二進制數字編碼過程中的計算思維

陳凱

在信息技術教學內容中，在講到將十進制數轉換成二進制數字的方法時，常會介紹“除二取余”法，簡單來說，就是將某十進制數不停地除以2并得到余數，若把所有余數按生成次序反向列出，即可得到某十進制數字所對應的二進制數。至于為什么采用這樣的方法，解釋起來卻有些麻煩，盡管可以說明這個過程其實是二進制數轉十進制數的逆方法，但似乎很多人對逆向過程的領悟力遠遜于正向的過程。筆者在研究后，將十進制數轉換成二進制數的過程設計成了一個項目活動，試圖讓學生通過游戲體驗和創意設計的過程，理解為什么能用“除二取余”法進行二進制數字編碼，并能領會計算思維的方法在解決問題中所發揮的獨特作用。

任務一：撕紙游戲

在一張紙條上均勻地畫上標記，之間留出一定空白：# # # # # # # # # # # # #。將紙對折，如果折痕經過#號，則將此#號撕下，放在一邊，與此同時，紙條被撕成兩半，留下一半扔掉另一半;如果折痕經過的是空白處，則將此空白撕下，放在一邊，被撕成兩半的紙條同樣留下一半扔掉另一半。13個#號的操作過程依次如表1所示（表中用下劃線表示空白）。將最后結果中的#號看成1，空白看成0，便得到了13所對應的二進制編碼的數字1101。

該任務的作用有兩點：其一，將“除二取余”的數學運算過程轉化成了一系列的操作動作，這樣就將一個運算過程以機械化的形式展現出來;其二，揭示出數學上的“除二取余”和另一種過程是等價的：首先判斷數字是奇數還是偶數，如是奇數，則取出1后再對其除以2，如是偶數，則取出0后再對其除以2。反復執行此操作，即可實現二進制數字的編碼。這種對數據執行某種操作，并且對執行操作后得到的結果數據繼續執行該操作的方法，就是一種迭代。等到該任務完成后，學生可以更直觀地體會到，一個機械性的重復操作過程是如何用于解決數學問題的，但到目前為止，學生未必能領悟能通過這種方法，將十進制數字轉換為二進制編碼數字的原因。

任務二：湊數游戲

列出1、2、4、8、16等十進制數字序列（后一個數總是前一個數的兩倍），同時列出每個數字對應的二進制數（后一個二進制數字總比前一個數字末尾處多一個0），注意二進制數前，用0補齊位數，列表如下頁表2所示。

這樣，就可以用湊數的方法來找出特定十進制數所對應的二進制數，如13可以湊成1+2+8，那么只要將1、2和8對應的右側的二進制數疊加起來，就得到了13的二進制數的編碼，相信很多教師都在課堂中講解過這種方法，這里就不贅述了。但其實可以借助表2來為最終解釋二進制數的編碼問題提供重要的線索：任意一個偶數，其實都是另一個數字的兩倍，在二進制數中，在某數后跟一個0，則得到原數的兩倍。任意一個奇數，其實都是另一個數字的兩倍加上1，在二進制數中，在某數后跟一個1，則得到原數的兩倍加1。相信這些都很容易被理解。

任務三：推理游戲

活動進展到這里，就已經掌握了揭開“除二取余”法之所以有效的原因的所有線索，依靠純粹的推理就能完成將某十進制數轉換成二進制數的過程，仍然用十三（這里用中文來避免煩瑣的不同進制數字格式的寫法）來舉例。

由于十三是奇數，那么在二進制數字中，它一定是某數后跟上1而形成的：（某數）1。

雖然不知道括號里某數的二進制形式是什么，但可以肯定的是，這個數字是十進制數六，因為只有六的兩倍加1才是13：（六）1。

這個六顯然是偶數，那么在二進制數字中，它一定是另一個某數后跟上0而形成的，這里的另一個某數只可能是三：（（三）0）1。

接下去推理過程是類似的，繼而得到：

（（（一）1）0）1）

然后得到：

（（（（零）1）1）0）1）

就算是再往下做，也只是得到更多的零而已，所以可以規定，當出現中文的“零”時，則結束推理過程。實際上，人腦所做的推理過程，計算機也一樣能做到，對于計算機來說，這種方法叫做遞歸。到這里就解釋了利用“除二取余”得到二進制編碼的數字的原因，可以和第一個撕紙游戲遙相呼應起來。同時，這種對數據反復執行操作的方法，也能和后續算法模塊中的內容建立起關聯，即便不講遞歸，也能借助循環嵌套分支結構的程序代碼，來實現將十進制數字編碼為二進制數字的過程。

