待定系數法求解微分方程的特解的一點探究

朱慶 王喜 汪海玲

【摘要】二階常系數微分方程在微分方程的研究中具有十分重要的意義。若非齊次項為g（t）=eαtPn（t）cos（βt）或eαtPn（t）sin（βt）時，待定系數法即先假設方程的某種形式的特解，其系數是待定的，它是求解這類微分方程特解的常用方法。這種方法的優勢在于將特解帶入方程后就可直接待定出常系數，其局限性是需準確寫出特解的假設形式。本文將結合歐拉公式及線性微分方程解的一般理論，證明在當前非齊次項形式下，其特解的假設形式為什么不能設為如下sin 和 cos 函數具有比例對應關系的表達式：eαtQn（t）（Acos（βt）+Bsin（βt））。

【關鍵詞】二階微分方程? 待定系數法? 歐拉公式? 特解

【基金項目】廣西研究生教育創新項目“雙一流建設背景下廣西高等院校研究生創新能力和職業能力發展的培養研究”（JGY2019030）;廣西師范大學第三批課程思政示范課程建設項目重點項目“常微分方程”（項目主持人——朱慶）;廣西師范大學第四批課程思政示范課程建設項目“數學建模”（項目主持人——彭華勤）;廣西師范大學大學生創新訓練項目“基于我校學情的一體化數學分析習題集的建立”（202110602213）;廣西師范大學2019年課程思政示范課程建設項目“數學分析”（項目主持人——馬林濤）。

【中圖分類號】O175.1? ? ? ? ? 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2021）30-0060-02

待定系數法用于常系數微分方程

ay″+by′+cy=g（t），a，b，c為任意常數? ? ? ? （1）

右端g（t）是某些基本函數的情況，常見的有多項式、指數函數、正弦（或余弦）函數以及它們的某種乘積組合。這種方法的特點就在于不需通過積分運算，而用代數方法即可求得非齊次線性微分方程的特解，即將求解微分方程的問題轉化為某一個代數問題來處理，因而比較簡便。同時，待定系數法是一種常見的求解常系數非齊次微分方程的方法，該方法推廣到求解三階，四階甚至更高階的微分方程。

值得注意， 在此類型的求解過程中正確寫出特解形式是待定系數法的關鍵問題。在國內外許多教材中得出，若非齊次項g（t）為多項式與三角函數的乘積Pn（t）eαtsin（βt）或Pn（t）eαtcos（βt）的單個表達式，其中Pn（t）是最高次冪為n的實值多項式，α，β為實數，結合三角函數的性質，方程（1）的特解需設為：

[（c0tn+c1tn-1+…+cn）cos（βt）+（d0tn+d1tn-1+…+dn）sin（βt）]eαt （2）? ? ? 若無說明，本文均不考慮α±iβ是代數方程ay2+by+c=的共軛特征根。將特解（2）帶入方程（1）中，通過待定系數法求出實數cj，dj（j=0，1，…，n），繼而獲得微分方程的特解。

在此處，我們不可避免地提出疑問，對于g（t）=Pn（t）eαtcos（βt），其特解是否能寫成如下：

（q0tn+q1tn-1+…+qn）·eαt （Acos（βt）+Bsin（βt））? （3）

三項相乘的形式，其中，q0，q1，…，qn，C，K均是實數。事實上，通過具體例題，我們可以判斷形式（3）是不合理的，后文我們將從理論上推導，證明特解形式（2）的正確性。

在文獻[1]和[2]中，對于g（t）是兩項相加的情形時，即

g（t）=[Pn（t）cos（βt）+Qm（t）sin（βt）]eαt，

相應的特解假設為

Y（t）=[2Re（D（t））cos（βt）+2Im（D（t））sin（βt）]eαt，

其中，D（t）為t的l次多項式， l=max{n，m}。對于單個表達式，不妨假設非齊次項中Qm（t）≡0，則g（t）=Pn（t）cos（βt）eαt，由此可知特解中D（t）是實函數，即Im（D（t））≡0 ，從而特解變為Y（t）=2Re（D（t），cos（βt）eαt ，這顯然不合理。

