經過該節點的最短路徑的數目占最短路徑總數的比例。介數的計算公式[13]為

4 粒子群算法優化發電節點位置

為了獲得最佳的發電節點的集合，建立一個優化問題，使用粒子群優化算法[16]（PSO）找尋最優解。粒子群算法是一種啟發式的算法。與傳統算法相比，粒子群算法具有強大的全局搜索能力，并且易于實現。算法中，隨機初始化一群粒子（隨機解），粒子數和每個粒子中包含元素個數分別用S和e表示，迭代過程中求出粒子的個體最優值Pbest和全局最優值gbest。粒子基于兩個最優值，根據以下公式不斷更新其位置：

較大的慣性系數便于粒子跳出局部最優值，有利于全局搜索；較小的慣性系數則利于對當前搜索區域進行局部精確搜索，便于算法收斂，針對PSO算法容易過早收斂和后期容易在最優值附近產生振蕩的問題，采用線性變化的權重系數，讓慣性系數從最大值線性減到最小值。

發電節點選址問題可以規約為0∕1背包問題[17]。因此，本文在粒子群算法求解過程中加入了0∕1背包問題的解題思想，粒子包含元素的個數設為電網的節點數，若某元素的值為1，則為發電節點；若其值為0，則為消費節點。每個粒子的約束條件是元素為1的個數等于發電節點的個數，即粒子中所有元素求和等于發電節點的個數。粒子群算法優化步驟為：

Step1：初始化，隨機產生一組粒子，第i個粒子表示為Xi=[x1,x2,…,xn]。每個粒子中隨機選擇Ng個元素賦值為1，其他的賦值為0。

Step2：找出粒子i對應的發電節點集合，計算對應的電網魯棒性R(G)i，并與個體最優值pbest對應的魯棒性進行比較，若R(G)i>R(G)pbest，用Xi和R(G)i分別替換pbest(i)和R(G)pbest。同理，將R(G)i和粒子群的全局最優值R(G)gbest進行比較，如果 R(G)i>R(G)gbest，用 Xi和 R(G)i分別替換gbest和R(G)gbest，分別找出各個粒子的個體最優值和粒子群的全局最優值。

Step3：若某粒子對應的魯棒性等于全局最優值時，對粒子進行重新賦值，以避免陷入局部最優解。

Step4：根據速度迭代式（7）產生新的速度，用式（8）更新各粒子的位置，然后對每個粒子中的元素進行排序，取最大的Ng個元素賦值為1，其余賦值為0。

Step5：檢查是否達到最大迭代次數，如果沒有達到，轉Step2；否則，轉Step6。

Step6：輸出最優解，畫出對應的迭代曲線圖，程序結束。

基于負荷均衡的受限粒子群算法介紹如下：上文提出的粒子群優化策略僅考慮提高配電網在相繼故障下的魯棒性，并不關注實際配電網性能方面的需求。實際上，提高配電網魯棒性可能會影響配電網供電性能。因此，對于配電網而言，在提高魯棒性的同時保證供電性能更具實際意義。本文進一步考慮用戶負荷平衡這一重要性能指標，在粒子群優化策略中加入節點負荷平衡相關的約束條件，使得魯棒性提高的同時，節點負荷平衡也滿足一定的要求。在基于負荷均衡的受限粒子群算法中，首先通過實驗的手段測量魯棒性優化過程中節點負荷方差變化的范圍，并求取其期望值，然后在選擇個體最優解時判斷節點負荷方差是否超過其期望值。如果超過期望值，則設定其不能作為個體最優解。

網絡中節點i的負荷用qi表示，節點負荷的期望為

對應的負荷方差為

5 仿真實驗與分析

5.1 基于度和介數的電源選址仿真與分析

本文采用Matlab進行仿真實驗，分別對IEEE 37-bus Feeder，IEEE 123-bus Feeder，IEEE 342-bus Feeder等配電網絡數據[18]進行實驗。實驗中，為了消除其它因素對網絡魯棒性的影響，我們將發電節點的電壓設置為1（標幺值），消費節點的電流設置為1（標幺值），傳輸線路的導納設置為11（標幺值）。考慮到經濟費用和安全裕度通常非常有限，在下面的仿真實驗中設定α=0.5，β=0.2。三個網絡中發電節點的個數Ng分別設為4，12和30。實驗中采用三種貪婪選址方法：

1）隨機選址：每個網絡隨機選取一組發電節點集合，計算其在相繼故障條件下的魯棒性。

2）度選址：每個網絡中選出度值最大的一組節點作為發電節點集合，計算其在相繼故障條件下的魯棒性。

3）介數選址：每個網絡中選取介數最大的一組節點作為發電節點集合，計算其在相繼故障下的魯棒性。

每一種選址方法都獨立重復100次，并取平均結果，如圖1所示。實驗結果表明，選擇度值大的節點集合和介數大的節點集合作為配電網的發電節點時，網絡的魯棒性比隨機選擇發電節點對應的魯棒性更高。介數和度值是刻畫網絡中心性的重要指標，當發電節點位于更好的中心位置時，消費節點能夠更容易訪問到發電節點。當級聯故障發生時，網絡將會分裂成許多子圖，含有發電節點的子圖可能包含更多消費節點，而不含發電節點的子圖消費節點也更少。因此，故障造成的失效節點將會更少，網絡的魯棒性更高。進一步，通過對比分析發現不同網絡結構的魯棒性提升程度不盡相同。值得一提的是，實驗中我們發現大多數情況下基于介數的方法優于基于度的方法，僅在一些特殊的參數下后者有可能優于前者。

圖1 不同貪婪選址方法下配電網魯棒性的比較Fig.1 The comparison of robustness of distribution networks for different greedy location selection methods

