弱耦聯(lián)體系地震響應(yīng)的隔離分析求解

文嘉意，謝 強(qiáng)

(同濟(jì)大學(xué)建筑工程系，上海 200092)

弱耦聯(lián)體系多見(jiàn)于能源電力領(lǐng)域，通常由若干支柱式設(shè)備以及連接它們的柔性連接件構(gòu)成，如圖1 中實(shí)例所示。由于近年來(lái)地震災(zāi)害對(duì)電力系統(tǒng)造成了較嚴(yán)重的損失[1-3]以及我國(guó)特高壓等重要電力設(shè)施在高地震烈度地區(qū)的廣泛建設(shè)[4-5]，弱耦聯(lián)設(shè)備體系的抗震研究日益受到關(guān)注[6-7]。

圖 1 弱耦聯(lián)體系實(shí)例Fig.1 Examples of weakly-coupled system

在建筑工程領(lǐng)域，目前有許多針對(duì)連體結(jié)構(gòu)、相鄰結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的研究[8-10]。弱耦聯(lián)體系雖在直觀(guān)上類(lèi)似于連體結(jié)構(gòu)，但其主要區(qū)別在于：1)研究表明，耦聯(lián)作用對(duì)體系地震響應(yīng)有明顯影響，不可忽略[11-12]。但柔性連接件約束作用弱，體系的結(jié)構(gòu)整體性差、整體振型不明顯[13]。地震作用下各設(shè)備的響應(yīng)仍由其自身動(dòng)力特性主導(dǎo)[14]。建筑結(jié)構(gòu)通常要求整體性良好，子結(jié)構(gòu)間具有協(xié)同性，一般在概念設(shè)計(jì)階段便回避了這一問(wèn)題；2)體系中設(shè)備與連接件材料的阻尼特性差異大。例如，圖1 中支柱設(shè)備通常為陶瓷或復(fù)合絕緣材料[15]，而連接件則為金屬導(dǎo)電材料。這意味著目前抗震計(jì)算中常用的比例阻尼[16](即通過(guò)整體質(zhì)量、剛度矩陣線(xiàn)性組合生成的阻尼矩陣)難以兼顧體系各部分的實(shí)際阻尼特性。

目前弱耦聯(lián)設(shè)備體系抗震基本沿用了建筑抗震規(guī)范中的通用計(jì)算方法[17-18]，即基于整體振型與比例阻尼的疊加法和作為補(bǔ)充計(jì)算的時(shí)程法。在采用前者進(jìn)行計(jì)算時(shí)，上述兩個(gè)問(wèn)題的存在有可能造成一定的系統(tǒng)誤差；而時(shí)程法由于弱耦聯(lián)體系體量較大且同一體系中設(shè)備、連接件的形式多樣，無(wú)標(biāo)準(zhǔn)構(gòu)型，建模與計(jì)算成本往往偏高。

目前有學(xué)者研究了考慮非比例阻尼的耦聯(lián)體系抗震計(jì)算方法，但其求解仍然依靠于體系的整體振型[19]。本文則從隔離體分析出發(fā)，充分考慮體系各子結(jié)構(gòu)自身動(dòng)力特性，并在頻域進(jìn)行求解，從而避免了對(duì)體系整體振型以及比例阻尼的使用。

1 基于隔離體的理論分析模型

1.1 整體求解思路

根據(jù)弱耦聯(lián)體系的結(jié)構(gòu)特征，理論分析基于如下幾條主要假定：

① 由于連接件彎曲剛度遠(yuǎn)小于支柱設(shè)備，因此連接件作用于支柱的彎矩忽略不計(jì)；

② 實(shí)際中的弱耦聯(lián)體系一般在兩個(gè)水平正交方向進(jìn)行布置。由于連接件柔度很大，難以傳遞體系的整體扭轉(zhuǎn)，因此本文理論模型忽略水平雙向地震的扭轉(zhuǎn)耦合作用，將空間體系在兩水平正交方向上拆解為平面結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算。實(shí)際應(yīng)用中，將不同方向上的地震響應(yīng)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行疊加即可；

③ 當(dāng)體系中支柱存在高度差或者非等張拉連接時(shí)，耦聯(lián)作用力將產(chǎn)生豎向分量。但一方面，由于弱耦聯(lián)體系中耦聯(lián)作用力以及連接件質(zhì)量均較小，豎向分量對(duì)工程中實(shí)際關(guān)注的水平地震響應(yīng)的影響可忽略。另一方面，由于本文在廣義線(xiàn)性框架內(nèi)構(gòu)建支柱以及連接件的隔離體運(yùn)動(dòng)方程，高度差以及非等張拉連接均不改變最終求解式的形式。因此為了表達(dá)的簡(jiǎn)潔性，本文按照等高度、等張拉連接這一實(shí)際中更為普遍的情況進(jìn)行理論建模與推導(dǎo)。

