雙星編隊構形保持抗干擾容錯控制

陳高杰 ，常 琳 ，楊秀彬 ，楊春雷 ，黎艷博

（1. 中國科學院長春光學精密機械與物理研究所，吉林長春130033；2. 中國科學院大學，北京 100049；3. 中國科學院天基動態快速光學成像技術重點實驗室，吉林長春130033）

1 引 言

衛星編隊憑借其可靠性高、靈活性強、適應性廣的特點，擁有極高的應用價值，已經被廣泛應用于科學實驗、近地觀測、深空探測、干涉測量等諸多領域［1-4］。衛星工作于真空失重狀態，長期受到強輻射及高低溫等惡劣空間環境的影響，并且衛星自身元器件工藝水平、老化磨損均會導致執行器發生故障。若衛星發射入軌后發生故障，一般難以修復，需要使用星上冗余元器件保證衛星繼續工作。但受到衛星研發和發射成本的限制，難以在衛星系統上安裝過多元器件，另外，衛星運行過程中，受到地球質量分布不均和非球形、日月三體引力、大氣阻力、太陽光壓等影響，導致編隊構形發生變化，故需設計合理的故障估計以及容錯控制策略，進行構形保持控制，以提高衛星編隊系統的可靠性和安全性［5］。

針對故障估計與容錯控制，眾多學者進行了大量研究，其中一些方法已廣泛應用于衛星編隊軌道控制系統［6-8］、航天器姿態控制系統［9-11］、無人機飛行控制系統［12-13］及電力電子控制系統［14-15］等領域。文獻［6］為解決碰撞避免、障礙規避的問題，設計了結合勢函數制導方法的滑模協同控制策略，同時在所提控制算法中引入自適應律，提高了執行器故障容錯控制、參數自適應能力，使航天器編隊在進行目標跟蹤和構形保持的同時，防止編隊航天器間碰撞并具備躲避障礙物的能力。文獻［16］基于H∞最優理論和矩陣奇異值分解技術，使用分散狀態反饋方法，對衛星軌道保持系統進行容錯控制研究，提出了允許執行器故障和傳感器故障的兩種分散控制方法，在保持故障系統漸近穩定的同時，使控制性能在H∞范數意義下達到次優。文獻［17］設計了非線性增廣觀測器，此觀測器考慮多種故障形式，而不局限于常值或緩變故障，進一步針對一般情況下的系統，設計了魯棒增廣觀測器，可以進行更精確的故障估計，且適用于多個故障并發情況。文獻［18］針對推進器堵塞或關閉等故障情況，提出基于H∞/H-的濾波器的故障估計方案，仿真表明，該濾波器在航天器存在測量噪聲、測量延遲、傳感器失調的情況下，能夠進行故障的精確診斷，并隔離故障。文獻［19］通過故障辨識模塊和輔助系統模塊進行故障估計，通過反步容錯控制方法，使編隊存在拓撲故障、舵面故障、執行器故障和不確定性的情況下，依然可以使編隊穩定飛行。另外，編隊衛星長期在軌運行，可能發生故障的同時，亦會受到多種內部或外部攝動干擾的作用，這些干擾均會嚴重影響編隊衛星正常軌道運動，導致衛星編隊實際構形偏離預設構形［20］。然而，少有文獻綜合考慮包括模型誤差、衛星故障以及外部干擾等在內的安全問題，并且當此類飛行要求與設計的構形保持控制目標相結合時，將進一步增加控制器的設計難度［6，17］。

故本文在對衛星編隊系統進行故障估計的基礎上，考慮未知擾動及系統模型參數不確定性，對衛星編隊進行抗干擾容錯控制研究。首先設計可以綜合估計系統模型誤差、外部干擾以及執行器故障的觀測器系統，對系統未知信息進行估計，另外在觀測器設計時，加入殘差微分模塊，提高估計準確度。然后基于相關估計信息，引入H∞方法，減弱不可建模干擾部分對系統的影響，設計閉環反饋抗干擾容錯LQR 控制策略。最后仿真結果表明，所提基于觀測器的控制策略具有更精確的控制性能。