任務四：創意設計

人類掌握知識和技能的目的是建設和改造世界，既然學生們已經領悟了將十進制數編碼為二進制數字的方法，那么，就充分鼓勵大家將自己學習的成果運用到實踐中去吧。

相對于掌握“除二取余”法，更具綜合性、更能體現自主創造性的任務，是設計出一個系統或裝置來實現類似于“除二取余”的功能，大家可能會想，當教學內容講到二進制編碼的時候，學生極有可能尚未學習算法和編程，更遑論迭代和遞歸了。然而，即便不用程序設計的知識和技能，也一樣有辦法設計出各種有趣的插電的或不插電的、自動化的或半自動化的系統或裝置（考慮到課時和可用器材上的限制，也可以僅僅讓學生繪制出某個裝置的設計方案），來實現這樣的功能，并讓學生在設計過程中體會計算思維的作用。當然，為了提高教學效率，教師需要給出一些啟發和提示。

下面是筆者設計的難度不一的幾個例子，限于篇幅，這里只簡單說明這些系統如何實現二進制數字編碼的大致思路，這樣也給各位讀者留下思考的空間。

1.齒輪計數

圖1是一個半自動化的簡單裝置，底下的齒輪有10個短齒和5個長齒，只有長齒可以撥動上部的齒輪。長齒左側寫0，右側寫1。上部齒輪周圍均勻列出0到13刻度值，默認指針指向刻度0。該裝置工作過程以13為例，用手輕輕撥動下部短齒13次，則上部齒輪指針指向6，同時下部齒輪指向上部齒輪的刻度值為1，記錄下6和1，其中6是下一輪操作的撥動次數，而1是二進制編碼的一部分。然后用手輕輕撥動下部短齒6次，則上部齒輪指針指向3，同時下部齒輪指向上部齒輪的刻度值為0……以此類推，就能得到13所對應的二進制編碼的數字。

2.字符串替換系統

用若干個*號代表數字，用“.”來代表字符串結尾，然后多次利用記事本的“編輯—全部替換”功能，生成該數字所對應的二進制編碼，在替換規則中可用到其他字符。為了便于自動化過程的實現，要求對于任何數字，也就是任何數量的*號，“編輯—全部替換”的規則和順序都是一樣的，允許多次批量操作一系列的替換動作。舉例說，如設置替換動作為A、B、C、D，則可多次重復進行A、B、C、D操作，但不能在操作過程中臨時修改替換規則，也不能多出某一條規則成為A、B、C、D、E或去除掉某一條規則成為A、B、D。

實現任務的方法不是唯一的，如反復執行以下替換規則就可以實現二進制編碼：A.將**替換成#;B.將#.替換成#.0;C.將*.替換成.1;D.將#替換成*。

大家可以用13來測試一下，初始字符串是*************.（注意字符串最后的點）。最后得到的字符串是：.1101。

可以看出，以上替換過程其實還是用了“除二取余”的方法，對于任何個數的*號，都可以用完全一樣的規則來實現生成二進制編碼數的操作，唯一的區別就是批量進行替換操作的次數。如果使用像Notepad++這樣帶有宏功能的文本編輯器，就更能展現出自動化的替換操作的優勢。

3.數字電路系統

圖2展示的是一個用“除二取余”法實現半自動化二進制數編碼的數字電路裝置，可以用Logisim模擬器進行互動的模擬操作。雖然看上去線路有點多，但其實只用到了若干異或門來做奇偶判斷，一個計數器來實現除二的操作，兩個移位寄存器來實現數據存儲，其原理并不復雜。在實際教學中，可由教師給出這個裝置，然后讓學生通過互動實驗，自行摸索出操作方法。

圖2中演示了對數字9進行二進制編碼的初始階段，首先，記錄右下側輸出（圓形標志）數據為1，然后將“讀數和運算切換開關”切換為“01”表示開始運算，連續點時鐘信號38次（真正的電路中，時鐘信號當然是自動發出的），再將“讀數和運算切換開關”切換為“10”表示開始讀數，連續點時鐘信號2次，記錄右下側輸出數據……以上過程反復執行，即可得到數字9所對應的二進制編碼的數字。由于點擊的數量和順序都是固定的，所以可以看出這個電子裝置具有進一步擴展的能力，如能為其補充一個外圍控制電路，便可使之全自動化地實現二進制編碼工作。

本文提供的例子，對于如何以培養計算思維的目的設計項目活動給出了一個有啟發性的思路：某些問題的解決工具在功能上是受到限制的，該問題的解決是通過重復批量執行某一些規定步驟才得以實現的，而執行過程中的具體步驟，又可以和某機械裝置或電子電路裝置中的狀態變化進行對應，這樣，就使得這個項目活動蘊含與計算思維有關的抽象化、形式化、自動化的特征。