采用如圖2 所示的簡(jiǎn)化模型進(jìn)行理論求解。圖2 中第i 號(hào)支柱式設(shè)備(以下簡(jiǎn)稱(chēng)“支柱i”)的線(xiàn)密度與剛度分別為mi(y) 與EIi(y)，受到地震作用x¨ig(t)，其位移為υi(y,t)。因?yàn)楸苊馐褂媒Y(jié)構(gòu)整體振型，因此不直接建立整體結(jié)構(gòu)矩陣，而采用隔離體分析。支柱i 及其兩側(cè)連接件進(jìn)行隔離可由圖3 表示。

圖 2 弱耦聯(lián)體系理論計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.2 Analytical diagram of a weakly-coupled system

圖 3 弱耦聯(lián)體系隔離體圖Fig.3 Free-body diagram of a weakly-coupled system

對(duì)任意類(lèi)型的支柱以及連接件，上述作用力與支座激勵(lì)間必定滿(mǎn)足如下的映射關(guān)系：

式中，H (ω)為廣義傳遞矩陣，具有如式(5)所示的表達(dá)式(式中(ω)已省略)：

1.2 支柱隔離體分析

隔離后的支柱i 在如圖3 所示的支座激勵(lì)下，可利用結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)經(jīng)典彎曲梁動(dòng)力理論進(jìn)行推導(dǎo)，得到其頂端支座反力-位移控制方程為：

需要特別提到的是，振型函數(shù)φij(y)并非采用體系整體的結(jié)構(gòu)特性矩陣求得的整體振型，而是指圖3 中支柱i 隔離體的第j 階振型函數(shù)。而對(duì)廣義坐標(biāo)zij(t)，容易推導(dǎo)其滿(mǎn)足如下的運(yùn)動(dòng)方程：

圖 4 線(xiàn)性連接件傳遞函數(shù)示例Fig.4 Transfer functions of exampled linear connections

至此即完成了對(duì)支柱以及連接件隔離體力-支座激勵(lì)控制方程的推導(dǎo)，實(shí)現(xiàn)了式(3)的顯式化表達(dá)，理論上可對(duì)弱耦聯(lián)設(shè)備體系的地震響應(yīng)進(jìn)行求解。接下來(lái)通過(guò)實(shí)例對(duì)理論推導(dǎo)進(jìn)行驗(yàn)證。

2 弱耦聯(lián)設(shè)備體系實(shí)例驗(yàn)證

上面基于隔離分析，推導(dǎo)了弱耦聯(lián)體系地震響應(yīng)的解法。下面擬通過(guò)典型弱耦聯(lián)設(shè)備體系實(shí)例的振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)驗(yàn)證該解法，并與振型疊加法求解進(jìn)行對(duì)比，進(jìn)一步研究弱耦聯(lián)特性的影響。

2.1 試驗(yàn)對(duì)象及試驗(yàn)概述

試驗(yàn)對(duì)象為變電站常見(jiàn)的采用滑動(dòng)管母線(xiàn)連接的支柱絕緣子體系，如圖5(a)所示，并規(guī)定水平平面內(nèi)、外方向分別為X 向、Y 向，豎直方向?yàn)閆 向。兩支柱絕緣子安裝在兩個(gè)6 m×3 m 的振動(dòng)臺(tái)組成的臺(tái)陣上，間距為8.5 m。振動(dòng)臺(tái)包括兩個(gè)水平正交方向以及豎直方向上的三個(gè)自由度，輸入頻率范圍為0.1 Hz ～50 Hz。

圖 5 滑動(dòng)管母線(xiàn)連接的支柱絕緣子振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)Fig.5 Shaking table test of post insulators connected by slidable busbar

支柱1、2 結(jié)構(gòu)上完全相同，包括底部5 m 高的格構(gòu)式鋼支架(Q235 材質(zhì))以及上部五段復(fù)合材料絕緣子(實(shí)心圓截面，直徑280 mm)。每段絕緣子均由兩側(cè)金屬法蘭以及中間雙層玻璃鋼芯棒組成。芯棒內(nèi)、外兩層玻璃鋼彈性模量分別為53.95 GPa、15.63 GPa，結(jié)構(gòu)總高度為17.27 m，總重為4055 kg。支柱在頂端通過(guò)金具與滑動(dòng)管母線(xiàn)連接。另外，為了模擬電氣元件等非結(jié)構(gòu)構(gòu)件的慣性作用，支柱1、2 頂部分別附有集中配重198 kg、147 kg。