2 衛星編隊動力學模型

2.1 坐標系定義

2.1.1 地心赤道坐標系（慣性坐標系）Oe-XiYiZi

坐標系原點Oe為地心，以赤道面作為基準面，Xi軸指向春分點，Yi軸在軌道面內由Xi軸向東轉90°，Zi軸垂直赤道面指向北極。

2.1.2 參考星質心軌道坐標系（相對運動坐標系）O-XoYoZo

坐標原點O位于參考星質心，Xo軸與參考星地心矢量rm重合，Yo軸在參考星軌道面內垂直于Xo軸并以指向參考星運動方向為正向，Zo軸和Xo，Yo軸構成右手系。坐標系示意圖見圖1。

圖1 坐標系示意圖Fig.1 Coordinate system schematic diagram

2.2 相對運動動力學模型

雙星編隊由參考星和跟隨星組成，兩星沿飛行方向相隔一段距離，以設計構形運行于同一太陽同步軌道上。假設衛星運動軌道為圓軌道，將兩顆衛星均視為質點，采用經典C-W 方程相對運動動力學模型［21］表示：

其中：x，y，z分別為兩星相對距離沿X軸，Y軸，Z軸分量，n為參考星軌道角速率。

考慮對編隊衛星進行控制的情況，相對運動方程組（1）可轉化為方程組（2）：

其中，μx，μy，μz分別為控制力在軌道坐標系下的 3個坐標軸分量。

由式（2）可得系統狀態空間方程：

其中：狀態變量χT(t)=[x y z x˙y˙z˙]T表示三軸相對位置和速度，輸出變量ζT(t)=[x y z]T表示傳感器測量值；A，B，C矩陣取：

此外，考慮參數攝動、外部擾動、執行器故障等模型不確定因素，則雙星編隊控制系統可描述為：

其中：f(t)表示執行器故障；ω(t)表示外部擾動變量，如空間干擾力；Φ(t)表示因參數攝動、外部擾動等引起的等效未知干擾向量；ΔA表示由地球質量分布不均和非球形、日月三體引力、大氣阻力、太陽光壓等參數不確定導致的攝動矩陣，且滿足ΔAχ(t)=Dd1(t)+Δ，其中D表示具有參數攝動結構信息的已知矩陣，d1(t)和Δ 分別表示具有參數攝動能量信息的可建模干擾與不可建模干擾。

基于上述模型，給出以下假設：

假設1.故障范數有界且可微，滿足‖f(t) ‖≤η1，其中η1與η2為有界正實數。

假設2. 外部干擾具有如下形式：

其中：Ddd2(t)= Δ+ω(t)，Dd表示干擾分布矩陣，d2(t)表示不可建模干擾，如隨機噪聲、模型不確定性。假設d2(t)是范數有界的，同時，可建模干擾d1(t)可等效為以下外系統的輸出：

其中：ρ(t)表示外系統的狀態，HA和HC是具有適當維數的已知矩陣。

假設3. 系統（4）能控且能觀。

系統（4）可轉化為如式（7）的形式：

3 觀測器設計

本節主要給出自適應觀測器的設計方法及存在條件，進行穩定性與魯棒性分析，同時給出其證明過程，以及求解觀測器設計參數的LMI（線性矩陣不等式）算法。

3.1 自適應觀測器設計

基于系統（7），設計如式（8）所示的自適應觀測器：

其中：L為觀測器增益，F1與F2為故障估計權重，G1與G2為干擾估計權重，以上均為待設計參數變量表示估計狀態表示估計輸出，表示估計故障表示外系統（6）估計狀態。

定義如下變量：

其中：eχ(t)表示狀態估計誤差，eζ(t)表示輸出殘差，ef(t)表示故障估計誤差，eρ(t)表示外系統（6）狀態估計誤差，ed(t)表示干擾估計誤差。

由系統（7）和觀測器系統（8），可以得到動態誤差系統：

將系統（10）增廣為如式（11）的形式：

對于任何F2C和G2C，均為非奇異矩陣，則系統（11）可轉化為：

對系統進行Laplace 變換，可以得到系統動態誤差：表示估計干擾

注1.對系統（8）中的自適應律進行積分，有：

其中：ts為系統未發生故障時的某一時刻，在不考慮外擾等條件下有eχ(ts)=0。此時故障估計器與干擾估計器均包含比例與積分兩個模塊，相較于常規的自適應算法，增加的比例單元，一方面增加了算法設計的自由度，另一方面也能有效提高故障與干擾估計的快速性和精度，這在后文仿真對比實驗中得到驗證。