5.2 粒子群算法仿真實驗與分析

這里以IEEE 123-bus Feeder網絡[18]為例進行仿真實驗。網絡魯棒性隨粒子群算法迭代次數的變化如圖2所示。首先使用基礎粒子群算法優化配電網的電源選址，同時計算每一次迭代對應的電網節點負荷的方差。粒子總數設為S=10，認知系數c1=0.7，社會學習系數c2=0.7，慣性系數w0=0.96。實驗結果如圖2中的虛線所示。

圖2 網絡魯棒性隨粒子群算法迭代次數的變化Fig.2 The change of network robustness with the increasing of itera?tion times in the particle swarm optimization algorithm

可以看出，網絡魯棒性隨著粒子群算法迭代次數的增加而不斷升高，并最終趨于平穩。通過與圖1的結果進行對比得出，基于粒子群的優化方法比基于度和介數的貪婪選址方法得到的網絡魯棒性更高。但是，粒子群算法的計算代價較高，并且隨著迭代次數不斷增加。因此，其擴展性比貪婪選址方法要差。此外，值得一提的是，粒子群算法的初始解不同可能得到不同的優化結果。理論上，粒子數越大，迭代次數越多，優化結果更好。

進一步采用受限粒子群算法優化配電網的電源選址。實驗參數與基礎粒子群算法相同。結果如圖2中實線所示。可以看出，受限粒子群算法對應的曲線變化趨勢與基礎粒子群算法類似，但是前者比后者收斂更快。換言之，受限粒子群算法比基礎粒子群算法的優化效率更高，能夠更高效地改善配電網的魯棒性，并且能夠保證節點負荷的平衡性。需要指出的是兩種粒子群算法的時間復雜度相同。

6 配電網拓撲結構對魯棒性的影響

對于電源選址問題，不同的配電網優化的效果不同。因此，一個有趣并且重要的問題是配電網拓撲結構對選址方法實際效果的影響。由于配電網拓撲結構具有無標度特征，本文利用無標度網絡模型模擬配電網拓撲。

無標度網絡常用模型為BA模型和Price模型。本文采用Price模型，因為Price模型的優點是可以調節冪律分布指數，從而可以調節網絡的異質性。

利用復雜網絡理論中的Price無標度網絡模型生成電網拓撲結構，具體生成步驟如下[13]：

1）給定一個具有m0個節點的初始強連通網絡。把每一條邊所指向的節點的編號添加到數組Array中。

①生成一個完全隨機數r，r∈[ ]0,1。

②如果r≥p，那么就完全隨機地在數組Array中選擇一個元素。

③如果r

④執行步驟①～③m次后（避免重復選取節點），把m個節點的編號添加到數組Array中，并把新加入節點和選定的節點兩兩相連。

該模型生成的無標度網絡平均度為2m，冪律指數為2+a∕m。基于該模型，生成節點數N=118的配電網拓撲結構，并設定發電節點個數Ng=14。首先，固定網絡平均度為4，而改變冪律指數。電源選址方法采用基于度和介數的方法。實驗結果如圖3所示，每個數據點均為100次獨立實驗后求平均的結果。

從圖3中可以看出，配電網魯棒性增長百分比隨著冪律指數的增加呈現先增加后減小的趨勢。存在最佳的冪律指數（在3.2附近）使得選址方法的效果最好。冪律指數增加，意味著網絡異質性減弱。當冪律指數較小時，網絡節點度分布極不均勻，并且度值或者介數較大的節點集中在網絡的局部區域。將這些節點作為發電節點會導致發電節點分布過于集中，容易同時受到網絡攻擊，而一旦受到攻擊，這些節點會與其它節點斷開，使得很多攻擊后的子圖沒有發電節點，導致總的失效節點過多。所以，隨著冪律指數的增加，網絡異質性減弱，度大的節點變得相對分散，網絡魯棒性增長百分比逐漸增大。當冪律指數大于3.2時，網絡結構變得過于均勻，使得節點的度或者介數區分度變小，從而基于度和介數的選址方法的效果隨著冪律指數的增加而變小。以上兩種因素的折中導致了存在最佳的冪律指數，使得網絡魯棒性增長百分比最大。該結果也從側面說明配電網拓撲結構對其魯棒性具有重要影響。此外，可以看出基于度和介數的兩種選址方法對應的曲線幾乎重合。通過進一步實驗發現，Price模型生成的網絡結構中介數較大的節點對應的度值也較大。因此，這兩種選址方法得到的電源位置幾乎相同。在此情形下，基于度的選址方法比基于介數的選址方法更優，因為前者的計算代價遠小于后者。

圖3 配電網魯棒性增長百分比隨冪律指數的變化Fig.3 Robustness growth percentage vs.power-law parameter of distribution networks

7 結論

配電網中發電節點位置選擇一直是一個熱點問題。本文首次從配電網的魯棒性角度入手，借助于復雜網絡理論研究電源的有效選址方法，以提升配電網對級聯故障的魯棒性。提出了基于度值和介數選擇發電節點位置的方法，并通過仿真實驗驗證了方法的有效性。為了得到最優的發電節點的位置集合，運用粒子群算法并結合0∕1背包問題的思想進行優化求解，通過實驗證明了算法的有效性。進一步考慮節點的負荷平衡，給出了一種受限粒子群算法。該算法提升了粒子群的優化效率，并且能夠保證一定的負荷平衡性能。最后，借助于無標度網絡模型研究了配電網拓撲結構對選址方法效果的影響，發現選址方法的效果隨著網絡異質性的減弱，呈現先增加后減小的趨勢，即存在最佳的網絡結構使得選址方法的效果最優。