滑動(dòng)管母線(xiàn)為空心鋁制圓管(φ 300×12 mm)，重347 kg，其左側(cè)與支柱1 頂端固定，右側(cè)與支柱2 頂端之間采用如圖5(b)所示的滑動(dòng)金具連接。滑動(dòng)金具為一鋁制圓環(huán)，安裝時(shí)管母線(xiàn)自由插入，與圓環(huán)之間無(wú)預(yù)緊及嵌固。這樣的連接方式僅約束Y 向、Z 向運(yùn)動(dòng)，管母線(xiàn)可沿X 向自由滑動(dòng)，因此實(shí)際連接剛度遠(yuǎn)小于管母線(xiàn)截面剛度，為典型柔性連接。滑動(dòng)管母線(xiàn)在如圖5(b)所示滑動(dòng)端伸出了1.3 m 的冗余距離，以保證其自由滑動(dòng)，不發(fā)生脫出。

主要通過(guò)試驗(yàn)加速度及位移響應(yīng)對(duì)本文解法進(jìn)行驗(yàn)證，因此在各段絕緣子端部均布置了三向加速度傳感器(圖5 中A1～A12)。由于試驗(yàn)對(duì)象高達(dá)17.3 m，難以通過(guò)位移計(jì)對(duì)位移進(jìn)行實(shí)測(cè)，因此通過(guò)實(shí)測(cè)加速度的逐步積分計(jì)算位移響應(yīng)。另外，在兩支柱根部均布置了應(yīng)變計(jì)測(cè)量絕緣子應(yīng)變響應(yīng)。

根據(jù)白噪聲掃頻結(jié)果，未連接管母線(xiàn)以及頂部配重的支柱在X 向、Y 向的前兩階頻率均為0.659 Hz 以及4.370 Hz。組成耦聯(lián)體系后，支柱1、2 在X 向基頻均為0.641 Hz，而二階頻率出現(xiàn)了差異，分別為4.311 Hz 以及4.143 Hz。在Y 向，兩支柱絕緣子前兩階頻率均為0.649 Hz 以及4.260 Hz。耦聯(lián)體系兩支柱X 向二階頻率的差異說(shuō)明在此頻率附近兩支柱的振動(dòng)并不協(xié)同，整體的二階振型響應(yīng)不明顯，體現(xiàn)了弱耦聯(lián)特性，因此主要從X 向響應(yīng)對(duì)理論計(jì)算進(jìn)行驗(yàn)證。

2.2 輸入地震動(dòng)

試驗(yàn)工況如表1 所示，輸入地震動(dòng)包括2 條天然波：El-centro 波、Taft 波以及1 條人工波。地震動(dòng)輸入前后均進(jìn)行了白噪聲掃頻測(cè)試。試驗(yàn)中振動(dòng)臺(tái)三向激振，以X 向(平面內(nèi)方向)為主振方向，峰值地面加速度(PGA)在X 向、 Y 向和 Z 向之比為1∶0.85∶0.65。試驗(yàn)強(qiáng)震工況下，X 向PGA 為0.4 g；強(qiáng)震工況前，在X 向PGA 大約為0.2 g 的水平下進(jìn)行了地震動(dòng)迭代輸入，以校準(zhǔn)振動(dòng)臺(tái)輸入?yún)?shù)。在2%阻尼比下，三條地震波X 向反應(yīng)譜以及電力設(shè)施抗震規(guī)范[15]給出的目標(biāo)譜如圖6 所示。為方便參考，耦聯(lián)體系中支柱1 的前兩階自振頻率也在圖6 中標(biāo)出。

對(duì)于地震波的選取，一方面由于試驗(yàn)支柱絕緣子的柔性較大，基頻在1 Hz 以下，地震動(dòng)中的低頻成分對(duì)其影響較大。所選人工波在平臺(tái)段以外的低頻區(qū)也能較好地覆蓋目標(biāo)譜。另一方面，耦聯(lián)體系在二階振型表現(xiàn)出弱耦聯(lián)的特點(diǎn)，Taft波以及人工波反應(yīng)譜在該二階頻率處均有明顯峰值，可充分考察弱耦聯(lián)特性。