我們考慮如下常系數非齊次微分方程

ay″+by′+cy=g1（t），? ? ? ? ? ? ? ? （4）

ay″+by′+cy=g2（t），? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （5）

它們對應的特解分別記為Y1，Y2。

若齊次項g1（t）=g2（t），則Y1，Y2是一組共軛的特解。事實上，由于

aY″1+bY′1+cY1=g1，

對上述方程兩邊取共軛，可知

aY″1+bY′1+cY1=g1，

值得注意的是，g1=g2且

aY″2+bY′2+cY2=g2，

根據解的性質[3]，從而

Y1=Y2

現探究微分方程（1）具有如下形式的非齊次項g（t）=eαtPn（t）cos（βt）或eαtPn（t）sin（βt）的特解的假設形式，其中Pn（t）為實值多項式，α，β為實數。不失一般性，本文僅考慮其中一種情形g（t）=eαtPn（t）sin（βt）。

根據Euler公式[4] sin（βt）=（eiβt-e-iβt）/（2i），可知

g（t）=eαtPn（t）sin（βt）=Pn（t）

=e（α+iβ）t-e（α-iβ）t，

不妨令g1（t）=e（α+iβ）t，g2（t）=-e（α-iβ）t，顯然

g1（t）=g2（t）

依據非齊次項為多項式與指數函數情形下的特解的假設規律，可設g1（t）的特解為

Y1=（A0tn+A1tn-1+…+An）e（α+iβ）t，

相應的g2（t）的特解為

Y2=（B0tn+B1tn-1+…+Bn）e（α-iβ）t.

值得注意的是， A0，A1，…，An和B0，B1，…，Bn均為一組復數。不難得知，Aj=Bj（j=0，1，…，n）。文獻[5]在討論方程（1）的特解過程中認為A0，A1，…，An和B0，B1，…，Bn均為實數，是不合理的。

現設

Aj=aj+i·bj，Bj=aj-i·bj （j=0，1，…，n），

其中，aj和bj是互不相關的實數，從而Aj+Bj=2aj，Aj-Bj=2ibj.

根據非齊次線性微分方程的疊加性原理可得方程（1）的特解Y=（A0tn+A1tn-1+…+An）e（α+iβ）t+（B0tn+B1tn-1+…+Bn）e（α-iβ）t.

由Euler公式，

Y=eαt（cos（βt）+isin（βt））（A0tn+A1tn-1+…+An）+eαt（cos（βt）-isin（βt））（B0tn+B1tn-1+…+Bn）=eαtcos（βt）[（A0+B0）tn+…+（An+Bn）]+i·eαtsin（βt）[（A0-B0）tn+…+（An-Bn）]=[Re（（An-k-Bn-k）tk）]eαtcos（βt）-[Im（（An-k-Bn-k）tk）]eαtsin（βt）.

簡化符號，即

Y=eαt（c0tn+c1tn-1+…+cn）cos（βt）+eαt（d0tn+d1tn-1+…+dn）sin（βt）.

其中，cj=Re（Aj+Bj）=2aj，dj=-Im（Aj-Bj）=-2bj（j=0，1…，n）是一組對應之間互不相關的實數，不一定具有比例關系。

綜上所述，方程（1）中若非齊次項g（t）為多項式與三角函數的乘積的單個表達式Pn（t）eαtsin（βt）或Pn（t）eαtcos（βt），其特解的假設形式是不能設為如下比例關系的表達式：eαtQn（t）（Acos（βt）+Bsin（βt）），準確的形式仍然是eαt（c0tn+c1tn-1+…+cn）cos（βt）+eαt（d0tn+d1tn-1+…+dn）sin（βt）.

參考文獻：

[1]王高雄，周之銘，朱思銘.常微分方程第三版[M]. 北京：高等教育出版社，2006.

[2]同濟大學數學系.高等數學（第七版）[M]. 北京：高等教育出版社，2014.

[3]吳贛昌.微積分上下冊（經管類·第五版）[M]. 北京：中國人民大學出版社，2019.

[4]華東師范大學數學與統計學院.數學分析（第五版）[M]. 北京：高等教育出版社，2019.

[5]ILLIAME.BOYCE，RICHARDC.DIPRIMA， OUGLAS

B.MEADE. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems[M]. Cenveo Publisher， 2017.

作者簡介：

朱慶（1988年-），女，漢族，湖北天門人，理學博士，研究方向為常微分方程的理論及其應用。

王喜（2001年-），男，漢族，四川達州人，本科在讀，研究方向為數學與應用數學。

汪海玲（1979年-），女，漢族，湖北黃岡人，副教授，理學博士，研究方向為微分方程的理論及其應用。