例析平拋的軌跡方程在解題中的應用

>>>崔媛媛

平拋運動是一個典型的運動模型，下面我們就通過幾個例子，分析一下拋物線的軌跡方程在解題中的應用。

平拋軌跡方程的數學推導：

圖1

如圖1所示，以拋出點為坐標原點，初速度方向為x軸正方向，豎直向下為y軸正方向，建立平面直角坐標系。由平拋運動規律可知，兩個方程聯立消去時間t，可以得到平拋的軌跡方程為

應用一：求解拋出點的坐標和初速度

例1.某實驗小組同學在“研究平拋物體的運動”實驗中，只畫出了如圖2所示的曲線，于是他在曲線上取水平距離Δx相等的三點A、B、C，量得Δx=0.2m，又量出它們之間的豎直距離分別為h1=0.1m，h2=0.2m(g=10m/s2)。若以A點為坐標原點，豎直向下為y軸正方向，物體水平速度方向為x軸正方向，利用這些數據，可求得：(1)物體拋出時的初速度為_________m/s；(2)拋出點的坐標為_____________。

圖2

【解析】設物體的初速度為v0，拋出點O的坐標位置為（x0，y0)，由平拋的運動規律可得，軌跡方程把A（0，0）、B（0.2，0.1）、C（0.4，0.3）代入上述拋物線方程，可得：

聯立①②③式求解可得，v0=2m/s，x0=-0.1m，y0=-0.0125m

答案：v0=2m/s，拋出點坐標x0=-0.1m，y0=-0.0125m

【點評】這類問題一般出現在實驗題中，我們借助平拋的軌跡方程和已知的三個點的坐標，利用待定系數法可以同時求解出初速度和拋出點坐標位置，比常規解法快捷簡便。

應用二：求解有平面或曲面約束的平拋運動問題

1.拋物線與直線相交

例2.如圖3所示，蜘蛛在地面與豎直墻壁之間結網，蛛絲AB與水平地面間的夾角為45°，A點到地面的距離為1m，已知重力加速度g取10m/s2，空氣的阻力不計，若蜘蛛從豎直墻上距地面0.8m的C點以水平速度v0跳出，要到達蛛絲，水平速度v0至少為（ ）

圖3

A.1 m/s B.2 m/s

【解析】以C點為坐標原點，水平方向建立x軸，豎直方向建立y軸，

由于拋物線與直線只有一個交點，利用根的判別式△=0解得：v0=2m/s

答案：B

【點評】利用軌跡方程求解時，我們不需要求解時間t這個參量，所以比常規方法更簡潔方便。

2.拋物線與圓弧相交

例3.如圖4所示，從半徑為R=1m的半圓AB上的A點水平拋出一個可視為質點的小球，經t＝0.4s小球落到半圓上。已知當地的重力加速度g＝10m/s2，則小球的初速度v0可能為（ ）

圖4

A.1m/s B.2m/s

C.3m/s D.4m/s

【解析】

圖5

如圖5所示，第一種可能是小球落在半圓左側，第二種可能是小球落在半圓右側。

落點在圓周上，則（x-R）2+h2=R2③

聯立①②③解得：v01=1m/s；v02=4m/s

答案：AD

【點評】本題最容易出錯的地方是漏解，如果利用軌跡方程求解，計算出兩個結果后，發現都有意義，就不會出現漏解的情況。

3.兩條拋物線相交

例4.從距地面高為H的地方A平拋一物體，其水平射程為2s。在A點正上方距地面高度為2H的地方B點，以同方向平拋另一物體，其水平射程為s，兩物體在空中的軌道在同一豎直平面內，且都是從同一屏M的頂端擦過，求：屏M的高度是多少？

【解析】設屏M的高度為h，如圖6所示，

圖6

【點評】巧妙利用軌跡方程，找到縱坐標和橫坐標的比例關系y∝x2，使本題的求解過程方便、簡潔。

應用三：利用軌跡方程求解類平拋問題

例5.（2020年全國卷Ⅰ，25題）在一柱形區域內有勻強電場，柱的橫截面積是以O為圓心、半徑為R的圓，AB為圓的直徑，如圖7所示。質量為m，電荷量為q（q>0）的帶電粒子在紙面內自A點先后以不同的速度進入電場，速度方向與電場的方向垂直。已知剛進入電場時速度為零的粒子，自圓周上的C點以速率v0穿出電場，AC與AB的夾角θ=60°。運動中粒子僅受電場力作用。

（1）求電場強度的大小；

（2）為使粒子穿過電場后的動能增量最大，該粒子進入電場時的速度應為多大？

（3）為使粒子穿過電場前后動量變化量的大小為mv0，該粒子進入電場時的速度應為多大？

圖7

【解析】（1）由題意知在A點速度為零的粒子會沿著電場線方向運動，由于q＞0，故電場線由A指向C，根據幾何關系可知：xAC=R

（2）根據題意可知，要使粒子動能增量最大則沿電場線方向移動距離最多，作AC垂線并且與圓相切，切點為D，即粒子要從D點射出時沿電場線方向移動距離最多，粒子在電場中做類平拋運動。

圖8

設此時初速度為v1，如圖8所示，以拋出點A作原點，初速度方向為x軸正方向，電場方向為y軸正方向，則軌跡方程為：電場力提供加速度有qE=ma，軌跡通過D點（Rsinθ，R+Rcosθ），代入解出

（3）因為粒子在電場中做類平拋運動，粒子穿過電場前后動量變化量大小為mv0，即在電場方向上速度變化為v0，設此時初速度為v2，如圖9所示，過C點做AC垂線會與圓周交于B點，故由題意可知粒子會從C點或B點射出。

圖9

當從B點射出時，軌跡通過B點（Rtanθ，R），代入軌跡方程電場力提供加速度有qE=ma解出

當粒子從C點射出時初速度為0

【點評】帶電粒子在電場中做類平拋運動，軌跡為拋物線，電場力提供加速度，我們只需要把重力場中平拋軌跡方程的重力加速度替換成電場力提供的加速度，就可以應用這個軌跡方程解決問題了。

應用軌跡方程求解關于平拋和類平拋的相關問題，考查了學生利用數學工具解決物理題問題的能力，這種綜合分析能力是高考考查的重點和熱點。同學們在復習備考中只要多總結多分析，就會有不一樣的視角解決這類問題。