表 1 試驗(yàn)工況Table 1 Scenarios of testing

圖 6 試驗(yàn)輸入地震波反應(yīng)譜Fig.6 Test response spectra of input ground motions

2.3 模型參數(shù)確定

注意到，1.3 節(jié)在建立連接件在頻域的力-位移控制方程時(shí)，對(duì)連接件提出了“線(xiàn)性或可等效為線(xiàn)性”這一先決條件。而滑動(dòng)管母線(xiàn)無(wú)法直觀(guān)判斷可否等效為線(xiàn)性連接，首先需要進(jìn)行驗(yàn)證。驗(yàn)證手段即通過(guò)試驗(yàn)中支柱的實(shí)際頂端位移以及耦聯(lián)作用力反推出二者在頻域的傳遞函數(shù)。如果其形式與圖4 中曲線(xiàn)一致，且能用式(14)的理論曲線(xiàn)進(jìn)行有效擬合，則說(shuō)明試驗(yàn)對(duì)象可等效為線(xiàn)性耦聯(lián)。同時(shí)，這一驗(yàn)證流程也可確定理論模型計(jì)算中所需參數(shù)。

雖然在試驗(yàn)中無(wú)法直接測(cè)量管母線(xiàn)作用力，仍可通過(guò)試驗(yàn)的加速度及應(yīng)變響應(yīng)近似計(jì)算出耦聯(lián)作用力。例如對(duì)支柱1，其根部彎矩M1(t)近似滿(mǎn)足：

對(duì)勻質(zhì)的線(xiàn)性連接件，容易證明：

圖 7 |的試驗(yàn)及理論計(jì)算結(jié)果Fig.7 Experimental and analytical results of

2.4 結(jié)果對(duì)比

在確定了模型參數(shù)后，采用本文方法計(jì)算體系的X 向地震反應(yīng)。計(jì)算得到的支柱頂端對(duì)地相對(duì)位移d 與試驗(yàn)結(jié)果擬合度高，例如圖8 展示了人工波輸入下本文方法計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的時(shí)程對(duì)比。

圖 8 人工波輸入下支柱頂部相對(duì)位移試驗(yàn)及理論結(jié)果Fig.8 Experiment and analytical relative displacement at top of post insulators with the artificial wave

同時(shí)，也采用基于整體振型的振型疊加法(以下簡(jiǎn)稱(chēng)“疊加法”)進(jìn)行了計(jì)算，計(jì)算除采用比例阻尼外其余模型參數(shù)均與本文方法相同。基于體系整體的前兩階自振頻率以及實(shí)測(cè)的1.5% 阻尼比，可求得比例阻尼參數(shù)。三條地震動(dòng)輸入下，本文方法與疊加法計(jì)算的支柱頂部相對(duì)位移誤差Δd 如圖9 所示。本文方法計(jì)算的誤差顯著小于疊加法，且誤差在整個(gè)地震持時(shí)內(nèi)都較為穩(wěn)定，無(wú)明顯突出。

圖 9 本文法與疊加法頂部相對(duì)位移誤差Fig.9 Errors of the relative top displacement with the proposed method and the superposition method

由于電氣設(shè)備對(duì)位移響應(yīng)十分敏感，因此需關(guān)注體系的最大位移。表2 列出了兩種計(jì)算方法下支柱頂部沿X 向(即平面內(nèi)方向)的最大相對(duì)位移和誤差。在所有情況下本文法結(jié)果均略高于實(shí)際；而疊加法結(jié)果則表現(xiàn)出系統(tǒng)性誤差，即任一地震輸入下均高估一支柱響應(yīng)而低估另一支柱響應(yīng)。尤其是Taft 波及人工波，最大誤差均超過(guò)-10%，在表2 中進(jìn)行了加粗表示。這主要是因?yàn)榀B加法無(wú)法考慮體系在二階振型處出現(xiàn)的弱耦聯(lián)特性，而圖6 中Taft 波以及人工波恰好在體系二階頻率處有明顯峰值，因此高估了連接件耦聯(lián)作用，這將在下一節(jié)展開(kāi)探討。

表 2 不同方法下支柱絕緣子頂部最大相對(duì)位移Table 2 Maximum relative displacement at top of insulator posts with different methods