首先給出本文要用到的一些引理。

引理1. 存在對稱正定矩陣P使得對滿足βTβ≤υTCTCυ的所有υ≠ 0 和β，有：

成立當且僅當存在標量τ，使得：

其中：符號A S表示A+AT，*表示該矩陣的對稱元素。

引理2. 給定矩陣A，A的全部特征值均位于圓形穩定域C(c，r)，其中c與r分別為圓形穩定域的圓心與半徑，當且僅當存在正定對稱矩陣P，使得：

3.2 穩定性與魯棒性分析

為設計觀測器增益矩陣L，權重矩陣F1，F2，G1，G2使所提魯棒自適應觀測器能夠快速精確地系統模型誤差、外部干擾以及執行器故障，給出如下定理。

定理1. 考慮系統（7）、觀測器系統（8），如果存在觀測器增益L，故障估計權重F1與F2，干擾估計權重G1與G2，常數α＞ 0，ε＞ 0，當且僅當存在對稱正定矩陣P，矩陣Y，使得：

證明：由于是非奇異的，對于對稱正定矩陣P而言，易知矩陣也一定是對稱正定的。可選取Lyapunov 函數為：

顯然，V(t)是正定的。首先，討論當=0時系統（12）的穩定性問題。求式（20）對時間的導數，有：

當式（22）滿足時，系統（12）是漸近穩定的，狀態估計誤差eχ(t)，故障估計誤差ef(t)和干擾估計誤差ed(t)漸近收斂于0。

參考H∞性能指標，有：

則在零初始條件下，有：

能夠保證式（27）的成立：

且存在T＞ 0，對于任意t＞t0+T，有：

這表示動態誤差系統是漸近穩定的，且系統狀態、故障、干擾的估計誤差eˉT(t)最終一致有界。

由 Schur 補引理，式（25）可轉化為如式（29）等價形式：

其中條件（29）的滿足隱式地保證了條件（22）也成立。

給定圓穩定域C(c，r)，由引理 2，存在對稱正定矩陣有：

對式做合同變換，得到：

得證。

4 抗干擾容錯反饋控制策略

針對衛星編隊構形保持控制系統，常用的控制方法主要有：LQR（Linear Quadratic Regulator）最優控制、滑模變結構控制、李雅普諾夫控制等方法。其中，LQR 最優控制形式簡潔，方便設計而且物理意義明確，因此本文采用LQR 方法進行衛星編隊構形保持容錯控制，并結合故障估計、干擾補償項來減小控制誤差，提高控制精確度，控制系統結構圖見圖2。

二次型指標最優性能指標函數如式（32）所示：

圖2 閉環控制框圖Fig.2 Close-loop of satellite formation control system

其中：Q為半正定對稱矩陣，表示狀態x權重，影響控制過程中響應速度，R為對稱正定矩陣，對控制能力的要求，決定控制過程中能量消耗，u0為控制輸入。

根據最優控制理論，反饋控制律是：

其中K為最優反饋矩陣，求解Riccati 微分方程：

得最優矩陣反饋矩陣K：

其中，P為Riccati 微分方程的唯一解。

設計如下基于觀測器的動態輸出前饋補償容錯抗干擾控制器：

其中，Kd由式（37）給定：

滿足BKd=D，其中Z是適當維數的任意矩陣，B+表示矩陣的Moor-Penrose 逆矩陣。

5 仿真實驗分析

為了驗證本文所提方法在雙星編隊構形保持控制的有效性，本節進行仿真分析。為便于分析，假設參考星、跟隨運行于圓軌道，進行協同遙感拼接成像任務，相較于單星遙感成像方式，雙星拼接寬幅成像方式使用多顆衛星對相鄰區域進行觀測，使用圖像拼接技術，可以獲得超寬幅圖像。使用LQR 控制器進行精確相對位置控制，使雙星編隊從初始構形恢復至期望構形。