3 弱耦聯(lián)特性的進(jìn)一步探討

圖11 為人工波輸入下本文法與疊加法支柱頂部加速度的傅里葉幅值譜，二者主要存在兩大差別。第一，本文法結(jié)果在2 Hz～10 Hz 成分并不明顯，僅在第二振型，即4.3 Hz 處有一較小峰值。而疊加法在2 Hz～10 Hz 有顯著成分，反映了對(duì)弱耦聯(lián)體系采用整體振型進(jìn)行計(jì)算，會(huì)高估某些振型響應(yīng)。由于連接件的約束弱，在實(shí)際地震作用下，一些振型響應(yīng)并不會(huì)被明顯激發(fā)；第二，本文法中兩支柱頻譜在基頻處峰值不同，反映了兩支柱頂端的實(shí)際運(yùn)動(dòng)并不一致。而疊加法中兩曲線(xiàn)基本吻合，這說(shuō)明疊加法高估了實(shí)際耦聯(lián)作用，強(qiáng)化了兩支柱間的約束使得二者運(yùn)動(dòng)協(xié)調(diào)一致。這也是表2 中疊加法總是高估一支柱位移而低估另一支柱位移的原因。

圖12 中兩支柱頂部絕對(duì)位移d1、d2的散點(diǎn)圖可進(jìn)一步證明。由于試驗(yàn)對(duì)象采用滑動(dòng)管母線(xiàn)，自由滑動(dòng)下兩支柱位移散點(diǎn)圖應(yīng)呈現(xiàn)出平滑曲線(xiàn)。未采用整體振型而基于隔離體分析的本文法在圖12(a)中體現(xiàn)了這一點(diǎn)。而圖12(b)中疊加法曲線(xiàn)的波折以及整體輪廓的萎縮則明顯反映出疊加法高估了實(shí)際耦聯(lián)作用，兩支柱間相對(duì)滑動(dòng)的約束作用明顯。

圖 11 人工波下支柱頂部加速度傅里葉幅值譜Fig.11 Fourier amplitude spectra of top accelerations of post 1 and post 2 with the artificial wave

圖 12 人工波下支柱1、2 頂部絕對(duì)位移散點(diǎn)圖Fig.12 Scattering of the absolute top displacement of post 1 and post 2 with the artificial wave

本文解法前提為式(2)右邊均為或可近似為位移及其高階導(dǎo)數(shù)的線(xiàn)性組合。弱耦聯(lián)體系支柱及大部分連接件在地震下均可視為線(xiàn)性構(gòu)件，故滿(mǎn)足該條件。但仍有一部分非線(xiàn)性連接件，如軟導(dǎo)線(xiàn)連接，不能直接采用本文解法。尤其對(duì)于分裂軟導(dǎo)線(xiàn)，在動(dòng)力作用下的變形可使其剛度可發(fā)生明顯變化[20]，另外導(dǎo)線(xiàn)初始位型或者兩端的非等張拉連接對(duì)動(dòng)剛度特性也會(huì)產(chǎn)生顯著影響。但注意到，本文解法不依托整體結(jié)構(gòu)矩陣，連接件潛在的非線(xiàn)性也被局部化在其隔離體控制方程中，避免了非線(xiàn)性的擴(kuò)散。因此基于此線(xiàn)性求解框架進(jìn)一步研究非線(xiàn)性連接件的解法是合理的，這也是后續(xù)研究的重點(diǎn)方向。即對(duì)不同形式的軟導(dǎo)線(xiàn)，尋求式(2)中力-位移控制方程在非線(xiàn)性形式下的等價(jià)線(xiàn)性化方法。

4 結(jié)論

本文基于弱耦聯(lián)體系的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，研究了采用隔離體建立控制方程并在頻域進(jìn)行求解的地震響應(yīng)計(jì)算方法。通過(guò)實(shí)例的振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)驗(yàn)證并與疊加法的對(duì)比分析，得到如下結(jié)論：

(1) 采用滑動(dòng)管母線(xiàn)連接的弱耦聯(lián)體系可等效為線(xiàn)性體系，合理選用模型參數(shù)后，采用本文方法的計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)吻合良好，頂端相對(duì)位移的最大誤差在1.2%～5.8%；而疊加法則表現(xiàn)出系統(tǒng)性誤差，最大誤差在-14.1%～7.3%。

(2) 計(jì)算弱耦聯(lián)體系地震響應(yīng)時(shí)，采用比例阻尼進(jìn)行計(jì)算，連接件的力-位移傳遞關(guān)系可能不符合實(shí)際情況，從而造成誤差。有必要采用非比例阻尼，差異化考慮支柱與連接件的阻尼特性。

(3)地震作用下，弱耦聯(lián)體系支柱間的運(yùn)動(dòng)并不協(xié)同。采用基于整體振型的方法計(jì)算弱耦聯(lián)體系地震響應(yīng)，會(huì)高估連接件的約束作用，同時(shí)過(guò)度激發(fā)某些實(shí)際中并不明顯的振型反應(yīng)。