極點配置取O(-30，29)，由定理 1 得到觀測器設計參數：觀測器增益矩陣L取：

故障估計權重矩陣F1與F2取：

干擾估計權重矩陣G1與G2取：

假設衛星編隊系統在軌飛行過程中，受到的外部干擾d1(t)、d2(t)影響，其中，d1(t)為可建模干擾，d2(t)∈ [-1，1]，表示在 0～20 s 區間內的隨機干擾。假設干擾的分布矩陣為：

外部干擾系統（6）參數矩陣：

執行器故障設計如下，同時考慮了無故障（x軸）、間歇性故障（y軸）、時變故障（z軸）三種情況：

其他相關參數選取見表1。

表1 控制器仿真參數設置Tab.1 Controller simulation parameters setting

根據上述條件，仿真結果如圖3～圖5。

圖3 x 軸控制效果Fig.3 x-axis control effect

圖4 y 軸控制效果Fig.4 y-axis control effect

圖5 z 軸控制效果Fig.5 z-axis control effect

圖3～圖5 表示控制效果，從圖中可以看出，在存在系統模型誤差、外部干擾以及執行器故障的等復雜太空環境下，使用本文提出的基于觀測器的容錯控制方法，可以快速使編隊恢復預設構形，并在較短的時間內使系統達到穩態，且構形恢復過程較為平穩，震蕩較小且幾乎沒有波動。

圖6 x 軸干擾估計Fig.6 x-axis disturbance estimation

圖7 y 軸干擾估計Fig.7 y-axis disturbance estimation

圖8 z 軸干擾估計Fig.8 z-axis disturbance estimation

圖6～圖8 表示干擾估計情況，從圖中可以看出，本文設計的干擾觀測器可以對外部攝動干擾進行估計。

圖9 表示狀態估計情況，從圖中可以看出，狀態跟蹤誤差保持在較小范圍內，能夠實現對狀態的跟蹤。

圖9 狀態估計誤差Fig.9 State estimation error

圖10 y 軸間歇故障估計情況Fig.10 y-axis intermittent fault estimation

分別在x軸、y軸、z軸添加無故障模塊、間歇性故障模塊、時變故障模塊，圖10～圖11 分別表示故障觀測器對故障的估計情況，圖中表明，文獻［23］和本文提出的觀測器均可以對故障進行估計，但相對文獻［23］提出的觀測器，本文提出的觀測器對故障估計更為精確，性能有明顯提高。

圖11 z 軸時變故障估計情況Fig.11 z-axis time varying fault estimation

圖12 表示系統存在模型誤差、外部干擾以及執行器故障的情況下，以y軸控制效果為例，分別使用文獻［22］提出方法、文獻［23］提出方法以及本文提出方法，結合LQR 控制器，并加入前饋補償項，對系統進行反饋容錯控制，仿真結果表現，在使用文獻［22］所提方法，即無干擾觀測器時，系統具有十分明顯的波動，難以達到穩態，說明H∞技術無法抑制全部干擾；使用干擾觀測器情況下，控制效果得到改善，相比文獻［23］所提方法，由于本文提出的觀測器對模型誤差、故障和干擾進行估計時，引入殘差微分模塊，并在容錯控制時加入前饋補償項，超調量明顯降低，控制器精度提高了49.93%，能夠滿足雙星編隊精確構形保持控制目標。

圖12 控制效果對比Fig.12 Control effect comparison

6 結 論

本文對雙星編隊執行器故障估計的同時，考慮空間環境干擾的復雜性及軌道運動建模誤差的影響，設計了一種可以綜合估計系統模型誤差、外部干擾以及執行器故障的增廣觀測器系統。另外，引入了殘差微分模塊，提高估計速度和準確度，采用了H∞方法，減小干擾中不可建模部分對控制系統的影響。最后，利用觀測器對系統未知狀態的估計信息，設計閉環反饋抗干擾容錯LQR 控制律，并使用Lyapunov 穩定性理論證明了控制系統的穩定性。仿真結果表明，本文方法的控制精度提高了49.93%，證明了所提方法的有效性與優越性。